2018-2019学年数学华师大版八年级上册 11.2.3实数大小比较、估算无理数的大小、实数的运算 同步练习
一、选择题
1．（2018·黔西南）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜ ，
所以最大的数是 ．
故答案为：D．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小，即可得出答案。
2．（2018·成都）实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据数轴可知a＜b＜0＜c＜d
∴这四个数中最大的数是d
故答案为：D
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，即可得出结果。
3． 、 、5三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：这一组数据可化为 、 、 ．
∵27＞25＞24，∴ ＞ ＞ ，即2 ＜5＜ ．
故答案为：A
【分析】将三个数转化为、、，再根据实数的大小比较方法，可解答。
4．在1，0，-2，- 四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．-
【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：
1＞0＞ ＞﹣2，∴在1，0，-2，- 四个数中，最小的一个数是－2．
故答案为：C
【分析】根据负数比0和正数小，因此只需比较-2、-的大小，就可得出最小的数。
5．（2018·淄博）与 最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
故答案为：B．
【分析】的被开方数37位于两个完全平方数36余49之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大其算术平方根也越大即可得出6＜＜7，但的被开方数37最接近完全平方数36，故可得出答案。
6．（2018·重庆）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】
= ，
= ，
而 ，
4< <5，
所以2< <3，
所以估计 的值应在2和3之间，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算方法，利用乘法分配律去括号，再按二次根式的乘法法则计算并化简，然后根据算数平方根的性质，被开方数越大，算数平方根越大故算出2的大小，根据不等式的性质估算出最后结果的范围即可。
7．已知2+ 的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2=（ ）
A．13﹣2 B．9+2 C．11+ D．7+4
【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；实数的运算
【解析】【解答】解：∵1＜ ＜2
∴3＜ ＜4
∴a=3，
∴b= -3= -1
∴a2+b2=9+（ -1）2=9+3+1-2 =13-2 .
故答案为：A
【分析】由1＜ ＜2。可得出3＜ 2 + ＜4，就可得出a、b的值，再将a、b的值代入代数式计算可解答。
8．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：设正方形的边长等于a．
∵正方形的面积是12，∴a= =2 ．
∵9＜12＜16，∴3＜ ＜4，即3＜a＜4．
故答案为：B
【分析】先根据正方形的面积求出正方形的边长，再根据无理数的大小估算方法，可得出答案。
二、填空题
9．（2018·湘西模拟） 的小数部分是 ．
【答案】 ﹣4
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】∵42<( )2<52，
∴4＜ ＜5，
∴ 的小数部分是 ﹣4，
故答案为： ﹣4．
【分析】无理数是在4与5之间，可确定整数部分，则小数部分为无理数减去整数部分。
10．（2017七下·东城期中） 的倒数为 ； 的算术平方根为 ；比较实数的大小： ．
【答案】；；＞
【知识点】算术平方根；实数大小的比较
【解析】【解答】 ，
∴ 的倒数为 ；
∵ ，
∴ 的算术平方根为 ；
∵ ，
∴ ．
故答案为：、、>
【分析】1、负数的倒数仍是负数；2、应先求出的值6，再求6的算数平方根，本题是一道易错题；3、比较无理数的大小，同样负数相比较绝对值大的反而小.
11．计算： － ＝ .
【答案】2
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解： － ＝5-3=2
故答案为：2
【分析】先算开方运算，再算减法可求解。
12．在实数 中，最大的一个数是 .
【答案】
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：
π＞ ＞0＞ ＞﹣3，故实数 其中最大的数是π．
故答案为：π
【分析】根据实数比较大小的方法，要求最大的一个数，只需比较和的大小即可。
13．（2018·滨州模拟）[x）表示大于x的最小整数，如[2.3）=3，[﹣4）=﹣3，则下列判断：①[﹣8 ）=﹣9；②[x）﹣x有最大值是1；③[x）﹣x有最小值是0；④x＜[x）≤x+1，其中正确的是 （填编号）．
【答案】②④
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】①[-8 ）=-8，故①错误；
②[x）-x≤1，即最大值为1，故②正确；
③[x）-x＞0，但是取不到0，故③错误；
④因为[x）表示大于x的最小整数，所以存在实数x，x＜[x）≤x+1，故④正确，
故答案为：②④．
【分析】根据材料[x）表示大于x的最小整数即可判断。
14．（2018·重庆）计算： ．
【答案】3
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】
=2+1
=3
故答案为：3.
