11.3.2多边形的内角和 课件（共27张PPT）
文档属性
| 名称 | 11.3.2多边形的内角和 课件（共27张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-03 08:53:59 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
第十一章 三角形
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.经历探索多边形的内角和与外角和公式的过程.
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
学习目标
重点
难点
那任意一个
四边形呢？
1.你知道三角形内角和是多少度吗？
三角形内角和等于180°.
长方形和正方形的内角和都是360°.
2.你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
新课引入
研究多边形的问题通过添加对角线，都可以转化为三角形. 你能利用三角形内角和定理，证明任意一个四边形 ABCD 的内角和等于 360° 吗？
已知：四边形 ABCD，
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
D
C
A
B
一 多边形内角和
新知学习
已知：四边形 ABCD，
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
D
C
A
B
方法1
证明：如图，连接 AC，
∠BAD +∠B +∠BCD +∠D
=∠1 +∠2 +∠B +∠3 +∠4 +∠D
=(∠1 +∠3 +∠B) +(∠2 +∠4 +∠D)
= 180°+180° = 360°.
1
2
3
4
方法2
证明：如图，在四边形内部取一点 O，连接 OA，OB，OC，OD，把四边形分成四个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和
= 180°×4 - (∠AOB +∠AOD +∠COD +∠COB)
= 180°×4 - 360°
= 360°.
D
C
A
B
O
方法3
证明：如图，在 BC 边上取一点 O ，连接 OA，OD，把四边形分成三个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和
= 180°×3 - (∠AOB +∠AOD +∠COD )
=180°×3 - 180°
=360°
D
C
A
B
O
方法4
证明：如图，在四边形外任取一点 O，连接 OA，OB，OC，OD，把四边形转化为有一个公共顶点的三个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和
= 180°×3 - (∠COB +∠CBO +∠BCO )
= 180°×3 - 180°
= 360°
D
C
A
B
O
以上这四种方法都运用了转化的思想，把四边形分割成三角形，转化为已学的三角形内角和进行求解.
类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
从一个顶点出发能作的对角线条数
过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形个数
多边形内角和
1
2
3
n-3
2
3
4
n-2
2×180°
3×180°
4×180°
(n-2)×180°
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形的内角和等于______________.
(n － 3)
（n － 2)
(n － 2)×180°
归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
D
C
A
B
解： 如图，在四边形 ABCD 中，
∠A +∠C = 180°，
∵∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
∴ ∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C)
= 360° - 180° = 180°
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
1.一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
所以这个正多边形是八边形.
针对训练
还有其他解法吗？
解法二：∵正多边形的每一个内角都等于135°，
∴正多边形的每一个外角都等于180°-135°=45°，
由多边形的外角和等于360°
360÷45=8
所以这个正多边形是八边形.
二 多边形的外角和
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少
分析：
1.任意一个外角同它相邻的内角有什么关系？
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？
互补
6×180°=1080°
解： 六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于 180°，因此六边形的 6 个外角加上它们相邻的内角，所得的总和等于 6 × 180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
6 × 180° - ( 6 - 2 ) × 180°= 2 × 180°=360°
思考
如果将例2中六边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？
n边形外角和
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
n边形的外角和等于360°.
归纳
你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
思考
1. 一个多边形的内角和是 1620°，它是 _________ 边形.
解： 根据多边形的内角和公式，可得 ( n - 2 )·180° = 1620°，
解方程得 n = 11，所以是十一边形.
2. 一个多边形的每一个外角都等于 30°，则这个多边形为 ________ 边形.
解： 由每一个外角都等于 30°，多边形的外角和为 360°，用 360 除以 30 可得这个多边形是十二边形.
十一
十二
针对训练
4. 一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
解： 由多边形的内角和与外角和相等，
可得方程为 ( n - 2 )·180° = 360°，解得 n = 4，
所以是四边形.
3.下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
A.540° B.580° C.1800° D.900°
B
1.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于外角和的2倍，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
所以这个多边形的边数为6.
随堂练习
2.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的每个内角是 x°，相邻外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是三条．
外角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
多边形的外角和等于360°，与边数无关.
多边形
正多边形
内角= ，外角= .
