2018-2019学年数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定（4） 同步练习
一、选择题
1．如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
2．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=BE B．DB=DE C．AE=BD D．∠BCE=∠ACE
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A，∵DE⊥BC，∠A=90°，∴∠A=∠CDE=90°，
在Rt△CAE和Rt△CDE中，∵CA=CD，CE=CE，
∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），
∴AE=DE，
∵在Rt△BED中，BE＞DE，∴BE＞AE，故A不符合题意；
B，根据已知不能得出BD=DE，故B不符合题意；
C，根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C不符合题意；
D，∵Rt△CAE≌Rt△CDE，∴∠BCE=∠ACE，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】首先由CA=CD，CE=CE，利用HL判断出Rt△CAE≌Rt△CDE，根据全等三角形对应角相等得出∠BCE=∠ACE，从而得出答案。
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=（ ）
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，
在 和 中，
，
∴ED=CE
.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm
故答案为：C
【分析】首先根据BC=BD，EB=EB利用HL判断出Rt△BDE Rt△BCE，根据猤三角形对应边相等得出ED=CE，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
4．如图6所示，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD成立，还需要添加的条件是（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．AB为公共边
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：B
【分析】题中的两个直角三角形中已经具有斜边对应相等，要想利用HL判定出它们全等，只需要添加一条直角边对应相等即可。
5．（2016八上·徐闻期中）如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故选：D．
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择．
6．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故答案为：B．
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
7．已知，如图，B，C，E三点在同一条直线上， ，则不正确的结论是（ ）
A． 与 互为余角 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠B=∠E=90°，
在Rt△ABC和Rt△CED中 ，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C不符合题意，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B不符合题意；D 错误，
故答案为：D
【分析】根据题中已有的条件可以直接利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△CED，根据猤三角形对应角相等得出∠A=∠2，∠1=∠D，根据直角三角形两锐角互余得出∠1+∠A=90°，根据等量代换得出∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，从而得出答案。
8．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HL
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：D.
【分析】直接利用HL判断出Rt△OMP≌Rt△ONP，根据全等三角形对应角相等得出∠MOP=∠NOP。
二、填空题
9．如图，∠C＝∠D＝90 ，添加一个条件： (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
【答案】AC＝AD等(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，
所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
故答案为AC＝AD
【分析】开分性的命题，答案不唯一，由于题中已经具有一对直角对应相等，一组公共边对应相等，如再添加AC＝AD，或BC=BD可以利用HL判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等，若再添加∠CAB=∠DAB，或∠ABC=∠ABD，可以利用AAS判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等。
10．有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”.
【答案】斜边；直角边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是 ．
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】HL，理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
故答案为：HL
【分析】根据垂直可以得出∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB＝AC，AD=AD，由HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC.
12．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
【答案】50°
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠AFD=140°，∴∠DFC=180°-140°=40°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠FDC=90 ，在Rt△BED和Rt△CDF中，∵BD＝CF，BE＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CDF，∴∠EDB=∠DFC=40°，∴∠EDF=∠BDC-∠FDC－∠EDB=180°-90°-40°=50°.
故答案为：50°
【分析】根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=18，BC=7，AB=PQ，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC和△PQA全等．
【答案】7或18
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠PAQ=90°，PQ=AB，
∴当AP=CB=7时，
在Rt△PQA和Rt△BAC中
∵
∴Rt△PQA≌Rt△BAC（HL）；
当AP=CA=18时，
在Rt△PQA和Rt△ABC中
∵ ，
∴Rt△PQA≌Rt△ABC（HL）；
即AP为7或18时，△ABC和△PQA全等．
故答案为：7或18．
【分析】根据“HL”判断△ABC和△PQA全等，注意对应关系的改变．
14．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 cm．
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知)，BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
【分析】连接BE，首先根据HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形对应边相等得出AE=ED=12cm。
15．如图，D为Rt△ABC中斜边BC的中点，过D作BC的垂线，交AC于E，且AE=DE，若BC=12cm，则AB的长为 cm．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE．
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的中点，且AE=DE，
∴∠A=∠BDE=90°，BD=6cm
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB（已知），BE=EB（公共边），
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴AB=BD=6cm，
故填6
【分析】连接BE．首先利用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形对应边相等得出AB=BD=6cm.
三、解答题
16．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.
