2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点 ，则AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
2．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
3．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于F，连接CE，下列结论①FA=FE ②BD平分∠FBC ③∠DEC=∠EBD ④EC垂直平分BD，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
4．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC= ，则BE的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
6．（2017八下·宁波期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
7．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝AC C．AD＝EC D．OA＝OE
8．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：
①m+n=q+p；
②m+p=n+q；
③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；
④若m=n，则E点一定在BD上．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
9．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．20 C．35 D．40
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在 中， 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则线段 的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为 .
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB=3，BC=4.则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为 ．
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为 cm．
15．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．
16．（2017·阜阳模拟）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：
①∠AFC=120°；
②△AEF是等边三角形；
③AC=3OG；
④S△AOG= S△ABC
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长．
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，已知 ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面积．
22．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质，可得出OA=OC=OB=OD=3，由已知∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质，可解答。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝10，∠ABC＝∠D＝90°.
因为OM∥AB，所以∠AMO＝∠D＝90°.
因为OM＝3，AM＝ AD＝ ×10＝5.
Rt△AMO中，由勾股定理得AO＝ .
因为O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
所以OB＝AO＝
故答案为：D
【分析】利用已知易证点M时AD中点，可求出AM的长，再利用勾股定理求出AO的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得BO=AO，可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，DE=DC，∠BED=∠BCD=90°，
在△ABF和△EDF中，
，
∴△ABF≌△EDF，
∴FA=FE，①正确；
由折叠的性质可知，∠EBD=∠CBD，
∴BD平分∠FBC，②正确；
∵∠BED=∠BCD=90°，
∴E、B、C、D四点共圆，又DE=DC，
∴∠DEC=∠EBD，③正确；
由折叠的性质可知，BD垂直平分EC，④错误，
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质可知，DE=DC，∠BED=∠BCD=90°，就可证明△ABF≌△EDF，得出FA=FE，可对①作出判断；由折叠的性质可知，∠EBD=∠CBD，可对②作出判断；由∠BED=∠BCD=90°，可证得E、B、C、D四点共圆，由DE=DC，得出∠DEC=∠EBD，可对③作出判断；由折叠的性质可得出BD垂直平分EC，可对④作出判断。从而可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接DM，
∵矩形ABCD
∴∠B=90°。BC=AD=3
∵M为BC中点
∴BM=BC=×3=1.5
在Rt△ABM中
∵S△AMD=ADAB=AMDE
∴3×2=2.5DE
解之：DE=
故答案为：B.
【分析】连接DM，根据已知可求出△ADM的面积，根据中点的性质可得得出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长，然后利用等面积法可求得答案。
5．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD
∴∠A=∠D=90°，AB=CD
∴∠AFE+∠AEF=90 ，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90 ，
∴∠AEF+∠DEC=90 ，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，
∴AE=DC==AB，
在Rt△ABE中，BE=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和已知条件，可证得∠A=∠D=90°，AB=CD及∠AFE=∠DEC，再利用全等三角形的判定AAS，可证明△AEF≌△DCE；根据全等三角形的的性质，可知AE=DC= ，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长。
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OA=OB，∠DAB=90°
∵∠AOB＝120°
∴∠BAO＝30°
在RtΔABD中，BD=2AD=4
∴AB=
∵点E是CB的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE= AB= = ．
故选A.
7．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CA=CB，不能得到AB=AC，则B不一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立，
故答案为：B
【分析】由已知易证四边形BDEC是平行四边形，则BD=CE，∠B=∠E，由∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，可证△AOD≌△EOC，还可证明BC=AC，OA=OD，OE=OC，AC=DE，AD=EC，OA=OE。由此可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，如图1所示：
则m=AB EM，n=BC EH，p=CD EN，q=AD EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=GH，BC=AD=MN，
∴m+p=AB MN=AB BC，n+q=（BC GH=BC AB，
∴m+p=n+q；
∴①不正确，②正确；
若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，如图2所示：
则∠APB=∠CQF=90°，
∵m=BE AP，n=BE CQ，
∵m=n，
∴AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
在△ABP和△CFQ中，
，
∴△ABP≌△CFQ（AAS），
∴AB=CF，
∴F与D重合，
∴E一定在BD上；
∴③不正确，④正确．
故选：B．
【分析】过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，由矩形的性质容易证出①不正确，②正确；若m=n，则p=q，作 AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，先证AP=CQ，再证明△ABP≌△CFQ，得出AB=CF，F与D重合，得出③不正确，④正 确，即可得出结论．
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，由图可知 ，那么 ，
所以 ，同理， ，则 ，
故答案为：C.