课堂小结
谢谢
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第十一章 三角形
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.经历探索多边形的内角和与外角和公式的过程.
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
学习目标
重点
难点
那任意一个
四边形呢？
1.你知道三角形内角和是多少度吗？
三角形内角和等于180°.
长方形和正方形的内角和都是360°.
2.你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
新课引入
研究多边形的问题通过添加对角线，都可以转化为三角形. 你能利用三角形内角和定理，证明任意一个四边形 ABCD 的内角和等于 360° 吗？
已知：四边形 ABCD，
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
D
C
A
B
一 多边形内角和
新知学习
已知：四边形 ABCD，
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
D
C
A
B
方法1
证明：如图，连接 AC，
∠BAD +∠B +∠BCD +∠D
=∠1 +∠2 +∠B +∠3 +∠4 +∠D
=(∠1 +∠3 +∠B) +(∠2 +∠4 +∠D)
= 180°+180° = 360°.
1
2
3
4
方法2
证明：如图，在四边形内部取一点 O，连接 OA，OB，OC，OD，把四边形分成四个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和
= 180°×4 - (∠AOB +∠AOD +∠COD +∠COB)
= 180°×4 - 360°
= 360°.
D
C
A
B
O
方法3
证明：如图，在 BC 边上取一点 O ，连接 OA，OD，把四边形分成三个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和
= 180°×3 - (∠AOB +∠AOD +∠COD )
=180°×3 - 180°
=360°
D
C
A
B
O
方法4
证明：如图，在四边形外任取一点 O，连接 OA，OB，OC，OD，把四边形转化为有一个公共顶点的三个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和
= 180°×3 - (∠COB +∠CBO +∠BCO )
= 180°×3 - 180°
= 360°
D
C
A
B
O
以上这四种方法都运用了转化的思想，把四边形分割成三角形，转化为已学的三角形内角和进行求解.
类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
从一个顶点出发能作的对角线条数
过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形个数
多边形内角和
1
2
3
n-3
2
3
4
n-2
2×180°
3×180°
4×180°
(n-2)×180°
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作_________条对角线，它们将n边形分为__________个三角形，n边形的内角和等于______________.
(n － 3)
（n － 2)
(n － 2)×180°
归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
D
C
A
B
解： 如图，在四边形 ABCD 中，
∠A +∠C = 180°，
∵∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
∴ ∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C)
= 360° - 180° = 180°
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
1.一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
所以这个正多边形是八边形.
针对训练
还有其他解法吗？
解法二：∵正多边形的每一个内角都等于135°，
∴正多边形的每一个外角都等于180°-135°=45°，
由多边形的外角和等于360°
360÷45=8
所以这个正多边形是八边形.
二 多边形的外角和
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少
分析：
1.任意一个外角同它相邻的内角有什么关系？
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？
互补
6×180°=1080°
解： 六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于 180°，因此六边形的 6 个外角加上它们相邻的内角，所得的总和等于 6 × 180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
6 × 180° - ( 6 - 2 ) × 180°= 2 × 180°=360°
思考
如果将例2中六边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？
n边形外角和
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
n边形的外角和等于360°.
归纳
你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
思考
1. 一个多边形的内角和是 1620°，它是 _________ 边形.
解： 根据多边形的内角和公式，可得 ( n - 2 )·180° = 1620°，
解方程得 n = 11，所以是十一边形.
2. 一个多边形的每一个外角都等于 30°，则这个多边形为 ________ 边形.
解： 由每一个外角都等于 30°，多边形的外角和为 360°，用 360 除以 30 可得这个多边形是十二边形.
十一
十二
针对训练
4. 一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
解： 由多边形的内角和与外角和相等，
可得方程为 ( n - 2 )·180° = 360°，解得 n = 4，
所以是四边形.
3.下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
A.540° B.580° C.1800° D.900°
B
1.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于外角和的2倍，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
所以这个多边形的边数为6.
随堂练习
2.一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的每个内角是 x°，相邻外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是三条．
外角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
多边形的外角和等于360°，与边数无关.
多边形
正多边形
内角= ，外角= .
课堂小结
谢谢
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