2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）平行四边形的一条边长是10cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）
A．6cm和8cm B．10cm和20cm C．8cm和12cm D．12cm和32cm
2．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．16 C．4 D．2
3．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）菱形 的两条对角线长分别为 和 ，则它的周长和面积分别为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在菱形 中， ， ， 、 分别是边 、 中点，则 周长等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2016八下·曲阜期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
7．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）在如图直角坐标系内，四边形AOBC是边长为2的菱形，E为边OB的中点，连结AE与对角线OC交于点D，且∠BCO=∠EAO，则点D坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（1， ）
C．（ ， ） D．（1， ）
8．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知菱形ABCD的边长等于2，若∠DAB=60°，则对角线BD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，若平移点 到点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移（ ）个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移 个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
二、填空题
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 ，则CE的长为
11．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）菱形的两条对角线长分别为2和2 ，则该菱形的高为 ．
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 度．
13．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是 ．
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为32，则菱形面积为 .
15．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长 ．
三、解答题
16．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，EC，将△FAE绕点F旋转180°得到△FDM．
（1）补全图形并证明：EF⊥AC；
（2）若∠B=60°，求△EMC的面积．
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且 ．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．
（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH．
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.
（1）菱形ABCO的边长
（2）求直线AC的解析式；
（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，
①当0＜t＜ 时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除；
A、取对角线的一半与已知边长，得3，4，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得5，10，10，能构成三角形；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得6，16，10，不能构成三角形，舍去．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知，对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求解。
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AO= AC=3，DO= BD=2，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
在Rt△AOD中，AD= ，
∴菱形ABCD的周长为4 ，
故答案为：4 .
【分析】由菱形的性质可得△AOD是直角三角形，AO= AC，DO=BD，用勾股定理可求得AD的长，则菱形ABCD的周长=4AD。
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=8cm，BD=6cm，∴AD=5cm，周长=4×5=20 cm， S菱形ABCD= AC BD=24cm2．故答案为：B.
【分析】由菱形的性质可解直角三角形AOB求得AB的长，则周长=4AB；面积=AC BD.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连结AC，因为∠B＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等边三角形，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以△AEF是等边三角形.
因为AB＝2，所以BE＝1，由勾股定理得AE＝ ，
所以△AEF的周长为 .
故答案为：B.
【分析】连结AC，由菱形的性质和已知条件易证△ABC是等边三角形，再根据E，F分别是边BC，CD的中点易证△AEF是等边三角形，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的长，则等边三角形AEF的周长=3AE。
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
∴AB=BC=4，AB CE′=8 ，
∴CE′=2 ，
在Rt△BCE′中，BE′= ，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 ，
故答案为：B．
【分析】如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．由菱形的性质可求得菱形的边长、点A、C关于DB对称，连接CE与BD的交点即为使EP+AP取得最小值的点P，则EP+AP的最小值即为CE的长，根据菱形的性质解直角三角形AEC即可。
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵BC∥OA， ∴∠BCO=∠COA， 又∵∠BCO=∠EAO， ∴∠COA=∠EAO，
∴△AOD为等腰三角形， ∴点D的横坐标为1， ∵四边形OACB为菱形，