【分析】连接EF，易证△EFG的面积与△ABG的面积相等，△EFH的面积与△DCH的面积相等，因此可得出阴影部分的面积=△ABG的面积+△DCH的面积，即可解答。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC= =5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB= ，
∵ BC AH= AB AC，
∴AH= ，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵ AD BO= BD AH，
∴OB= ，
∴BE=2OB= ，
在Rt△BCE中，EC= ，
故答案为：D．
【分析】连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，再求出BC、BE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题。
11．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE= ，
∵S△ABE= S矩形ABCD=3= AE BF，
∴BF= ．
故答案为
【分析】连接BE，利用矩形的性质，可得出AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，再利用勾股定理求出AE的长，然后利用S△ABE= S矩形ABCD=3= AE BF，就可解答。
12．【答案】6
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB，
∴S△EAB+S△ECD= AD h1+ BC h2= AD（h1+h2）= AD AB= 矩形ABCD的面积= ×3×4=6；
故答案为：6．
【分析】根据矩形的性质可得出AD=BC=4，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB，就可证出S△EAB+S△ECD=矩形ABCD的面积，计算可解答。
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠BAD=∠ADC=90°，
∴tan∠ADB= ，
∴∠ADB=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CDH=30°，
∵CD= AB=2 ，
∴CH= tan30 ×2 =2，
∴DH=2CH=4，
∴DP=DH，
∵∠MDP=∠MDH，
∴P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=
【分析】作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M，根据矩形的性质可得出∠C=∠BAD=∠ADC=90°，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠ADB=30°，就可求出∠BDC、∠CDH的度数，再利用解直角三角形求出CH的长，就可得出DH的长，然后由P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，即求出AH的长即可。
14．【答案】9
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC= = =10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD= AC= ×10=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF= OD= cm，
AF= ×8=4cm，
AE= OA= cm，
∴△AEF的周长= +4+ =9cm.
故答案为：9.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用矩形的性质，求出OA、OD的长，然后利用三角形的中位线定理及中点的定义求出EF、AF、AE的长，就可求得△AEF的周长。
15．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP= ，
∴EF的最小值为 ．
故答案为4.8
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A=90°，再证明四边形AEPF为矩形，连接AP，则EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到AP⊥BC时，AP的值最小，然后利用面积法计算此时AP的长即可。
16．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B=90°，
∴∠FCA=∠OAG，
∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵点G是AE中点且∠AOG=30°，
∴OG= AE=AG，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°，①正确；
∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°﹣30°=60°，
∴∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，②正确；
∵∠OAG=30°，EF⊥AC，
∴AE=2OE=2OG，
∴OA= OE= OG，
∴AC=2OA=2 OG，③不正确；
∵点G是AE中点，
∴S△AOG= S△AOE，
∵∠AOE=90°=∠B，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，相似比为 = = = ，
∴ =（ ）= ，
∴S△AOG= S△ABC，④正确；
故答案为：①②④．
【分析】由矩形的性质得出AB∥CD，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出∠FAC=∠FCA，由直角三角形的性质得出OG= AE=AG，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三角形内角和定理得出①正确；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF是等边三角形，②正确；由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA= OE= OG，得出AC=2OA=2 OG，③不正确；由中点的性质得出S△AOG= S△AOE，证明△AOE∽△ABC，得出 = ，得出S△AOG= S△ABC，④正确，即可得出结论．
17．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OD= BD=4，
∴∠AOD=90°，
∴AD= = =5．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形，
∴OE=AD=5
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，利用勾股定理求出AD的长，再根据平行四边形的判定定理，证明四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理，可证得四边形AODE是矩形，则该矩形的对角线相等，即AD=OE，可得出答案。
18．【答案】解： ∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°， ∠AEF=∠DCE， CE=EF，∠EAF=∠EDC， ， CD=EA， DE=2，AD+DC=8，DE+2AE=8， AE=3
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质及垂直的定义，可得∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，就可证得∠AEF=∠DCE，再利用ASA可证得△AEF和△DCE全等，利用全等三角形的性质得出CD=EA，然后由DE=2，AD+DC=8，求出AE的长。
19．【答案】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形四边形ENFM的周长。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∴四边形BECD是平行四边形．
∵AD=BC，AD =DE，
∴BC=DE．
∴平行四边形BECD是矩形
（2）解：如下图，连接AC，
∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，
∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°，
∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE= ，
∴在Rt△ACE中，AC= .