【分析】根据绝对值的意义，0指数的意义，分别化简，再根据有理数的加法法则计算出结果。
15．若四个有理数 同时满足： ， ， ，则这四个数从小到大的顺序是 ．
【答案】
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵a>b，a-b∴c-d>0，即c>d，
又∵a+b=c+d，
∴ad，
∴ ，
故答案为：
【分析】由a>b，a-b0，得出c与d的大小关系；再根据a+b=c+d，可得出ad，可得出答案。
三、解答题
16．李大爷有一块长方形菜地，且菜地的长是宽的2倍。
（1）若菜地的面积为98m2，求菜地的长与宽；
（2）若菜地的面积为90m2，这块菜地的宽是多少？（用根号表示）你能告诉李大爷这块菜地的宽在哪两个整数之间吗？
【答案】（1）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=98
∴2x2=98
∴x2=49
∴x=±
∴x=±7
又∵x>0 ∴x=7 ∴2x=14
∴菜地的长为14m，宽为7m。
（2）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=90
∴2x2=90
∴x2=45
∴x=±
又∵x>0 ∴x=
∴菜地的宽为 m。∵ < < ∴6< <7∴李大爷的菜地的宽在6与7之间
【知识点】算术平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】（1）根据菜地的长=宽×2；长方形菜地的面积=长×宽=98，设未知数，列方程求解即可。
（2）根据菜地的长=宽×2，长方形菜地的面积=长×宽=90，设未知数，列方程求解，再利用无理数的估算方法，可解答。
17．计算：
【答案】解：原式= = 1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先化简绝对值，再合并计算。
18．在数轴上表示数 ， ， ， ，并把这组数从小到大用“ ”号连接起来．
【答案】解：如图，
∴这组数的大小关系为 ．
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较
【解析】【分析】先将这些数表示在数轴上，再用把这组数从小到大用“ < ”号连接起来。
19．（2018·扬州）对于任意实数 、 ，定义关于“ ”的一种运算如下： .例如 .
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：
（2）解：由题意得 ∴ .
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算方法转化为有理数的混合运算，按有理数的混合运算算出结果即可；
（2）根据新定义运算的方法，列出二元一次方程组，求解得出x，y的值，再代入代数式，利用有理数的加法运算算出结果。
20．阅读理解
∵ ，即2< <3，∴1< -1<2，
∴ -1的整数部分为1，小数部分为 -2.
解决问题：
已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求(-a)3+(b+4)2的平方根.
【答案】解：∵ ，即4< <5，∴1< -3<2，
∴ -3的整数部分为1，小数部分为 -4，
即a=1，b= -4，
∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，
16的平方根是±4，
即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】由4< <5，可出1< -3<2，因此可得出a、b的值，再将a、b的值代入代数式，就可求出(-a)3+(b+4)2的平方根。
21．如图，网格中每个小正方形的边长为 1，
（1）求阴影部分的面积：
（2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为 a．已知 a 的整数部分和小数部分分别是 x 和 y，求 ( x - y )2的算术 平方根．
【答案】（1）解：由题意得：S 阴影= ×2×2×2+ ×2×2=6
（2）解：设正方形的边长为a，由（1）可知：
a2=6，
∵a＞0，
∴a= ；
∴x =2 ， y = - 2.
(x - y )2的算术平方根：
，= ，=4- .