【答案】解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF，∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】连接AP，根据垂直的定义得出∠AEP=∠AFP=90°，然后利用HL判断出Rt△AEP≌Rt△AFP，根据全等三角形对应边相等得出PE=PF。
17．如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．
【答案】证明：∵DE=BF，∴DE+EF=BF+EF，即DF=BE，在Rt△ADF和Rt△CBE中， ，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴AF=CE
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据等式的性质，由DE=BF，得出DF=BE，然后利用HL判断出Rt△ADF≌Rt△CBE，根据全等三角形对应边相等得出AF=CE。
18．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【分析】直接利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形对应角相等得出∠OBC=∠OCB，根据等角对等边得出BO=CO．
19．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
（1）在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF；
（2）请你猜想BC与BE的数量关系并证明．
【答案】（1）解：画出高AD，AF，如图所示．
（2）解：猜想：BC＝BE.证明如下：∵AD⊥BC，AF⊥BE，∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．在Rt△ACD和Rt△AEF中，∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）分别过点A向BC，BE所在的直线引垂线，垂直于BC，BE的延长线于点D，F，则AD，AF就是所求的高线；
（2）猜想：BC＝BE.证明如下：首先利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AEF，根据全等三角形对应边相等得出CD＝EF，再利用HL判断出Rt△ABD≌Rt△ABF，根据全等三角形对应边相等得出BD＝BF，根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出结论BC＝BE。
20．如图， 四点共线， ， ， ， .求证：CE∥DF.
【答案】解：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE=∠BDF=90°，又∵AE=BF，AC=BD，∴RtΔACE RtΔBDF(HL)，∴∠AEC=∠BFD，∴CE∥DF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】首先根据HL判断出RtΔACE RtΔBDF，根据全等三角形对应角相等得出∠AEC=∠BFD，根据内错角相等二直线平行得出CE∥DF。
21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.
【答案】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠DEB=∠DFC=90°，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CD，BE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠DEB=∠DFC=90°，根据线段中点的定义得出BD=CD，然后由HL判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF，根据到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出AD平分∠BAC。
22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）证明：AB=AD+BC；
（2）判断△CDE的形状？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵在Rt△ADE和Rt△BEC中， ，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC，（HL）
∴AD=BE，
∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC
（2）解：△CDE为等腰直角三角形，理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出DE=CE，然后由HL判断出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形对应边相等得出AD=BE，然后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）△CDE为等腰直角三角形，理由如下：根据全等三角形对应角相等得出∠AED=∠BCE，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换得出∠CEB+∠AED=90°，根据平角的定义得出∠DEC=90°，从而得出结论。
1 / 12018-2019学年数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定（4） 同步练习
一、选择题
1．如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=BE B．DB=DE C．AE=BD D．∠BCE=∠ACE
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=（ ）
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
4．如图6所示，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD成立，还需要添加的条件是（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．AB为公共边
5．（2016八上·徐闻期中）如图，∠B=∠E=90°，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
6．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
7．已知，如图，B，C，E三点在同一条直线上， ，则不正确的结论是（ ）
A． 与 互为余角 B．
C． D．
8．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HL
二、填空题
9．如图，∠C＝∠D＝90 ，添加一个条件： (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
10．有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是 ．
12．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=18，BC=7，AB=PQ，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC和△PQA全等．
14．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 cm．
15．如图，D为Rt△ABC中斜边BC的中点，过D作BC的垂线，交AC于E，且AE=DE，若BC=12cm，则AB的长为 cm．
三、解答题
16．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.
17．如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．
18．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
19．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
（1）在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF；
（2）请你猜想BC与BE的数量关系并证明．
20．如图， 四点共线， ， ， ， .求证：CE∥DF.
21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.
22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）证明：AB=AD+BC；
（2）判断△CDE的形状？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
2．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A，∵DE⊥BC，∠A=90°，∴∠A=∠CDE=90°，
在Rt△CAE和Rt△CDE中，∵CA=CD，CE=CE，
∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），
∴AE=DE，
∵在Rt△BED中，BE＞DE，∴BE＞AE，故A不符合题意；
B，根据已知不能得出BD=DE，故B不符合题意；
C，根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C不符合题意；
D，∵Rt△CAE≌Rt△CDE，∴∠BCE=∠ACE，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】首先由CA=CD，CE=CE，利用HL判断出Rt△CAE≌Rt△CDE，根据全等三角形对应角相等得出∠BCE=∠ACE，从而得出答案。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，
在 和 中，
，
∴ED=CE
.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm
故答案为：C
【分析】首先根据BC=BD，EB=EB利用HL判断出Rt△BDE Rt△BCE，根据猤三角形对应边相等得出ED=CE，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
4．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：B
【分析】题中的两个直角三角形中已经具有斜边对应相等，要想利用HL判定出它们全等，只需要添加一条直角边对应相等即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故选：D．
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择．
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故答案为：B．
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠B=∠E=90°，
在Rt△ABC和Rt△CED中 ，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C不符合题意，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B不符合题意；D 错误，
故答案为：D
【分析】根据题中已有的条件可以直接利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△CED，根据猤三角形对应角相等得出∠A=∠2，∠1=∠D，根据直角三角形两锐角互余得出∠1+∠A=90°，根据等量代换得出∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：D.
