人教A版高中数学必修三第三章3.1-3.1.3概率的基本性质 同步训练
一、单选题
1．下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分
C．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：在选项C中，由于事件“发芽90粒”与事件“至少发芽80粒”能同时发生，故两事件不是互斥事件.
故答案为：C.
【分析】理解互斥事件的概念即不可能同时发生事件。
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是 ，那么概率是 的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由于 ，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即“至多有一张移动卡”．
故答案为：A.
【分析】利用对立事件定义知概率为的事件即为事件“2张全是移动卡”的对立事件。
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（ ）
A．60% B．30% C．10% D．50%
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两人下和棋的概率，
故答案为：D．
【分析】事件“甲不输”指“甲获胜”或“甲、乙两人下成和棋”，故由互斥事件的概率加法公式，可得答案。
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件C “恰有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是第一枚击中第二枚没中，第二种是第一枚没中第二枚击中.
事件D“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中.
对于选项A，事件A包含在事件D中，故A正确.
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝ 正确.
对于选项C，由题意知正确.
对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故D不正确.
故答案为：D.
【分析】理解互斥事件的概念，对“至少”的理解是解题的关键。
5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：记“取到语文、数学、英语、物理、化学书”分别为事件A、B、C、D、E，
则A、B、C、D、E彼此互斥，
故取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．
所以 .
故答案为：C.
【分析】由互斥事件概率加法公式，直接求解，即得答案。
6．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义.
故答案为：C.
【分析】由对立事件的定义直接求得答案。
二、填空题
7．在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：记“向上的数字为5”为事件A，“向上的数字为6“为事件B， A，B发生的概率均为，由互斥事件概率加法公式可得 ；
故填： .
【分析】由互斥事件概率加法公式直接求解。
8．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为 ，那么所选3人中都是男生的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：设事件A为“3人中至少有1名女生”，事件B为“3人都为男生”，
则事件A，B为对立事件，
所以 .
答案： .
【分析】理解"3人中至少有1名女生"与" 3人中都是男生"是对立事件，是本题解题的关键。
9．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 ．
【答案】0.10
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：令“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“射手命中圆环Ⅱ”为事件B，“射手命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，
故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10.
【分析】由互斥事件概率加法公式及对立事件公式直接求解答案。
10．（2018高一下·定远期末）事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且P(A)＝2P(B)，则P( )＝ ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，
它们都不发生的概率为
解得 ，
，
.
故答案为： .
【分析】根据都不发生的概率为，建立等式1 P(A) P(B)=1 2P(B) P(B)=25，最后再用1-P(A)便可以求出最终答案。
三、解答题
11．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示．
医生人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
（1）若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
（2）若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
【答案】（1）解：由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
（2）解：由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）事件“派出医生不超过2人”包含事件“派出0人”，“派出1人”，“派出2人”，它们彼此互斥，由互斥事件概率加法公式直接求解。
（2）“派出医生最多4人”的对立事件为“派出人数≥5人”为对立事件，直接由对立事件概率之和等于1，求解答案。
12．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是 ，取到方块(事件B)的概率是 ，问：
（1）取到红色牌(事件C)的概率是多少？
（2）取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
【答案】（1）解：由题意得C＝A∪B，且事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得
P(C)＝P(A)＋P(B)＝ .
即取到红色牌(事件C)的概率是 .
（2）解：事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝ .
即取到黑色牌(事件D)的概率是 .
