人教A版高中数学必修二3.1.1 倾斜角与斜率 同步训练
一、单选题
1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
2．若过两点A(4，y)、B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于 （ ）
A． B． C．－1 D．1
3．若A(－2，3)、B(3，－2)、 三点共线，则m的值为 （ ）
A． B． C．－2 D．2
4．直线l的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为 （ ）
A．1 B． C． D．
5．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 （ ）
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
6．经过两点A(2，1)、B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是 （ ）
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1
7．已知点A(1，3)、B(－2，－1)．若过点P(2，1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 （ ）
A． B．
C． 或 D．
二、填空题
8．设P为x轴上的一点，A(－3，8)、B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为 .
9．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 .
三、解答题
10．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：
（1）直线l1过原点，斜率为1；
（2）直线l2过点(3，0)，斜率为 ；
（3）直线l3过点(－3，0)，斜率为 ；
（4）直线l4过点(3，1)斜率不存在．
11．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 ，
故答案为：A.
【分析】结合斜率计算公式k=tanα，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】∵直线的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，即 ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】结合斜率计算公式，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵ ， ，
∵三点共线，
∴ ， 共线，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用和共线，得出对应坐标比值相等，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用，计算出的值，计算出的值，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】根据题意，画出图形，如图所示：
因为 ，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当 ， 的倾斜角为 ；当 时， 的倾斜角为 ，
故答案为：D．
【分析】分0°≤α<135°和135°≤α<180°讨论，结合图像，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，则 ，∴ ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】利用斜率计算公式大于0，代入数据，解不等式，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】由已知直线 恒过定点 ，如图．
若 与线段 相交，则 ，∵ ， ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】直线的方向介于PA和PB之间，计算斜率，即可得出答案。
8．【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】设 为满足题意的点，则 ， ，于是 ，解得 ，故答案为 .
【分析】结合斜率计算公式，得出，代入数据，即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】如图，当直线 在 位置时， ；当直线 在 位置时， ，故直线 的斜率的取值范围是 ，故答案为 .
【分析】通过绘图可知，该直线的斜率介于0到之间，即可得出答案。
10．【答案】（1）解： 如图所示．
（2）解： 如图所示．
（3）解： 如图所示．
（4）解： 如图所示．
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【分析】（1）图像过（0，0），倾斜角为45度，即可得出答案。（2）过（3，0）和（0，2），即可得出答案。（3）过点（-3，0）和（0，2），即可得出答案。（3）即为直线x=3，即可得出答案。
11．【答案】（1）解： 如图，
由题意可知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
要使 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 ，或 .
（2）解： 由题意可知直线l的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间，又直线 的倾斜角是 ，直线 的倾斜角是 ，故 的取值范围是 .
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【分析】（1）结合图像可知，直线l的斜率介于和之间，计算这两个斜率，即可得出答案。（2）分别计算出直线PB和直线PA的倾斜角，可知直线l的倾斜角介于这两个角之间，即可得出答案。
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一、单选题
1．若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 ，
故答案为：A.
【分析】结合斜率计算公式k=tanα，即可得出答案。
2．若过两点A(4，y)、B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于 （ ）
A． B． C．－1 D．1
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】∵直线的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，即 ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】结合斜率计算公式，即可得出答案。
3．若A(－2，3)、B(3，－2)、 三点共线，则m的值为 （ ）
A． B． C．－2 D．2
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵ ， ，
∵三点共线，
∴ ， 共线，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用和共线，得出对应坐标比值相等，即可得出答案。
4．直线l的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用，计算出的值，计算出的值，即可得出答案。
5．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 （ ）
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】根据题意，画出图形，如图所示：
因为 ，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当 ， 的倾斜角为 ；当 时， 的倾斜角为 ，
故答案为：D．
【分析】分0°≤α<135°和135°≤α<180°讨论，结合图像，即可得出答案。
6．经过两点A(2，1)、B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是 （ ）
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，则 ，∴ ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】利用斜率计算公式大于0，代入数据，解不等式，即可得出答案。
7．已知点A(1，3)、B(－2，－1)．若过点P(2，1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 （ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】由已知直线 恒过定点 ，如图．
若 与线段 相交，则 ，∵ ， ，∴ ，
故答案为：D.
【分析】直线的方向介于PA和PB之间，计算斜率，即可得出答案。
二、填空题
8．设P为x轴上的一点，A(－3，8)、B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为 .
【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】设 为满足题意的点，则 ， ，于是 ，解得 ，故答案为 .
【分析】结合斜率计算公式，得出，代入数据，即可得出答案。
9．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 .
【答案】
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】如图，当直线 在 位置时， ；当直线 在 位置时， ，故直线 的斜率的取值范围是 ，故答案为 .
【分析】通过绘图可知，该直线的斜率介于0到之间，即可得出答案。
三、解答题
10．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：
（1）直线l1过原点，斜率为1；
（2）直线l2过点(3，0)，斜率为 ；
（3）直线l3过点(－3，0)，斜率为 ；
（4）直线l4过点(3，1)斜率不存在．
【答案】（1）解： 如图所示．
（2）解： 如图所示．
（3）解： 如图所示．
（4）解： 如图所示．
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【分析】（1）图像过（0，0），倾斜角为45度，即可得出答案。（2）过（3，0）和（0，2），即可得出答案。（3）过点（-3，0）和（0，2），即可得出答案。（3）即为直线x=3，即可得出答案。
11．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围．
【答案】（1）解： 如图，
由题意可知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
要使 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 ，或 .
（2）解： 由题意可知直线l的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间，又直线 的倾斜角是 ，直线 的倾斜角是 ，故 的取值范围是 .
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【分析】（1）结合图像可知，直线l的斜率介于和之间，计算这两个斜率，即可得出答案。（2）分别计算出直线PB和直线PA的倾斜角，可知直线l的倾斜角介于这两个角之间，即可得出答案。
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