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）观察图形，可得出阴影部分的面积就是三个三角形的面积之和。
（2）根据把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为 a，可得出a2=6求出a的值，再根据 a 的整数部分和小数部分分别是 x 和 y，可求出x、y的值，然后求出(x - y )2的算术平方根。
1 / 12018-2019学年数学华师大版八年级上册 11.2.3实数大小比较、估算无理数的大小、实数的运算 同步练习
一、选择题
1．（2018·黔西南）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
2．（2018·成都）实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
3． 、 、5三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．在1，0，-2，- 四个数中，最小的数是（ ）
A．1 B．0 C．-2 D．-
5．（2018·淄博）与 最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2018·重庆）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．已知2+ 的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2=（ ）
A．13﹣2 B．9+2 C．11+ D．7+4
8．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
二、填空题
9．（2018·湘西模拟） 的小数部分是 ．
10．（2017七下·东城期中） 的倒数为 ； 的算术平方根为 ；比较实数的大小： ．
11．计算： － ＝ .
12．在实数 中，最大的一个数是 .
13．（2018·滨州模拟）[x）表示大于x的最小整数，如[2.3）=3，[﹣4）=﹣3，则下列判断：①[﹣8 ）=﹣9；②[x）﹣x有最大值是1；③[x）﹣x有最小值是0；④x＜[x）≤x+1，其中正确的是 （填编号）．
14．（2018·重庆）计算： ．
15．若四个有理数 同时满足： ， ， ，则这四个数从小到大的顺序是 ．
三、解答题
16．李大爷有一块长方形菜地，且菜地的长是宽的2倍。
（1）若菜地的面积为98m2，求菜地的长与宽；
（2）若菜地的面积为90m2，这块菜地的宽是多少？（用根号表示）你能告诉李大爷这块菜地的宽在哪两个整数之间吗？
17．计算：
18．在数轴上表示数 ， ， ， ，并把这组数从小到大用“ ”号连接起来．
19．（2018·扬州）对于任意实数 、 ，定义关于“ ”的一种运算如下： .例如 .
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值.
20．阅读理解
∵ ，即2< <3，∴1< -1<2，
∴ -1的整数部分为1，小数部分为 -2.
解决问题：
已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求(-a)3+(b+4)2的平方根.
21．如图，网格中每个小正方形的边长为 1，
（1）求阴影部分的面积：
（2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为 a．已知 a 的整数部分和小数部分分别是 x 和 y，求 ( x - y )2的算术 平方根．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜ ，
所以最大的数是 ．
故答案为：D．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据数轴可知a＜b＜0＜c＜d
∴这四个数中最大的数是d
故答案为：D
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，即可得出结果。
3．【答案】A
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：这一组数据可化为 、 、 ．
∵27＞25＞24，∴ ＞ ＞ ，即2 ＜5＜ ．
故答案为：A
【分析】将三个数转化为、、，再根据实数的大小比较方法，可解答。
4．【答案】C
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：
1＞0＞ ＞﹣2，∴在1，0，-2，- 四个数中，最小的一个数是－2．
故答案为：C
【分析】根据负数比0和正数小，因此只需比较-2、-的大小，就可得出最小的数。
5．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
故答案为：B．
【分析】的被开方数37位于两个完全平方数36余49之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大其算术平方根也越大即可得出6＜＜7，但的被开方数37最接近完全平方数36，故可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】
= ，
= ，
而 ，
4< <5，
所以2< <3，
所以估计 的值应在2和3之间，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的混合运算方法，利用乘法分配律去括号，再按二次根式的乘法法则计算并化简，然后根据算数平方根的性质，被开方数越大，算数平方根越大故算出2的大小，根据不等式的性质估算出最后结果的范围即可。
7．【答案】A
【知识点】估算无理数的大小；实数的运算
【解析】【解答】解：∵1＜ ＜2
∴3＜ ＜4
∴a=3，
∴b= -3= -1
∴a2+b2=9+（ -1）2=9+3+1-2 =13-2 .