∴∠BOA=2∠AOE， ∵AO=2OE， ∴∠DAO=∠DOA=30°，
∴点D的纵坐标为 ， ∴点D的坐标为(1， )．故答案为：D．
【分析】由菱形的性质和已知条件易证△AOD为等腰三角形，∠BOA=2∠AOE，AO=2OE，根据线段中点的定义可得点D的横坐标，解直角三角形即可求得点D的纵坐标。
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故答案为：C．
【分析】由菱形的性质和已知条件易证△DAB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。
9．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作BH⊥x轴于H，
∵B（ ，1），
∴OB= ，
∵A（2，0），
∴C（3，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平 个单位，再向上平移1个单位而得到，
故答案为：C．
【分析】过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，过B作BH⊥x轴于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OACB是平行四边形，用勾股定理可求得OB的长，由计算可求得OA=OB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的性质即可得平移的方向和距离。
10．【答案】5 或
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴
∴
∴
∵点E在AC上，
∴当E在点O左边时
当点E在点O右边时
∴ 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】根据菱形的性质和已知条件易证△ABD是等边三角形、△ABO是直角三角形，用勾股定理易求AO的长，则AC=2AO，当E在点O左边时CE=OC+OE可求解；当点E在点O右边时CE=OC OE可求解。
11．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
由题意知AC=2，BD=2 ，
则菱形的面积S= ×2×2 =2 ，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=1，BO= ，
∴AB= =2，
∴菱形的高h= = ．
故答案为： ．
【分析】设菱形的高h，根据菱形的对角线互相垂直平分可得△AOB为直角三角形，用勾股定理可求得AB的长，而菱形的面积=，解方程即可求解。
12．【答案】45
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵菱形ABCD，∴AB=BC，∠B=∠D=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°
∴AB=AC，∠ACF= ∠BCD=60°，
∴∠B=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，
又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
又∠AFD=180°-45°-60°=75°，
则∠CFE=180°-75°-60°=45°．
故答案为：45．
【分析】连接AC，根据菱形的性质用角边角易证得△ABE≌△ACF，所以AE=AF，由已知条件易证△AEF是等边三角形，所以根据等边三角形的性质可得∠AFE=60°，由三角形内角和定理可求得∠AFD的度数，同理可得∠CFE的度数。
13．【答案】18
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，
∴BC=AB= ，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.
故答案为：18
【分析】根据菱形的性质，在直角三角形AOB中，用勾股定理可求得AB的长，则△ABC的周长=AB+BC+AC可求解。
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD中，其周长为32，
∴AB=BC=CD=DA=8，AC⊥BD， OA=OC，OB=OD，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，OB=4，AB=8，
根据勾股定理可得OA=4 ，
∴AC=2AO= ，
∴菱形ABCD的面积为： = .
【分析】由菱形的性质和已知条件易证△ABD为等边三角形，在Rt△AOB中，根据勾股定理可求得OA的长，则AC=2AO，所以菱形ABCD的面积=即可求解。
15．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= = = ，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= = = ；
故答案是： ．
【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形可得平行四边形OCED是矩形，由菱形的性质和已知条件易证△ABC为等边三角形，在矩形OCED中，由勾股定理求得CE=OD的长，在Rt△ACE中，由勾股定理得即可求得AE的长。
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先利用菱形的性质可求出∠A=∠C，AD=CD，再结合已知条件DE⊥AB，DF⊥BC，可得∠AED=∠CFD，从而由AAS可证△ADE≌△CDF。
17．【答案】（1）证明：①补全图形如下图所示：②如下图，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∴EF⊥AC.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是AB的中点，
∴CE⊥AB，CE⊥MC.
即△EMC是直角三角形，且CE=BC×sin60°= .
由（1）得MD=AE= AB=1.
∴MC=MD+DC=3.
∴S△EMC= MC×CE= .
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①由题意可补全图形；
②连接BD，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，DB⊥AC，由三角形的中位线定理可得EF∥BD，则可得EF⊥AC；
（2）由菱形的性质和已知条件易证△ABC是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一可得CE⊥AB，CE⊥MC；解直角三角形EMC可求得CE的长，由（1）的结论可得MD=AE=AB，则MC=MD+DC，所以△EMC的面积=MC×CE可求解。
18．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
，且 ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形．
（2）如图，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1，
∴∠3=∠4
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=BC=5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，从而得出AF=EC，进而求解即可。