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得AB∥CD，AB=CD．再由BE=AB得出BE=CD，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BECD是平行四边形，然后证明BC=DE，继而可证得结论。
（2）根据平行四边形的性质和矩形的性质，可求出BC、BE的长，∠AEC=90°，再利用勾股定理求出CE的长，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AC的长。
21．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形
（2）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，
∴OF= CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面积= EC OF=1
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）要证四边形ABCD是矩形，题中已知两个角是直角，只需再证明一个角是直角，由AD∥BC，∠ABC=90°，可证得∠BAD=90°，从而可证得结论。
（2）作OF⊥BC于F，易证OF是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出OF的长，再证明△DEC是等腰直角三角形，就可求出EC的长，然后利用三角形的面积公式，可解答。
22．【答案】证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线∴AE＝ AB，AD＝ AC，ED是△ABC的中位线∴ED∥BC，ED＝ BC.∵点M，N分别为线段BO和CO的中点∴OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线∴MN∥BC，MN＝ BC∴ED∥MN，ED＝MN∴四边形EDNM是平行四边形∴OE＝ON，OD＝OM.∵AB＝AC∴AE＝AD.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD∴3OE＝3OM，即OE＝OM.又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN∴四边形EDNM是矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知证明ED是△ABC的中位线，MN是△OBC的中位线，可证得ED∥BC，ED∥MN，ED＝MN，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形EDNM是平行四边形，再证明△ABD≌△ACE，可得出BD＝CE，然后证明DM＝EN，就可证得结论。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点 ，则AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质，可得出OA=OC=OB=OD=3，由已知∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质，可解答。
2．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝10，∠ABC＝∠D＝90°.
因为OM∥AB，所以∠AMO＝∠D＝90°.
因为OM＝3，AM＝ AD＝ ×10＝5.
Rt△AMO中，由勾股定理得AO＝ .
因为O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
所以OB＝AO＝
故答案为：D
【分析】利用已知易证点M时AD中点，可求出AM的长，再利用勾股定理求出AO的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得BO=AO，可得出答案。
3．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于F，连接CE，下列结论①FA=FE ②BD平分∠FBC ③∠DEC=∠EBD ④EC垂直平分BD，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，DE=DC，∠BED=∠BCD=90°，
在△ABF和△EDF中，
，
∴△ABF≌△EDF，
∴FA=FE，①正确；
由折叠的性质可知，∠EBD=∠CBD，
∴BD平分∠FBC，②正确；
∵∠BED=∠BCD=90°，
∴E、B、C、D四点共圆，又DE=DC，
∴∠DEC=∠EBD，③正确；
由折叠的性质可知，BD垂直平分EC，④错误，
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质可知，DE=DC，∠BED=∠BCD=90°，就可证明△ABF≌△EDF，得出FA=FE，可对①作出判断；由折叠的性质可知，∠EBD=∠CBD，可对②作出判断；由∠BED=∠BCD=90°，可证得E、B、C、D四点共圆，由DE=DC，得出∠DEC=∠EBD，可对③作出判断；由折叠的性质可得出BD垂直平分EC，可对④作出判断。从而可得出答案。
4．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接DM，
∵矩形ABCD
∴∠B=90°。BC=AD=3
∵M为BC中点
∴BM=BC=×3=1.5
在Rt△ABM中
∵S△AMD=ADAB=AMDE
∴3×2=2.5DE
解之：DE=
故答案为：B.
