2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.3.1 等腰三角形 同步练习（2）
一、选择题
1．在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得 为等腰三角形，则点C的个数有
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
5．如图，AC与BD相交于O，∠1=∠4，∠2=∠3，△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为17cm，则AB=（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．无法确定
6．（2017·洪泽模拟）如图，四边形ABCD，∠A=110°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．140°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E两点分别在AC， BC上，BD是∠ABC的平分线，DE//AB，若BE=5 cm，CE=3 cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15 cm B．13 cm C．11 cm D．9 cm
8．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）．
A． B． C． D．
9．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（ ）．
A．8 cm B．2 cm或8 cm C．5 cm D．8 cm或5 cm
二、填空题
10．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是 .
11．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
12．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，若∠B＝50°，则∠DAC的度数是 ．
13．在 中， ，当 时， 是等腰三角形．
14．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点（不与B、C重合），连接AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC= ．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F.
求证：△AEF是等腰三角形．
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．
17．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
18．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
19．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：有两种情况：
①当∠A为顶角时，如图1，此时AE=AF=5cm．
②当∠A为底角时，如图2，此时AE=EF=5cm．
故答案为：B
【分析】分类讨论当∠A为顶角时，当∠A为底角时作出等腰三角形
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD= BE= AE= （AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD= ×（5-3）=2．
故答案为：D
【分析】角平分线得出线段相等，等角对等边，在根据相对垂直平分线的性质求BD
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA= ，
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形等边对等角，再利用三角形内角和与外角的性质可以求出∠DAC
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
AB= ，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再分类讨论以AB为底，腰找点C
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
即∠ABC=∠BAD.
在△ABC与△BAD中，
∵∠2＝∠3
AB＝BA ，
∠ABC＝∠BAD，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
∵△ABC的周长为25cm，
∴△BAD的周长为25cm，
∵∠2=∠3，
∴AO=BO，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD=AD+BO+OD=AB+BD=17cm，
∴AB=△ABD的周长-AD-BD=25-17=8cm．
故答案为：B.
【分析】等量加等量相等，在根据ASA判断三角形全等，利用周长求出AB
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
连接AD，
∵点D在AB、AC的垂直平分线上，
∴BD=AD，DC=AD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠BAC=110°=∠BAD+∠CAD，
∴∠B+∠C=110°，
∴∠BDC=360°﹣（∠B+∠C）﹣∠BAC=360°﹣110°﹣110°=140°，
故答案为：D．
【分析】抓住点D在AB、AC的垂直平分线上，因此连接AD，根据线段垂直平分线的性质，得到BD=AD，DC=AD，根据等腰三角形的性质，易求得∠B+∠C=∠BAD，即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
，
， .
，
，
，
，
.
【分析】根据BD是∠ABC的平分线得到两角相等，再由平行线性质得出内错角相等，同位角相等，再由等角对等边，求出△CDE的周长等于DE+CE+CD
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意， ，
∵ 是等腰三角形，且 ， ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即这个等腰三角形的顶角度数为 ，
故答案为：
【分析】作图解决利用等腰三角形的腰相等，且结合已知条件可以求出顶角为直角
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，
∵△ABC与△A′B′C′全等，
∴△A′B′C′的腰长也是5cm；
当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，
∵△A′B′C′与△ABC全等，
∴△A′B′C′的腰长也等于8cm，
即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm，
故答案为：D
【分析】△ABC与△A′B′C′全等，等腰三角形两边相等，分类讨论，当BC为底，腰都可构成等腰三角形算出腰长
10．【答案】7或3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
有两种情况：
①若AB+AD的长为6，则2x+x=6，
解得x=2，
则x+y=9，即2+y=9，
解得y=7；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，
解得x=3，
则x+y=6，即3+y=6，
解得y=3；
所以等腰三角形的底边长是7或3.
