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高数统编版第一册 1.5 全称量词与存在量词同步训练
一、单选题
1．将a2+b2+2ab=（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A． a，b∈R，a2+b2+2ab=（a+b）2
B． a＜0，b＞0，a2+b2+2ab=（a+b）2
C． a＞0，b＞0，a2+b2+2ab=（a+b）2
D． a，b∈R，a2+b2+2ab=（a+b）2
【答案】D
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：命题对应的全称命题为： a，b∈R，a2+b2+2ab=（a+b）2
故选：D
【分析】根据全称命题的定义进行改写即可．
2．（2017高二下·济南期末）下列命题中是存在性命题的是（ ）
A． x∈R，x2＞0 B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等
【答案】B
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：A含有全称量词 ，为全称命题，
B含有特称命题 ，为存在性命题，满足条件．
C含有隐含有全称量词所有，为全称命题，
D含有隐含有全称量词所有，为全称命题，
故选：B．
【分析】根据特称命题的定义进行判断即可．
3．（2019高二下·双鸭山月考）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是.（ ）
A．三内角至少有一个小于60° B．三内角只有一个小于60°
C．三内角有三个小于60° D．三内角都大于60度
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的否定就是“三角形三个内角都大于60°”。因此反设就是三角形三个内角都大于60°，
故答案为：D。
【分析】根据命题的否定，直接写出相应的命题即可.
4．（2018高二上·福州期末）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．
故答案为：B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题。
5．（2019·江南模拟）已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】 ，
故答案为：
【分析】由全称命题的否定是特称命题，易得正确选项.
6．（2016高二下·新余期末）下列结论正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“ x∈R，x2+2＜0”是全称命题；
③若p： x∈R，x2+4x+4≤0，则q： x∈R，x2+4x+4≤0是全称命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：①命题“所有的四边形都是矩形”是全称命题，故①错误；
②命题“ x∈R，x2+2＜0”是全称命题，故②正确；
③若p： x∈R，x2+4x+4≤0，则q： x∈R，x2+4x+4≤0是全称命题，故③正确．
故选：C．
【分析】利用全称命题与特称命题的定义判断即可．
二、填空题
7．用符号“ ”或“ ”表示命题：实数的平方大于或等于 为 .
【答案】
【知识点】全称量词；全称量词命题
【解析】【解答】确定命题的形式为全称命题，然后翻译成符号语言.
故答案为 x ∈ R , x 2 ≥ 0
【分析】根据“ ”表示任意为全称命题；“ ”表示存在为特称命题；结合“实数的平方大于或等于 0”即任何实数的平方都大于或等于 0为全称命题。
8．（2019高二下·邗江月考）写出命题“ ，使得 ”的否定： .
【答案】 ，都有
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由含特称量词命题的否定可得该命题的否定为：“ ，都有 ”
本题正确结果： ，都有
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，直接写出相应的命题即可.