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1=∠2，可求得∠3=∠4，再利用直角三角形的性质得出答案。
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
在△OAE和△OCF中，
∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF；
（2）解：∵E是AB中点，
∴BE=AE=CF．
∵BE∥CF，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∵AB=2，
∴EF=BC=AB=2．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质用角边角易证△AOE≌△COF求解；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解。
20．【答案】（1）EH2+CH2=AE2
（2）解：如图2，∵菱形ABCD，∠ADC=60°，∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，∵EH⊥CD，∴∠DEH=60°，在CH上截取HG，使HG=EH，∵DH⊥EG，∴ED=DG，又∵∠DEG=60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠EDG=60°，∵∠EDG=∠ADC=60°，∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG，∴∠ADE=∠CDG，在△DAE与△DCG中， ，
∴△DAE≌△DCG，
∴AE=GC，
∵CH=CG+GH，
∴CH=AE+EH．
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】（1）解：EH2+CH2=AE2，
如图1，过E作EM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵EH⊥CD，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME与△DHE中，
，
∴△DME≌△DHE，
∴EM=EH，DM=DH，
∴AM=CH，
在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，
∴AE2=EH2+CH2；
故答案为：EH2+CH2=AE2
【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得ME=HE，由菱形的性质用角角边易证△DME≌△DHE，所以EM=EH，DM=DH，则AM=CH，在Rt△AME中，用勾股定理可得EH2+CH2=AE2； （2）在CH上截取HG，使HG=EH，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△DEG是等边三角形，于是用边角边易证△DAE≌△DCG，所以AE=GC，即可得CH=AE+EH。
21．【答案】（1）5
（2）解：∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得
，解得 ，
直线AC的解析式y=﹣ x+
（3）解：设M到直线BC的距离为h，当x=0时，y= ，即M（0， ），HM=HO﹣OM=4﹣ = ，由S△ABC=S△AMB+SBMC= AB OH= AB HM+ BC h， ×5×4= ×5× + ×5h，解得h= ，
①当0＜t＜ 时，BP=BA﹣AP=5﹣2t，HM=OH﹣OM= ，
S= BP HM= × （5﹣2t）=﹣ t+ ；
②当2.5＜t≤5时，BP=2t﹣5，h= ，
S= BP h= × （2t﹣5）= t﹣ ，
把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣ t+ ，
解得：t= ，把S=3代入②的解析式得，3= t﹣ ，解得：t= ．∴t= 或 ．
【知识点】菱形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（1）Rt△AOH中，
AO= = =5，
所以菱形边长为5；
故答案为：5
【分析】（1）由菱形的性质，在Rt△AOH中用勾股定理即可求解；
（2）由菱形的性质易得点C的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（3）设M到直线BC的距离为h，根据S△ABC=S△AMB+SBMC可求得h的值：
①当0＜t＜时，根据S=BP HM即可求解；
②当2.5＜t≤5时，根据S=BP h可得s与t之间的函数关系式，再将S=3代入①和②中的解析式即可求解。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）平行四边形的一条边长是10cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）
A．6cm和8cm B．10cm和20cm C．8cm和12cm D．12cm和32cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除；
A、取对角线的一半与已知边长，得3，4，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得5，10，10，能构成三角形；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得6，16，10，不能构成三角形，舍去．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知，对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求解。
2．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．16 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AO= AC=3，DO= BD=2，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
在Rt△AOD中，AD= ，
∴菱形ABCD的周长为4 ，
故答案为：4 .
【分析】由菱形的性质可得△AOD是直角三角形，AO= AC，DO=BD，用勾股定理可求得AD的长，则菱形ABCD的周长=4AD。
3．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）菱形 的两条对角线长分别为 和 ，则它的周长和面积分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=8cm，BD=6cm，∴AD=5cm，周长=4×5=20 cm， S菱形ABCD= AC BD=24cm2．故答案为：B.
【分析】由菱形的性质可解直角三角形AOB求得AB的长，则周长=4AB；面积=AC BD.
4．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在菱形 中， ， ， 、 分别是边 、 中点，则 周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连结AC，因为∠B＝60°，BA＝BC，所以△ABC是等边三角形，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以△AEF是等边三角形.
因为AB＝2，所以BE＝1，由勾股定理得AE＝ ，
所以△AEF的周长为 .
故答案为：B.