故答案为：7或3
【分析】分类讨论根据等腰三角形两腰相等，则腰上的中线与腰的交点为腰的中点，求出腰长再求出底边长
11．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3
【分析】由已知条件根据等腰三角形的性质的出角的度数进行判断有几个等腰三角形即可
12．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=40°．
故答案为：40°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和已知条件求角度
13．【答案】80°或50°或20
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形，∠A为底角，顶角进行分类讨论
14．【答案】36°或126°
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵AB=AC，∠CAB=108°，
∴∠ABC=∠C=36°，
当点D在线段BC时，
∵AB=BD，
∴∠BAD=72°，
∴∠DAC=36°，
当点D在CB的延长线上时，
∵AB=BD，
∴∠D′AB=18°，
∴∠D′AC=126°，
综上所述：∠DAC=36°或126°，
故答案为：36°或126°．
【分析】分类讨论当点D在线段BC时，当点D在CB的延长线上时，分别求出∠DAC
15．【答案】证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， 又∵AD∥EF，
∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，得出角相等再由平行线的性质得出两个角相等，判定△AEF是等腰三角形等腰三角形
16．【答案】解：小莉说法正确．
证明：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF．
则∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC． ∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．
∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝∠ADF＝90°． ∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF（SAS）． ∴ ∠E＝∠F． ∴ ∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．
∴∠ABC＝∠ACB． ∴ AB＝AC． 即△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】做辅助线构造三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得出角，边相等的关系，判定 △ADE≌△ADF，再由两边相等的三角形为等腰三角形
17．【答案】（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D＝20°，∴∠CAD＝70°， ∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝70°， 又∵∠BAC＝70°，∴∠BAC＝∠C，∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－70°－70°＝40°
（2）解：∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合已知条件作出DE⊥AC于点E，得出∠CAD＝70°，再利用AD∥BC，得出∠C＝∠CAD，等角对等边判定三角形为等腰三角形求出∠B。（2）等腰三角形三角形合一的性质得出DB是∠ABC的平分线.
18．【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线
（2）解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）等角对等边再利用等腰三角形的 三线合一的性质DF是线段AB的垂直平分线。（2）等腰三角形两腰相等，两底角相等得∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°。
19．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）
（2）75
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC= =75°，
故答案为：75．
【分析】（1）利用等腰三角形的两个底角相等，结合已知条件判断两三角形全等。（2）由（1）结论得出∠CAF=∠BAE，再由AD=AC，得出∠ADC=∠ACD求出度数.
1 / 12018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.3.1 等腰三角形 同步练习（2）
一、选择题
1．在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：有两种情况：
①当∠A为顶角时，如图1，此时AE=AF=5cm．
②当∠A为底角时，如图2，此时AE=EF=5cm．
故答案为：B
【分析】分类讨论当∠A为顶角时，当∠A为底角时作出等腰三角形
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD= BE= AE= （AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD= ×（5-3）=2．
故答案为：D
【分析】角平分线得出线段相等，等角对等边，在根据相对垂直平分线的性质求BD
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA= ，
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形等边对等角，再利用三角形内角和与外角的性质可以求出∠DAC
4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得 为等腰三角形，则点C的个数有
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
AB= ，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再分类讨论以AB为底，腰找点C
5．如图，AC与BD相交于O，∠1=∠4，∠2=∠3，△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为17cm，则AB=（ ）
A．4cm B．8cm C．12cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
即∠ABC=∠BAD.
在△ABC与△BAD中，
∵∠2＝∠3
AB＝BA ，
∠ABC＝∠BAD，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
∵△ABC的周长为25cm，
∴△BAD的周长为25cm，
∵∠2=∠3，
∴AO=BO，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD=AD+BO+OD=AB+BD=17cm，
∴AB=△ABD的周长-AD-BD=25-17=8cm．
故答案为：B.
【分析】等量加等量相等，在根据ASA判断三角形全等，利用周长求出AB
6．（2017·洪泽模拟）如图，四边形ABCD，∠A=110°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．140°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
连接AD，
∵点D在AB、AC的垂直平分线上，
∴BD=AD，DC=AD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠BAC=110°=∠BAD+∠CAD，
∴∠B+∠C=110°，
∴∠BDC=360°﹣（∠B+∠C）﹣∠BAC=360°﹣110°﹣110°=140°，
故答案为：D．
【分析】抓住点D在AB、AC的垂直平分线上，因此连接AD，根据线段垂直平分线的性质，得到BD=AD，DC=AD，根据等腰三角形的性质，易求得∠B+∠C=∠BAD，即可求出答案。
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E两点分别在AC， BC上，BD是∠ABC的平分线，DE//AB，若BE=5 cm，CE=3 cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15 cm B．13 cm C．11 cm D．9 cm
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
，
， .