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】(1)“取到红色牌(事件C)”包含事件取到红色牌(事件C)“取到红心”与“取到方块”，且彼此互斥，由互斥事件概率加法公式直接求解。
（2）由对立事件的概率公式，直接解得答案。
13．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率分别为P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝ ，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
【答案】解：①如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则 ，又 ，∴ .∴三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；②如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】解答本题的关键在于事件A，B，C是否互斥，故要进行分类讨论；若互斥，则由互斥事件概率加法公式直接求解。
1 / 1人教A版高中数学必修三第三章3.1-3.1.3概率的基本性质 同步训练
一、单选题
1．下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分
C．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是 ，那么概率是 的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（ ）
A．60% B．30% C．10% D．50%
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 （ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
二、填空题
7．在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为 ．
8．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为 ，那么所选3人中都是男生的概率为 ．
9．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 ．
10．（2018高一下·定远期末）事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且P(A)＝2P(B)，则P( )＝ ．
三、解答题
11．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示．
医生人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
（1）若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
（2）若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
12．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是 ，取到方块(事件B)的概率是 ，问：
（1）取到红色牌(事件C)的概率是多少？
（2）取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
13．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率分别为P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ ，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝ ，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：在选项C中，由于事件“发芽90粒”与事件“至少发芽80粒”能同时发生，故两事件不是互斥事件.
故答案为：C.
【分析】理解互斥事件的概念即不可能同时发生事件。
2．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由于 ，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即“至多有一张移动卡”．
故答案为：A.
【分析】利用对立事件定义知概率为的事件即为事件“2张全是移动卡”的对立事件。
3．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两人下和棋的概率，
故答案为：D．
【分析】事件“甲不输”指“甲获胜”或“甲、乙两人下成和棋”，故由互斥事件的概率加法公式，可得答案。
4．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：事件C “恰有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是第一枚击中第二枚没中，第二种是第一枚没中第二枚击中.
事件D“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中.
对于选项A，事件A包含在事件D中，故A正确.
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝ 正确.
对于选项C，由题意知正确.
对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故D不正确.
故答案为：D.
【分析】理解互斥事件的概念，对“至少”的理解是解题的关键。
5．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：记“取到语文、数学、英语、物理、化学书”分别为事件A、B、C、D、E，
则A、B、C、D、E彼此互斥，
故取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．
所以 .
故答案为：C.
【分析】由互斥事件概率加法公式，直接求解，即得答案。
6．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义.
故答案为：C.
【分析】由对立事件的定义直接求得答案。
7．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：记“向上的数字为5”为事件A，“向上的数字为6“为事件B， A，B发生的概率均为，由互斥事件概率加法公式可得 ；
故填： .
【分析】由互斥事件概率加法公式直接求解。
8．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：设事件A为“3人中至少有1名女生”，事件B为“3人都为男生”，
则事件A，B为对立事件，
所以 .
答案： .
【分析】理解"3人中至少有1名女生"与" 3人中都是男生"是对立事件，是本题解题的关键。
9．【答案】0.10
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：令“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“射手命中圆环Ⅱ”为事件B，“射手命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，
故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10.
【分析】由互斥事件概率加法公式及对立事件公式直接求解答案。
10．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，
它们都不发生的概率为
解得 ，
，
.
故答案为： .
【分析】根据都不发生的概率为，建立等式1 P(A) P(B)=1 2P(B) P(B)=25，最后再用1-P(A)便可以求出最终答案。
11．【答案】（1）解：由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
（2）解：由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）事件“派出医生不超过2人”包含事件“派出0人”，“派出1人”，“派出2人”，它们彼此互斥，由互斥事件概率加法公式直接求解。
（2）“派出医生最多4人”的对立事件为“派出人数≥5人”为对立事件，直接由对立事件概率之和等于1，求解答案。
12．【答案】（1）解：由题意得C＝A∪B，且事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得
P(C)＝P(A)＋P(B)＝ .
即取到红色牌(事件C)的概率是 .
（2）解：事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝ .
即取到黑色牌(事件D)的概率是 .
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】(1)“取到红色牌(事件C)”包含事件取到红色牌(事件C)“取到红心”与“取到方块”，且彼此互斥，由互斥事件概率加法公式直接求解。
（2）由对立事件的概率公式，直接解得答案。
13．【答案】解：①如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则 ，又 ，∴ .∴三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；②如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】解答本题的关键在于事件A，B，C是否互斥，故要进行分类讨论；若互斥，则由互斥事件概率加法公式直接求解。
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