人教A版高中数学必修三第3章 3.1.3 概率的基本性质 同步训练
一、单选题
1．若A，B是互斥事件，则（ ）
A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1 C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】若 是互斥事件，但不一定是对立事件，所以 ；
故答案为：D.
【分析】结合互斥事件和对立事件，即可得出答案。
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}，D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】A：事件D包括击中一次和击中两次两种情况，所以事件A包含于事件D，正确；
B：事件B是两次都没击中，事件C是只击中一次，所以事件B、D没有交集，正确；
C：事件D包括一次击中（事件C）和两次击中（事件A），正确；
D：事件A并B包括两次击中和两次都没击中，事件B并D包括两次击中、一次击中和两次都没击中，所以错误。
故答案为：D。
【分析】结合都、至少、恰有、都没等字词的意义，即可得出答案。
3．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义.
故答案为：C.
【分析】由对立事件的定义直接求得答案。
4．某城市2016年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 ，
故答案为：A。
【分析】结合分布列的意义，即可得出答案。
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】[15，20)概率： ，
[25，30)概率： ，
所以二等品概率为0.45，
故答案为：D。
【分析】分别计算位于[15，20)和[25，30)之间的概率，相加，即可得出答案。
6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立.
故答案为：D
【分析】结合对立事件和互斥事件的意义，即可得出答案。
二、填空题
7．在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：记“向上的数字为5”为事件A，“向上的数字为6“为事件B， A，B发生的概率均为，由互斥事件概率加法公式可得 ；
故填： .
【分析】由互斥事件概率加法公式直接求解。
8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 .
【答案】“两次都不中靶”
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”；故填“两次都不中靶”.
【分析】联系互斥事件的意义，即可得出答案。
9．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为 ，则5点或6点至少出现一个的概率是 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】因为同时抛掷两枚骰子，“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件，所以5点或6点至少出现一个的概率是 ；故填 .
【分析】理解题意，发现既不出现5点也不出现6点和5点或6点至少出现一个是对立事件，即可得出答案。
10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为 ．
【答案】0.2
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】∵A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【分析】联系对立事件的意义，分别计算出摸出黑球的概率和摸出白球的概率，进而可以计算出摸出红球的概率，即可得出答案。
三、解答题
11．掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为 ，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．
【答案】解： 记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝ .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】分析题目发现所求事件包括“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”，分别计算每种情况概率，相加，即可得出答案。
12．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【答案】解： 设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为 ，则它们彼此是互斥事件.
由题意得 ， ， ，
又事件 与事件 对立，所以 ，
而 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，
所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 ， ， .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】根据题目，列等式，利用A事件的概率计算B+C+D事件概率，然后利用互斥事件概率相加原理，即可得出答案。
1 / 1人教A版高中数学必修三第3章 3.1.3 概率的基本性质 同步训练
一、单选题
1．若A，B是互斥事件，则（ ）
A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1 C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}，D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
3．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
4．某城市2016年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
二、填空题
7．在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为 ．
8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 .
9．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为 ，则5点或6点至少出现一个的概率是 ．
10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为 ．
三、解答题
11．掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为 ，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．
12．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】若 是互斥事件，但不一定是对立事件，所以 ；
故答案为：D.
【分析】结合互斥事件和对立事件，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】A：事件D包括击中一次和击中两次两种情况，所以事件A包含于事件D，正确；
B：事件B是两次都没击中，事件C是只击中一次，所以事件B、D没有交集，正确；
C：事件D包括一次击中（事件C）和两次击中（事件A），正确；
D：事件A并B包括两次击中和两次都没击中，事件B并D包括两次击中、一次击中和两次都没击中，所以错误。
故答案为：D。
【分析】结合都、至少、恰有、都没等字词的意义，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义.
故答案为：C.
【分析】由对立事件的定义直接求得答案。
4．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 ，
故答案为：A。
【分析】结合分布列的意义，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】[15，20)概率： ，
[25，30)概率： ，
所以二等品概率为0.45，
故答案为：D。
【分析】分别计算位于[15，20)和[25，30)之间的概率，相加，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立.
故答案为：D
【分析】结合对立事件和互斥事件的意义，即可得出答案。
7．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：记“向上的数字为5”为事件A，“向上的数字为6“为事件B， A，B发生的概率均为，由互斥事件概率加法公式可得 ；
故填： .
【分析】由互斥事件概率加法公式直接求解。
8．【答案】“两次都不中靶”
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”；故填“两次都不中靶”.
【分析】联系互斥事件的意义，即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】因为同时抛掷两枚骰子，“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件，所以5点或6点至少出现一个的概率是 ；故填 .
【分析】理解题意，发现既不出现5点也不出现6点和5点或6点至少出现一个是对立事件，即可得出答案。
10．【答案】0.2
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】∵A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【分析】联系对立事件的意义，分别计算出摸出黑球的概率和摸出白球的概率，进而可以计算出摸出红球的概率，即可得出答案。
11．【答案】解： 记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝ .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】分析题目发现所求事件包括“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”，分别计算每种情况概率，相加，即可得出答案。
12．【答案】解： 设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为 ，则它们彼此是互斥事件.
由题意得 ， ， ，
又事件 与事件 对立，所以 ，
而 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，
所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 ， ， .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】根据题目，列等式，利用A事件的概率计算B+C+D事件概率，然后利用互斥事件概率相加原理，即可得出答案。
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