【分析】连结AC，由菱形的性质和已知条件易证△ABC是等边三角形，再根据E，F分别是边BC，CD的中点易证△AEF是等边三角形，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的长，则等边三角形AEF的周长=3AE。
5．（2016八下·曲阜期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．
6．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
∴AB=BC=4，AB CE′=8 ，
∴CE′=2 ，
在Rt△BCE′中，BE′= ，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长=2 ，
故答案为：B．
【分析】如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．由菱形的性质可求得菱形的边长、点A、C关于DB对称，连接CE与BD的交点即为使EP+AP取得最小值的点P，则EP+AP的最小值即为CE的长，根据菱形的性质解直角三角形AEC即可。
7．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）在如图直角坐标系内，四边形AOBC是边长为2的菱形，E为边OB的中点，连结AE与对角线OC交于点D，且∠BCO=∠EAO，则点D坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（1， ）
C．（ ， ） D．（1， ）
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵BC∥OA， ∴∠BCO=∠COA， 又∵∠BCO=∠EAO， ∴∠COA=∠EAO，
∴△AOD为等腰三角形， ∴点D的横坐标为1， ∵四边形OACB为菱形，
∴∠BOA=2∠AOE， ∵AO=2OE， ∴∠DAO=∠DOA=30°，
∴点D的纵坐标为 ， ∴点D的坐标为(1， )．故答案为：D．
【分析】由菱形的性质和已知条件易证△AOD为等腰三角形，∠BOA=2∠AOE，AO=2OE，根据线段中点的定义可得点D的横坐标，解直角三角形即可求得点D的纵坐标。
8．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知菱形ABCD的边长等于2，若∠DAB=60°，则对角线BD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故答案为：C．
【分析】由菱形的性质和已知条件易证△DAB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。
9．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，若平移点 到点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移（ ）个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移 个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作BH⊥x轴于H，
∵B（ ，1），
∴OB= ，
∵A（2，0），
∴C（3，1）
∴OA=OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平 个单位，再向上平移1个单位而得到，
故答案为：C．
【分析】过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，过B作BH⊥x轴于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OACB是平行四边形，用勾股定理可求得OB的长，由计算可求得OA=OB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的性质即可得平移的方向和距离。
二、填空题
10．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 ，则CE的长为
【答案】5 或
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴
∴
∴
∵点E在AC上，
∴当E在点O左边时
当点E在点O右边时
∴ 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】根据菱形的性质和已知条件易证△ABD是等边三角形、△ABO是直角三角形，用勾股定理易求AO的长，则AC=2AO，当E在点O左边时CE=OC+OE可求解；当点E在点O右边时CE=OC OE可求解。
11．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）菱形的两条对角线长分别为2和2 ，则该菱形的高为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
由题意知AC=2，BD=2 ，
则菱形的面积S= ×2×2 =2 ，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=1，BO= ，
∴AB= =2，
∴菱形的高h= = ．
故答案为： ．
【分析】设菱形的高h，根据菱形的对角线互相垂直平分可得△AOB为直角三角形，用勾股定理可求得AB的长，而菱形的面积=，解方程即可求解。
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 度．
【答案】45
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵菱形ABCD，∴AB=BC，∠B=∠D=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°
∴AB=AC，∠ACF= ∠BCD=60°，
∴∠B=∠ACF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，
又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE与△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
又∠AFD=180°-45°-60°=75°，
则∠CFE=180°-75°-60°=45°．
故答案为：45．
【分析】连接AC，根据菱形的性质用角边角易证得△ABE≌△ACF，所以AE=AF，由已知条件易证△AEF是等边三角形，所以根据等边三角形的性质可得∠AFE=60°，由三角形内角和定理可求得∠AFD的度数，同理可得∠CFE的度数。
13．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是 ．
【答案】18
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，
∴BC=AB= ，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.
故答案为：18
【分析】根据菱形的性质，在直角三角形AOB中，用勾股定理可求得AB的长，则△ABC的周长=AB+BC+AC可求解。
14．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为32，则菱形面积为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD中，其周长为32，
∴AB=BC=CD=DA=8，AC⊥BD， OA=OC，OB=OD，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，OB=4，AB=8，
根据勾股定理可得OA=4 ，
∴AC=2AO= ，
∴菱形ABCD的面积为： = .
【分析】由菱形的性质和已知条件易证△ABD为等边三角形，在Rt△AOB中，根据勾股定理可求得OA的长，则AC=2AO，所以菱形ABCD的面积=即可求解。
15．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= = = ，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= = = ；
故答案是： ．
【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形可得平行四边形OCED是矩形，由菱形的性质和已知条件易证△ABC为等边三角形，在矩形OCED中，由勾股定理求得CE=OD的长，在Rt△ACE中，由勾股定理得即可求得AE的长。
三、解答题
16．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先利用菱形的性质可求出∠A=∠C，AD=CD，再结合已知条件DE⊥AB，DF⊥BC，可得∠AED=∠CFD，从而由AAS可证△ADE≌△CDF。
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，EC，将△FAE绕点F旋转180°得到△FDM．
（1）补全图形并证明：EF⊥AC；
（2）若∠B=60°，求△EMC的面积．
【答案】（1）证明：①补全图形如下图所示：②如下图，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∴EF⊥AC.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是AB的中点，
∴CE⊥AB，CE⊥MC.
