11.2.1 三角形的内角第1课时 三角形的内角和定理课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和定理
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 探索并证明三角形内角和定理.
2. 能运用三角形内角和定理解决简单问题.
学习目标
重点
难点
请同学们准备好三角形纸片、剪刀、量角器、直尺.
在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角和等于 180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？
请大家利用手中的三角形纸片进行探究.
新课引入
方法一 用量角器测量三角形的三个内角的度数，并相加.
方法二 剪拼图形，如图所示.
该怎么证明呢？
通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°．所以,需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于180°.
一、三角形内角和定理
新知学习
由图(1)你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
在上面的方法二中，有两种不同的拼合方法，你用了哪一种？
(1)
(2)
图(1)中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上.直线 l 与边 BC 是平行关系.
A
B
C
已知：△ABC，
求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°.
由上述拼合过程得到启发,过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC(图(1))，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
证明：如图，过点 A 作直线 l，使l ∥ BC，
∵ l ∥ BC，
∴∠2 =∠4 ( 两直线平行，内错角相等 ).
同理∠3 =∠5.
∵∠1，∠4，∠5 组成平角，
∴∠1+∠4+∠5 = 180° ( 平角定义 ).
∴∠1+∠2+∠3 = 180° ( 等量代换 ).
l
A
C
B
1
2
3
4
5
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° .
A
B
C
符号语言：
在△ABC 中，
∠A +∠B +∠C = 180°.
如图(2)，将剪下的两个角拼在了第三个角的同一侧，这样也能形成一个平角.
你能模仿前面的证明过程，用图(2)的方法证明此定理吗
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l // AB .
∵ l //AB，
∴∠1 =∠4 ( 两直线平行，内错角相等 )，
∠2 =∠5 ( 两直线平行，同位角相等 ).
∵∠3，∠4，∠5 组成平角.
∴∠3 +∠4 +∠5 = 180° ( 平角定义 ).
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° ( 等量代换 ).
例1 如图，在△ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
C
B
D
解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线，得
∠BAD = ∠BAC = 20°
在△ABD 中，
∠ADB = 180° -∠B -∠BAD
=180° - 75° - 20° = 85° .
二 三角形内角和的应用
例2 下图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
A
C
B
D
E
北
北
50°
80°
40°
分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
解：∠CAB =∠BAD -∠CAD = 80° - 50° = 30°.
由 AD // BE，得∠BAD +∠ABE = 180° .
所以∠ABE = 180° -∠BAD = 180°-80° = 100°，
∠ABC =∠ABE -∠EBC = 100° - 40° = 60°.
在△ABC 中，
∠ACB = 180° -∠ABC -∠CAB = 180° - 60° - 30° = 90°
A
C
B
D
E
北
北
50°
80°
40°
答:从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°.
你还能想出其他解法吗？
A
C
B
D
E
北
北
50°
80°
40°
F
添加辅助线
分析：过点 C 作 CF // AD，则 CF// BE，
可得∠ACF =∠DAC = 50°，
∠BCF =∠CBE = 40°，
所以∠ACB =∠ACF +∠BCF = 90°.
∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，
所以∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=60°.
解法二：
同学们自己动手写出解法吧~
1.如图，从 A 处观测 C 处的仰角∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少
∟
A
C
B
D
30°
45°
针对训练
解：∵∠CBD = 45°，
∴∠ABC = 180° - ∠CBD = 135° .
在△ABC 中，∠CAB = 30°，
根据三角形内角和定理，
∠ACB = 180° -∠CAB -∠ABC = 180°-30°-135°=15° .
还有其他解法吗？
∟
A
C
B
D
30°
45°
解法二：∵∠CBD = 45°，
∴∠BCD = 180° - ∠D-∠CBD =180° - 90 ° - 45°=45° .
在△ADC 中，∠CAD = 30°，
∴∠ACD = 180° - ∠D-∠CAD =180° - 90 ° - 30°=60° .
∴∠ACB = ∠ACD -∠BCD = 60°-45°=15° .
1. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 是_______三角形.
2. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则∠A = °， ∠B = °，∠C = °.
直角
60
50
70
随堂练习
3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD，其中∠A = 150°， ∠B =∠D = 40°，求∠BCD 的度数.
A
C
B
D
150°
40°
40°
分析：由四边形 ABCD 左右对称得∠BAC =∠DAC = 75°，由∠ACB = 180° -∠BAC -∠B，求出∠ACB 的度数.
A
C
B
D
150°
40°
40°
解： ∵四边形 ABCD 左右对称，
∴∠BAC =∠DAC = 75°.
∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠B，
= 180° - 75° - 40°
= 65°.
∴∠ BCD = 2∠ACB = 2×65° = 130°.
4.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB.
（1）若∠A = 60°，求∠BPC 的度数．
解：在△ABC 中，∵∠A = 60°，
∴∠ABC +∠ACB = 120°．
∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，
∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB) = 60°．
∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°，
∴∠BPC = 180° - 60° = 120°．
解：∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB，
∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB)．
∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°，
∴∠BPC = 180° - (∠ABC +∠ACB)
= 180° - (180° - ∠A）
= 90° + ∠A．
(2) 你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？
1. 三角形内角和定理是什么？
2. 三角形内角和定理如何推导？
三角形三个内角的和等于 180°.
通过构造平角，利用平行线的性质转移角，利用平角的定义得到 180°.
课堂小结
谢谢
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