【分析】连接DM，根据已知可求出△ADM的面积，根据中点的性质可得得出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长，然后利用等面积法可求得答案。
5．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC= ，则BE的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD
∴∠A=∠D=90°，AB=CD
∴∠AFE+∠AEF=90 ，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90 ，
∴∠AEF+∠DEC=90 ，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，
∴AE=DC==AB，
在Rt△ABE中，BE=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和已知条件，可证得∠A=∠D=90°，AB=CD及∠AFE=∠DEC，再利用全等三角形的判定AAS，可证明△AEF≌△DCE；根据全等三角形的的性质，可知AE=DC= ，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长。
6．（2017八下·宁波期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OA=OB，∠DAB=90°
∵∠AOB＝120°
∴∠BAO＝30°
在RtΔABD中，BD=2AD=4
∴AB=
∵点E是CB的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE= AB= = ．
故选A.
7．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝AC C．AD＝EC D．OA＝OE
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CA=CB，不能得到AB=AC，则B不一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立，
故答案为：B
【分析】由已知易证四边形BDEC是平行四边形，则BD=CE，∠B=∠E，由∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，可证△AOD≌△EOC，还可证明BC=AC，OA=OD，OE=OC，AC=DE，AD=EC，OA=OE。由此可得出答案。
8．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：
①m+n=q+p；
②m+p=n+q；
③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；
④若m=n，则E点一定在BD上．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，如图1所示：
则m=AB EM，n=BC EH，p=CD EN，q=AD EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=GH，BC=AD=MN，
∴m+p=AB MN=AB BC，n+q=（BC GH=BC AB，
∴m+p=n+q；
∴①不正确，②正确；
若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，如图2所示：
则∠APB=∠CQF=90°，
∵m=BE AP，n=BE CQ，
∵m=n，
∴AP=CQ，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
在△ABP和△CFQ中，
，
∴△ABP≌△CFQ（AAS），
∴AB=CF，
∴F与D重合，
∴E一定在BD上；
∴③不正确，④正确．
故选：B．
【分析】过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，由矩形的性质容易证出①不正确，②正确；若m=n，则p=q，作 AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，先证AP=CQ，再证明△ABP≌△CFQ，得出AB=CF，F与D重合，得出③不正确，④正 确，即可得出结论．
9．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．15 B．20 C．35 D．40
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接EF，由图可知 ，那么 ，
所以 ，同理， ，则 ，
故答案为：C.
【分析】连接EF，易证△EFG的面积与△ABG的面积相等，△EFH的面积与△DCH的面积相等，因此可得出阴影部分的面积=△ABG的面积+△DCH的面积，即可解答。
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在 中， 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则线段 的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC= =5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB= ，
∵ BC AH= AB AC，
∴AH= ，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵ AD BO= BD AH，
∴OB= ，
∴BE=2OB= ，
在Rt△BCE中，EC= ，
故答案为：D．
【分析】连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，再求出BC、BE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题。
二、填空题
11．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF长为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE= ，
∵S△ABE= S矩形ABCD=3= AE BF，
∴BF= ．
故答案为
【分析】连接BE，利用矩形的性质，可得出AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，再利用勾股定理求出AE的长，然后利用S△ABE= S矩形ABCD=3= AE BF，就可解答。
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB=3，BC=4.则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB，
∴S△EAB+S△ECD= AD h1+ BC h2= AD（h1+h2）= AD AB= 矩形ABCD的面积= ×3×4=6；
故答案为：6．
【分析】根据矩形的性质可得出AD=BC=4，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB，就可证出S△EAB+S△ECD=矩形ABCD的面积，计算可解答。
13．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形
【解析】【解答】解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠BAD=∠ADC=90°，
∴tan∠ADB= ，
∴∠ADB=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CDH=30°，
∵CD= AB=2 ，
∴CH= tan30 ×2 =2，
∴DH=2CH=4，
∴DP=DH，
∵∠MDP=∠MDH，
∴P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=
【分析】作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M，根据矩形的性质可得出∠C=∠BAD=∠ADC=90°，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，可求出∠ADB=30°，就可求出∠BDC、∠CDH的度数，再利用解直角三角形求出CH的长，就可得出DH的长，然后由P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，即求出AH的长即可。
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为 cm．
【答案】9
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC= = =10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD= AC= ×10=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF= OD= cm，
AF= ×8=4cm，
AE= OA= cm，
∴△AEF的周长= +4+ =9cm.
