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人教版A版2017-2018学年高一必修一第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点 同步训练
一、单选题
1．下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数 有一个零点是 ，那么函数 的零点是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数 ．若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．函数 在区间 上 (填“存在”或“不存在”)零点．
8．已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围为 ．
9．设 是方程 的解，且 ，则 .
10．已知函数 其中 ，若存在实数b，使得关于x的方程 有三个不同的根， 则m的取值范围是 ．
三、解答题
11．已知函数 的零点是 和 ，求函数 的零点．
12．已知函数 ，问方程 在区间 内是否有解，为什么？
13．对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为函数 的不动点，已知 .
（1）若 有两个不动点为 ，求函数 的零点；
（2）若 时，函数 没有不动点，求实数 的取值范围．
14．已知二次函数 ，在下列条件下，求实数 的取值范围．
（1）零点均大于 ；
（2）一个零点大于 ，一个零点小于 ；
（3）一个零点在 内，另一个零点在 内．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】令 ，得 中函数的零点为 ； 中函数的零点为 ； 中函数的零点为 ；只有 中函数无零点，
故答案为：D．
【分析】根据题意，令四个选项等于0，分别求出x的值，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】函数 有一个零点是 ， 零点为 和 .
故答案为：C.
【分析】根据题意，将x=2代入函数得到2a+b=0，用a将b表示出来，得到，结合一元二次函数求解方法计算，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数 是单调递增函数 ， ，故函数 的零点所在区间为 ，
故答案为：A.
【分析】根据零点的判定定理：，说明在区间（a，b）之间存在零点，代入数据计算，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】令 ，则 ，故 的零点在 内，因此两函数图象交点在 内，
故答案为：C.
【分析】根据题意，令，交点即该函数的零点，结合零点存在定理：，即存在零点，针对每一个选项进行判定，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由求 的零点，即可转化为 与 图象的交点个数，
坐标系分别画出两个函数 与 的图象可得：
交点由2个。
故答案为：B
【分析】根据题意，可以将题意表示成，将函数与直线的图像在坐标系中画出，观察图像，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点
【解析】【解答】作出 ，如图，
， ，要使方程 有两个不相等的实根，则函数 与 的图象有两个不同的交点，由图可知， ，
故答案为：B.
【分析】根据题意，做出函数的分段函数图象，结合函数恒过定点（-2，0），当该直线与右侧曲线相交时及两者平行时，只有一个交点，取两者的中间值，代入数据计算，即可得出答案。
7．【答案】存在
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ， ，又 在区间 上的图象是连续的，故 在区间 上存在零点，故答案为存在．
【分析】结合函数零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
8．【答案】
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】因为连续函数 在区间 上有零点，所以 ，故答案为 .
【分析】结合题意及零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】令 ，且 在 上递增， ， 在 内有解， ，故答案为 .
【分析】根据题意，构造一个新函数，结合零点判定定理：，对K值假设并代入数据计算，即可得出答案。
10．【答案】
【知识点】函数的概念及其构成要素；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】当 ．
【分析】根据题意，对x分成三类进行分类讨论（），代入数据计算，即可得出答案。
11．【答案】解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得 ，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】由函数的两个零点存在，分别求出m，n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。
12．【答案】解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－ <0，f(0)＝20－02＝1>0，而函数f(x)＝2x－x2的图像是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】根据零点存在定理：，代入数据计算，即可得出答案。
13．【答案】（1）解：由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3，2.
所以 ，所以 ，从而f(x)＝x2＋2x－6，
由f(x)＝0得x1＝－1－ ，x2＝－1＋ .
故f(x)的零点为－1± .
（2）解：若c＝ ，则f(x)＝x2＋bx＋ ，
又f(x)无不动点，
即方程x2＋bx＋ ＝x无解，
所以(b－1)2－b2<0.
即－2b＋1<0，所以b> .故b的取值范围是b>
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据题意，由两个不动点的基本性质，将其代入方程计算，得到函数，由一元二次函数的求解方法，代入数据计算，即可得出答案。
（2）将题目所给条件代入其中，结合不动点存不存在的基本性质，本题中，该方程无解，利用，即可得出答案。
14．【答案】（1）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得2≤a< .
即a的取值范围为 .
（2）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a> .
即a的取值范围为
（3）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 ，
解得 .