【分析】直接利用HL判断出Rt△OMP≌Rt△ONP，根据全等三角形对应角相等得出∠MOP=∠NOP。
9．【答案】AC＝AD等(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，
所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
故答案为AC＝AD
【分析】开分性的命题，答案不唯一，由于题中已经具有一对直角对应相等，一组公共边对应相等，如再添加AC＝AD，或BC=BD可以利用HL判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等，若再添加∠CAB=∠DAB，或∠ABC=∠ABD，可以利用AAS判断出Rt△ABC 与Rt△ABD 全等。
10．【答案】斜边；直角边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
11．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】HL，理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
故答案为：HL
【分析】根据垂直可以得出∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB＝AC，AD=AD，由HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC.
12．【答案】50°
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠AFD=140°，∴∠DFC=180°-140°=40°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠FDC=90 ，在Rt△BED和Rt△CDF中，∵BD＝CF，BE＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CDF，∴∠EDB=∠DFC=40°，∴∠EDF=∠BDC-∠FDC－∠EDB=180°-90°-40°=50°.
故答案为：50°
【分析】根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°
13．【答案】7或18
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠PAQ=90°，PQ=AB，
∴当AP=CB=7时，
在Rt△PQA和Rt△BAC中
∵
∴Rt△PQA≌Rt△BAC（HL）；
当AP=CA=18时，
在Rt△PQA和Rt△ABC中
∵ ，
∴Rt△PQA≌Rt△ABC（HL）；
即AP为7或18时，△ABC和△PQA全等．
故答案为：7或18．
【分析】根据“HL”判断△ABC和△PQA全等，注意对应关系的改变．
14．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知)，BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
【分析】连接BE，首先根据HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形对应边相等得出AE=ED=12cm。
15．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：连接BE．
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的中点，且AE=DE，
∴∠A=∠BDE=90°，BD=6cm
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB（已知），BE=EB（公共边），
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴AB=BD=6cm，
故填6
【分析】连接BE．首先利用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形对应边相等得出AB=BD=6cm.
16．【答案】解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF，∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】连接AP，根据垂直的定义得出∠AEP=∠AFP=90°，然后利用HL判断出Rt△AEP≌Rt△AFP，根据全等三角形对应边相等得出PE=PF。
17．【答案】证明：∵DE=BF，∴DE+EF=BF+EF，即DF=BE，在Rt△ADF和Rt△CBE中， ，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴AF=CE
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据等式的性质，由DE=BF，得出DF=BE，然后利用HL判断出Rt△ADF≌Rt△CBE，根据全等三角形对应边相等得出AF=CE。
18．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【分析】直接利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形对应角相等得出∠OBC=∠OCB，根据等角对等边得出BO=CO．
19．【答案】（1）解：画出高AD，AF，如图所示．
（2）解：猜想：BC＝BE.证明如下：∵AD⊥BC，AF⊥BE，∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．在Rt△ACD和Rt△AEF中，∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF(全等三角形的对应边相等)．
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF(全等三角形的对应边相等)．
∴BD－CD＝BF－EF(等式的性质)，即BC＝BE
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）分别过点A向BC，BE所在的直线引垂线，垂直于BC，BE的延长线于点D，F，则AD，AF就是所求的高线；
（2）猜想：BC＝BE.证明如下：首先利用HL判断出Rt△ACD≌Rt△AEF，根据全等三角形对应边相等得出CD＝EF，再利用HL判断出Rt△ABD≌Rt△ABF，根据全等三角形对应边相等得出BD＝BF，根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出结论BC＝BE。
20．【答案】解：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE=∠BDF=90°，又∵AE=BF，AC=BD，∴RtΔACE RtΔBDF(HL)，∴∠AEC=∠BFD，∴CE∥DF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】首先根据HL判断出RtΔACE RtΔBDF，根据全等三角形对应角相等得出∠AEC=∠BFD，根据内错角相等二直线平行得出CE∥DF。
21．【答案】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠DEB=∠DFC=90°，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CD，BE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠DEB=∠DFC=90°，根据线段中点的定义得出BD=CD，然后由HL判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF，根据到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出AD平分∠BAC。
22．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵在Rt△ADE和Rt△BEC中， ，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC，（HL）
∴AD=BE，
∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC
（2）解：△CDE为等腰直角三角形，理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出DE=CE，然后由HL判断出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形对应边相等得出AD=BE，然后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）△CDE为等腰直角三角形，理由如下：根据全等三角形对应角相等得出∠AED=∠BCE，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换得出∠CEB+∠AED=90°，根据平角的定义得出∠DEC=90°，从而得出结论。
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