9．下列全称命题中是假命题的是 ．
①2x+1是整数（x∈R）；
②对所有的x∈R，x＞3；
③对任意的x∈Z，2x2+1为奇数．
【答案】①②
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：①是全称命题，是假命题，当x=0.6时，2x+1=2.2，不是整数；②是全称命题，是假命题，当x=1时，x＜3；③是全称命题，是真命题，∵x∈Z，∴2x2必为偶数，∴2x2+1必为奇数．
故答案为：①②．
【分析】根据全称命题的定义和含有量词的命题的判断方法判断命题的真假．
三、解答题
10．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p： x∈R，x2+2x+5＞0．
【答案】（1）解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“ x∈R，使x2+x+1≠0成立”
（2）解：由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“ x∈R，x2+2x+5≤0”
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．
11．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．
【答案】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为： m＞1，方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为： 一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为： 一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为： x∈R，x2≥0．
【知识点】存在量词命题
【解析】【分析】本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解．
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高数统编版第一册 1.5 全称量词与存在量词同步训练
一、单选题
1．将a2+b2+2ab=（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A． a，b∈R，a2+b2+2ab=（a+b）2
B． a＜0，b＞0，a2+b2+2ab=（a+b）2
C． a＞0，b＞0，a2+b2+2ab=（a+b）2
D． a，b∈R，a2+b2+2ab=（a+b）2
2．（2017高二下·济南期末）下列命题中是存在性命题的是（ ）
A． x∈R，x2＞0 B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等
3．（2019高二下·双鸭山月考）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是.（ ）
A．三内角至少有一个小于60° B．三内角只有一个小于60°
C．三内角有三个小于60° D．三内角都大于60度
4．（2018高二上·福州期末）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
5．（2019·江南模拟）已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．（2016高二下·新余期末）下列结论正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“ x∈R，x2+2＜0”是全称命题；
③若p： x∈R，x2+4x+4≤0，则q： x∈R，x2+4x+4≤0是全称命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．用符号“ ”或“ ”表示命题：实数的平方大于或等于 为 .
8．（2019高二下·邗江月考）写出命题“ ，使得 ”的否定： .
9．下列全称命题中是假命题的是 ．
①2x+1是整数（x∈R）；
②对所有的x∈R，x＞3；
③对任意的x∈Z，2x2+1为奇数．
三、解答题
10．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p： x∈R，x2+2x+5＞0．
11．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：命题对应的全称命题为： a，b∈R，a2+b2+2ab=（a+b）2
故选：D
【分析】根据全称命题的定义进行改写即可．
2．【答案】B
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：A含有全称量词 ，为全称命题，
B含有特称命题 ，为存在性命题，满足条件．
C含有隐含有全称量词所有，为全称命题，
D含有隐含有全称量词所有，为全称命题，
故选：B．
【分析】根据特称命题的定义进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的否定就是“三角形三个内角都大于60°”。因此反设就是三角形三个内角都大于60°，
故答案为：D。
【分析】根据命题的否定，直接写出相应的命题即可.
4．【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．
故答案为：B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题。
5．【答案】A
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】 ，
故答案为：
【分析】由全称命题的否定是特称命题，易得正确选项.
6．【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】解：①命题“所有的四边形都是矩形”是全称命题，故①错误；
②命题“ x∈R，x2+2＜0”是全称命题，故②正确；
③若p： x∈R，x2+4x+4≤0，则q： x∈R，x2+4x+4≤0是全称命题，故③正确．
故选：C．
【分析】利用全称命题与特称命题的定义判断即可．
7．【答案】
【知识点】全称量词；全称量词命题
【解析】【解答】确定命题的形式为全称命题，然后翻译成符号语言.
故答案为 x ∈ R , x 2 ≥ 0
【分析】根据“ ”表示任意为全称命题；“ ”表示存在为特称命题；结合“实数的平方大于或等于 0”即任何实数的平方都大于或等于 0为全称命题。
8．【答案】 ，都有
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由含特称量词命题的否定可得该命题的否定为：“ ，都有 ”
本题正确结果： ，都有
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，直接写出相应的命题即可.
9．【答案】①②
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：①是全称命题，是假命题，当x=0.6时，2x+1=2.2，不是整数；②是全称命题，是假命题，当x=1时，x＜3；③是全称命题，是真命题，∵x∈Z，∴2x2必为偶数，∴2x2+1必为奇数．
故答案为：①②．
【分析】根据全称命题的定义和含有量词的命题的判断方法判断命题的真假．
10．【答案】（1）解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“ x∈R，使x2+x+1≠0成立”
（2）解：由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“ x∈R，x2+2x+5≤0”
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．
11．【答案】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m=0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为： m＞1，方程x2﹣2x+m=0无实数根；
（2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为： 一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为： 一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为： x∈R，x2≥0．
【知识点】存在量词命题
【解析】【分析】本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解．
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