即a的取值范围为
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据题意分析，该一元二次函数有两个解（），函数对称轴大于1及代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析得知，该函数由两个不同的解（），及函数值，代入数据计算，即可得出答案。
（3）结合零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
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人教版A版2017-2018学年高一必修一第3章 3.1.1 方程的根与函数的零点 同步训练
一、单选题
1．下列函数不存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】令 ，得 中函数的零点为 ； 中函数的零点为 ； 中函数的零点为 ；只有 中函数无零点，
故答案为：D．
【分析】根据题意，令四个选项等于0，分别求出x的值，即可得出答案。
2．若函数 有一个零点是 ，那么函数 的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】函数 有一个零点是 ， 零点为 和 .
故答案为：C.
【分析】根据题意，将x=2代入函数得到2a+b=0，用a将b表示出来，得到，结合一元二次函数求解方法计算，即可得出答案。
3．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数 是单调递增函数 ， ，故函数 的零点所在区间为 ，
故答案为：A.
【分析】根据零点的判定定理：，说明在区间（a，b）之间存在零点，代入数据计算，即可得出答案。
4．设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】令 ，则 ，故 的零点在 内，因此两函数图象交点在 内，
故答案为：C.
【分析】根据题意，令，交点即该函数的零点，结合零点存在定理：，即存在零点，针对每一个选项进行判定，即可得出答案。
5．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由求 的零点，即可转化为 与 图象的交点个数，
坐标系分别画出两个函数 与 的图象可得：
交点由2个。
故答案为：B
【分析】根据题意，可以将题意表示成，将函数与直线的图像在坐标系中画出，观察图像，即可得出答案。
6．已知函数 ．若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点
【解析】【解答】作出 ，如图，
， ，要使方程 有两个不相等的实根，则函数 与 的图象有两个不同的交点，由图可知， ，
故答案为：B.
【分析】根据题意，做出函数的分段函数图象，结合函数恒过定点（-2，0），当该直线与右侧曲线相交时及两者平行时，只有一个交点，取两者的中间值，代入数据计算，即可得出答案。
二、填空题
7．函数 在区间 上 (填“存在”或“不存在”)零点．
【答案】存在
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ， ，又 在区间 上的图象是连续的，故 在区间 上存在零点，故答案为存在．
【分析】结合函数零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
8．已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】因为连续函数 在区间 上有零点，所以 ，故答案为 .
【分析】结合题意及零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
9．设 是方程 的解，且 ，则 .
【答案】
【知识点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】令 ，且 在 上递增， ， 在 内有解， ，故答案为 .
【分析】根据题意，构造一个新函数，结合零点判定定理：，对K值假设并代入数据计算，即可得出答案。
10．已知函数 其中 ，若存在实数b，使得关于x的方程 有三个不同的根， 则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的概念及其构成要素；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】当 ．
【分析】根据题意，对x分成三类进行分类讨论（），代入数据计算，即可得出答案。
三、解答题
11．已知函数 的零点是 和 ，求函数 的零点．
【答案】解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得 ，解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】由函数的两个零点存在，分别求出m，n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。
12．已知函数 ，问方程 在区间 内是否有解，为什么？
【答案】解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－ <0，f(0)＝20－02＝1>0，而函数f(x)＝2x－x2的图像是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】根据零点存在定理：，代入数据计算，即可得出答案。
13．对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为函数 的不动点，已知 .
（1）若 有两个不动点为 ，求函数 的零点；
（2）若 时，函数 没有不动点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知：f(x)＝x，即x2＋(b－1)x＋c＝0有两根，分别为－3，2.
所以 ，所以 ，从而f(x)＝x2＋2x－6，
由f(x)＝0得x1＝－1－ ，x2＝－1＋ .
故f(x)的零点为－1± .
（2）解：若c＝ ，则f(x)＝x2＋bx＋ ，
又f(x)无不动点，
即方程x2＋bx＋ ＝x无解，
所以(b－1)2－b2<0.
即－2b＋1<0，所以b> .故b的取值范围是b>
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据题意，由两个不动点的基本性质，将其代入方程计算，得到函数，由一元二次函数的求解方法，代入数据计算，即可得出答案。
（2）将题目所给条件代入其中，结合不动点存不存在的基本性质，本题中，该方程无解，利用，即可得出答案。
14．已知二次函数 ，在下列条件下，求实数 的取值范围．
（1）零点均大于 ；
（2）一个零点大于 ，一个零点小于 ；
（3）一个零点在 内，另一个零点在 内．
【答案】（1）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得2≤a< .
即a的取值范围为 .
（2）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a> .
即a的取值范围为
（3）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 ，
解得 .
即a的取值范围为
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据题意分析，该一元二次函数有两个解（），函数对称轴大于1及代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析得知，该函数由两个不同的解（），及函数值，代入数据计算，即可得出答案。
（3）结合零点判定定理：，代入数据计算，即可得出答案。
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