即△EMC是直角三角形，且CE=BC×sin60°= .
由（1）得MD=AE= AB=1.
∴MC=MD+DC=3.
∴S△EMC= MC×CE= .
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①由题意可补全图形；
②连接BD，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，DB⊥AC，由三角形的中位线定理可得EF∥BD，则可得EF⊥AC；
（2）由菱形的性质和已知条件易证△ABC是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一可得CE⊥AB，CE⊥MC；解直角三角形EMC可求得CE的长，由（1）的结论可得MD=AE=AB，则MC=MD+DC，所以△EMC的面积=MC×CE可求解。
18．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且 ．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
，且 ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形．
（2）如图，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1，
∴∠3=∠4
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=BC=5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，从而得出AF=EC，进而求解即可。
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1=∠2，可求得∠3=∠4，再利用直角三角形的性质得出答案。
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
在△OAE和△OCF中，
∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF；
（2）解：∵E是AB中点，
∴BE=AE=CF．
∵BE∥CF，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∵AB=2，
∴EF=BC=AB=2．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质用角边角易证△AOE≌△COF求解；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解。
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．
（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH．
【答案】（1）EH2+CH2=AE2
（2）解：如图2，∵菱形ABCD，∠ADC=60°，∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，∵EH⊥CD，∴∠DEH=60°，在CH上截取HG，使HG=EH，∵DH⊥EG，∴ED=DG，又∵∠DEG=60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠EDG=60°，∵∠EDG=∠ADC=60°，∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG，∴∠ADE=∠CDG，在△DAE与△DCG中， ，
∴△DAE≌△DCG，
∴AE=GC，
∵CH=CG+GH，
∴CH=AE+EH．
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】（1）解：EH2+CH2=AE2，
如图1，过E作EM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵EH⊥CD，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME与△DHE中，
，
∴△DME≌△DHE，
∴EM=EH，DM=DH，
∴AM=CH，
在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，
∴AE2=EH2+CH2；
故答案为：EH2+CH2=AE2
【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得ME=HE，由菱形的性质用角角边易证△DME≌△DHE，所以EM=EH，DM=DH，则AM=CH，在Rt△AME中，用勾股定理可得EH2+CH2=AE2； （2）在CH上截取HG，使HG=EH，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△DEG是等边三角形，于是用边角边易证△DAE≌△DCG，所以AE=GC，即可得CH=AE+EH。
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.
（1）菱形ABCO的边长
（2）求直线AC的解析式；
（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，
①当0＜t＜ 时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．
【答案】（1）5
（2）解：∵四边形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得
，解得 ，
直线AC的解析式y=﹣ x+
（3）解：设M到直线BC的距离为h，当x=0时，y= ，即M（0， ），HM=HO﹣OM=4﹣ = ，由S△ABC=S△AMB+SBMC= AB OH= AB HM+ BC h， ×5×4= ×5× + ×5h，解得h= ，
①当0＜t＜ 时，BP=BA﹣AP=5﹣2t，HM=OH﹣OM= ，
S= BP HM= × （5﹣2t）=﹣ t+ ；
②当2.5＜t≤5时，BP=2t﹣5，h= ，
S= BP h= × （2t﹣5）= t﹣ ，
把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣ t+ ，
解得：t= ，把S=3代入②的解析式得，3= t﹣ ，解得：t= ．∴t= 或 ．
【知识点】菱形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】（1）Rt△AOH中，
AO= = =5，
所以菱形边长为5；
故答案为：5
【分析】（1）由菱形的性质，在Rt△AOH中用勾股定理即可求解；
（2）由菱形的性质易得点C的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（3）设M到直线BC的距离为h，根据S△ABC=S△AMB+SBMC可求得h的值：
①当0＜t＜时，根据S=BP HM即可求解；
②当2.5＜t≤5时，根据S=BP h可得s与t之间的函数关系式，再将S=3代入①和②中的解析式即可求解。
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