，
，
，
，
.
【分析】根据BD是∠ABC的平分线得到两角相等，再由平行线性质得出内错角相等，同位角相等，再由等角对等边，求出△CDE的周长等于DE+CE+CD
8．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意， ，
∵ 是等腰三角形，且 ， ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即这个等腰三角形的顶角度数为 ，
故答案为：
【分析】作图解决利用等腰三角形的腰相等，且结合已知条件可以求出顶角为直角
9．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（ ）．
A．8 cm B．2 cm或8 cm C．5 cm D．8 cm或5 cm
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，
∵△ABC与△A′B′C′全等，
∴△A′B′C′的腰长也是5cm；
当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，
∵△A′B′C′与△ABC全等，
∴△A′B′C′的腰长也等于8cm，
即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm，
故答案为：D
【分析】△ABC与△A′B′C′全等，等腰三角形两边相等，分类讨论，当BC为底，腰都可构成等腰三角形算出腰长
二、填空题
10．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是 .
【答案】7或3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
有两种情况：
①若AB+AD的长为6，则2x+x=6，
解得x=2，
则x+y=9，即2+y=9，
解得y=7；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，
解得x=3，
则x+y=6，即3+y=6，
解得y=3；
所以等腰三角形的底边长是7或3.
故答案为：7或3
【分析】分类讨论根据等腰三角形两腰相等，则腰上的中线与腰的交点为腰的中点，求出腰长再求出底边长
11．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3
【分析】由已知条件根据等腰三角形的性质的出角的度数进行判断有几个等腰三角形即可
12．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，若∠B＝50°，则∠DAC的度数是 ．
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=40°．
故答案为：40°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和已知条件求角度
13．在 中， ，当 时， 是等腰三角形．
【答案】80°或50°或20
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形，∠A为底角，顶角进行分类讨论
14．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点（不与B、C重合），连接AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC= ．
【答案】36°或126°
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵AB=AC，∠CAB=108°，
∴∠ABC=∠C=36°，
当点D在线段BC时，
∵AB=BD，
∴∠BAD=72°，
∴∠DAC=36°，
当点D在CB的延长线上时，
∵AB=BD，
∴∠D′AB=18°，
∴∠D′AC=126°，
综上所述：∠DAC=36°或126°，
故答案为：36°或126°．
【分析】分类讨论当点D在线段BC时，当点D在CB的延长线上时，分别求出∠DAC
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F.
求证：△AEF是等腰三角形．
【答案】证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， 又∵AD∥EF，
∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，得出角相等再由平行线的性质得出两个角相等，判定△AEF是等腰三角形等腰三角形
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．
【答案】解：小莉说法正确．
证明：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF．
则∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC． ∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．
∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝∠ADF＝90°． ∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF（SAS）． ∴ ∠E＝∠F． ∴ ∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．
∴∠ABC＝∠ACB． ∴ AB＝AC． 即△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】做辅助线构造三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得出角，边相等的关系，判定 △ADE≌△ADF，再由两边相等的三角形为等腰三角形
17．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
【答案】（1）解：∵DE⊥AC于点E，∠D＝20°，∴∠CAD＝70°， ∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝70°， 又∵∠BAC＝70°，∴∠BAC＝∠C，∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－70°－70°＝40°
（2）解：∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合已知条件作出DE⊥AC于点E，得出∠CAD＝70°，再利用AD∥BC，得出∠C＝∠CAD，等角对等边判定三角形为等腰三角形求出∠B。（2）等腰三角形三角形合一的性质得出DB是∠ABC的平分线.
18．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线
（2）解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）等角对等边再利用等腰三角形的 三线合一的性质DF是线段AB的垂直平分线。（2）等腰三角形两腰相等，两底角相等得∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°。
19．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）
（2）75
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC= =75°，
故答案为：75．
【分析】（1）利用等腰三角形的两个底角相等，结合已知条件判断两三角形全等。（2）由（1）结论得出∠CAF=∠BAE，再由AD=AC，得出∠ADC=∠ACD求出度数.
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