故答案为：A
【分析】由1＜ ＜2。可得出3＜ 2 + ＜4，就可得出a、b的值，再将a、b的值代入代数式计算可解答。
8．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：设正方形的边长等于a．
∵正方形的面积是12，∴a= =2 ．
∵9＜12＜16，∴3＜ ＜4，即3＜a＜4．
故答案为：B
【分析】先根据正方形的面积求出正方形的边长，再根据无理数的大小估算方法，可得出答案。
9．【答案】 ﹣4
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】∵42<( )2<52，
∴4＜ ＜5，
∴ 的小数部分是 ﹣4，
故答案为： ﹣4．
【分析】无理数是在4与5之间，可确定整数部分，则小数部分为无理数减去整数部分。
10．【答案】；；＞
【知识点】算术平方根；实数大小的比较
【解析】【解答】 ，
∴ 的倒数为 ；
∵ ，
∴ 的算术平方根为 ；
∵ ，
∴ ．
故答案为：、、>
【分析】1、负数的倒数仍是负数；2、应先求出的值6，再求6的算数平方根，本题是一道易错题；3、比较无理数的大小，同样负数相比较绝对值大的反而小.
11．【答案】2
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解： － ＝5-3=2
故答案为：2
【分析】先算开方运算，再算减法可求解。
12．【答案】
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：
π＞ ＞0＞ ＞﹣3，故实数 其中最大的数是π．
故答案为：π
【分析】根据实数比较大小的方法，要求最大的一个数，只需比较和的大小即可。
13．【答案】②④
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】①[-8 ）=-8，故①错误；
②[x）-x≤1，即最大值为1，故②正确；
③[x）-x＞0，但是取不到0，故③错误；
④因为[x）表示大于x的最小整数，所以存在实数x，x＜[x）≤x+1，故④正确，
故答案为：②④．
【分析】根据材料[x）表示大于x的最小整数即可判断。
14．【答案】3
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】
=2+1
=3
故答案为：3.
【分析】根据绝对值的意义，0指数的意义，分别化简，再根据有理数的加法法则计算出结果。
15．【答案】
【知识点】实数大小的比较
【解析】【解答】解：∵a>b，a-b∴c-d>0，即c>d，
又∵a+b=c+d，
∴ad，
∴ ，
故答案为：
【分析】由a>b，a-b0，得出c与d的大小关系；再根据a+b=c+d，可得出ad，可得出答案。
16．【答案】（1）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=98
∴2x2=98
∴x2=49
∴x=±
∴x=±7
又∵x>0 ∴x=7 ∴2x=14
∴菜地的长为14m，宽为7m。
（2）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=90
∴2x2=90
∴x2=45
∴x=±
又∵x>0 ∴x=
∴菜地的宽为 m。∵ < < ∴6< <7∴李大爷的菜地的宽在6与7之间
【知识点】算术平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】（1）根据菜地的长=宽×2；长方形菜地的面积=长×宽=98，设未知数，列方程求解即可。
（2）根据菜地的长=宽×2，长方形菜地的面积=长×宽=90，设未知数，列方程求解，再利用无理数的估算方法，可解答。
17．【答案】解：原式= = 1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先化简绝对值，再合并计算。
18．【答案】解：如图，
∴这组数的大小关系为 ．
【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较
【解析】【分析】先将这些数表示在数轴上，再用把这组数从小到大用“ < ”号连接起来。
19．【答案】（1）解：
（2）解：由题意得 ∴ .
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算方法转化为有理数的混合运算，按有理数的混合运算算出结果即可；
（2）根据新定义运算的方法，列出二元一次方程组，求解得出x，y的值，再代入代数式，利用有理数的加法运算算出结果。
20．【答案】解：∵ ，即4< <5，∴1< -3<2，
∴ -3的整数部分为1，小数部分为 -4，
即a=1，b= -4，
∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，
16的平方根是±4，
即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.
【知识点】平方根；估算无理数的大小
【解析】【分析】由4< <5，可出1< -3<2，因此可得出a、b的值，再将a、b的值代入代数式，就可求出(-a)3+(b+4)2的平方根。
21．【答案】（1）解：由题意得：S 阴影= ×2×2×2+ ×2×2=6
（2）解：设正方形的边长为a，由（1）可知：
a2=6，
∵a＞0，
∴a= ；
∴x =2 ， y = - 2.
(x - y )2的算术平方根：
，= ，=4- .
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）观察图形，可得出阴影部分的面积就是三个三角形的面积之和。
（2）根据把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为 a，可得出a2=6求出a的值，再根据 a 的整数部分和小数部分分别是 x 和 y，可求出x、y的值，然后求出(x - y )2的算术平方根。
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