25.3解直角三角形 课件（31张PPT）

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25.3解直角三角形
第25章 锐角的三角比
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
解直角三角形
已知一边及一锐角解直角三角形
已知两边解直角三角形
已知一边及一锐角的三角比解直角三角形
01
03
02
04
CONTANTS
目 录
解直角三角形
01
(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.
图中∠A，∠B，a，b，c 即为直角三角形的五个元素.
锐角的三角比
回顾引入
在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
α
6
=75°
C
探究新知
在直角三角形中，知道其中哪些元素，可以求出其余的元素
已知条件 求角 求边
一个锐角α
两个锐角α、β
一条边a
两条边a、b
两条边a、c
两条边b、c
一条边a一个锐角A
一条边b一个锐角A
一条边c一个锐角A
另一角=90°-β
已知
无法求解
无法求解
无法求解
无法求解
∠B=90°-∠A
∠B=90°-∠A
∠B=90°-∠A
c2=a2+b2
b2=c2-a2
a2=c2-b2
探究新知
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
归纳总结
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
探究新知
已知两边解直角三角形
02
在图中的Rt△ABC中，
(1) 根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
探究新知
(2) 根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
探究新知
要点精析：解直角三角形时，
①已知两边求第三边用勾股定理；
②已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余”；
③在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的定义求出第三个元素．
由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角)中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，就可以求出另外三个元素．
探究新知
A
B
C
解：
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ，
，解这个直角三角形.
典型例题
已知一边及一锐角解直角三角形
03
在Rt△ABC 中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：
已知一锐角，则另一锐角易求．而求另两边则需要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计算．如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边．有时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式．
探究新知
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
20
c
a
35°
解：
典型例题
2.已知斜边和一锐角解直角三角形：
已知斜边和一锐角，则另一锐角易求．而求两直角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得已知锐角的邻边．当求出一直角边后，另一直角边也可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大．
探究新知
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形的其他元素．(长度精确到0.01)
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B 的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c ·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c ·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31.
解：
导引：
典型例题
已知一边及一锐角的锐角三角比解直角三角形
04
例4 如图，在△ABC 中，AB＝1，AC＝ sin B＝
求BC 的长．
要求的BC 边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B 的正弦值，作BC 边上的高，
将∠B 置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可
解决问题．
导引：
典型例题
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝
解：
典型例题
小 结
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC 的垂线，则∠B 的正弦值就无法利用．
探究新知
解直角三角形的原则：
(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）；
(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算；
(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解.
归纳总结
探究新知
2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB= ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则AC的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
B
C
课堂练习
3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a= ， b= ，则c= ；
（2）若a=10，c= ，则∠B= ；
（3）若b=35，∠A=45°，则a= ；
（4）若c=20，∠A=60°，则a= .
45°
35
4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，
则 AC 的长为 .
3.75
课堂练习
5.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）
课堂练习
6.如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，
D
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°.
∴CD=AC=2
∴
课堂练习
7.如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长．
解：在中，，
∵，，
∴，，
∵在中，，
∴，即，
∴
∴，，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=．
课堂练习
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．
解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，
∵∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝a，则BE＝AB﹣AE＝﹣a，
∵AC＝3，AB＝，∠C＝90°，
∴BC=，
∴，
课堂练习
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．
∴a=，
经检验，a=是上面方程的解.
∴DE=，BE=2
Rt△BED中，由勾股定理得：
BD2＝BE2+DE2=，
∴BD＝5.
课堂练习
板书设计
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角比
课堂小结
感谢观看