故答案为：9.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用矩形的性质，求出OA、OD的长，然后利用三角形的中位线定理及中点的定义求出EF、AF、AE的长，就可求得△AEF的周长。
15．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP= ，
∴EF的最小值为 ．
故答案为4.8
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠A=90°，再证明四边形AEPF为矩形，连接AP，则EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到AP⊥BC时，AP的值最小，然后利用面积法计算此时AP的长即可。
16．（2017·阜阳模拟）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：
①∠AFC=120°；
②△AEF是等边三角形；
③AC=3OG；
④S△AOG= S△ABC
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B=90°，
∴∠FCA=∠OAG，
∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵点G是AE中点且∠AOG=30°，
∴OG= AE=AG，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°，①正确；
∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°﹣30°=60°，
∴∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，②正确；
∵∠OAG=30°，EF⊥AC，
∴AE=2OE=2OG，
∴OA= OE= OG，
∴AC=2OA=2 OG，③不正确；
∵点G是AE中点，
∴S△AOG= S△AOE，
∵∠AOE=90°=∠B，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，相似比为 = = = ，
∴ =（ ）= ，
∴S△AOG= S△ABC，④正确；
故答案为：①②④．
【分析】由矩形的性质得出AB∥CD，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出∠FAC=∠FCA，由直角三角形的性质得出OG= AE=AG，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三角形内角和定理得出①正确；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF是等边三角形，②正确；由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA= OE= OG，得出AC=2OA=2 OG，③不正确；由中点的性质得出S△AOG= S△AOE，证明△AOE∽△ABC，得出 = ，得出S△AOG= S△ABC，④正确，即可得出结论．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OD= BD=4，
∴∠AOD=90°，
∴AD= = =5．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形，
∴OE=AD=5
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，利用勾股定理求出AD的长，再根据平行四边形的判定定理，证明四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理，可证得四边形AODE是矩形，则该矩形的对角线相等，即AD=OE，可得出答案。
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。
【答案】解： ∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°， ∠AEF=∠DCE， CE=EF，∠EAF=∠EDC， ， CD=EA， DE=2，AD+DC=8，DE+2AE=8， AE=3
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质及垂直的定义，可得∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，就可证得∠AEF=∠DCE，再利用ASA可证得△AEF和△DCE全等，利用全等三角形的性质得出CD=EA，然后由DE=2，AD+DC=8，求出AE的长。
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？
【答案】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形四边形ENFM的周长。
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，已知 ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∴四边形BECD是平行四边形．
∵AD=BC，AD =DE，
∴BC=DE．
∴平行四边形BECD是矩形
（2）解：如下图，连接AC，
∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，
∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°，
∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE= ，
∴在Rt△ACE中，AC= .
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得AB∥CD，AB=CD．再由BE=AB得出BE=CD，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BECD是平行四边形，然后证明BC=DE，继而可证得结论。
（2）根据平行四边形的性质和矩形的性质，可求出BC、BE的长，∠AEC=90°，再利用勾股定理求出CE的长，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理求出AC的长。
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形
（2）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，
∴OF= CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面积= EC OF=1
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）要证四边形ABCD是矩形，题中已知两个角是直角，只需再证明一个角是直角，由AD∥BC，∠ABC=90°，可证得∠BAD=90°，从而可证得结论。
（2）作OF⊥BC于F，易证OF是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出OF的长，再证明△DEC是等腰直角三角形，就可求出EC的长，然后利用三角形的面积公式，可解答。
22．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．
【答案】证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线∴AE＝ AB，AD＝ AC，ED是△ABC的中位线∴ED∥BC，ED＝ BC.∵点M，N分别为线段BO和CO的中点∴OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线∴MN∥BC，MN＝ BC∴ED∥MN，ED＝MN∴四边形EDNM是平行四边形∴OE＝ON，OD＝OM.∵AB＝AC∴AE＝AD.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD∴3OE＝3OM，即OE＝OM.又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN∴四边形EDNM是矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知证明ED是△ABC的中位线，MN是△OBC的中位线，可证得ED∥BC，ED∥MN，ED＝MN，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形EDNM是平行四边形，再证明△ABD≌△ACE，可得出BD＝CE，然后证明DM＝EN，就可证得结论。
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