2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（3） 同步训练
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（ ）
A．48 B．35 C．30 D．24
2．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设 P、P'分别是 EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（ ）
A． B． C． D． ﹣8
3．若菱形 的周长是16， ∠A=60° ，则对角线 的长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2018·温岭模拟）下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF等于（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．0.75
6．（2017八下·南江期末）菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若BE=EC，则∠EAF=（ ）
A．75° B．60° C．50° D．45°
7．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017八下·蒙阴期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
9．（2017八下·路南期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿
CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
10．（2017·濮阳模拟）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（ ）
A．（1345，0） B．（1345.5， ）
C．（1345， ） D．（1345.5，0）
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是 ．
12．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE= ．
13．如图，在 中， ，BD为AC的中线，过点C作 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接 BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为 ．
14．（2017八下·阳信期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）．
15．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠ABC＝120°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠ACE＝120°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使 ∠AEG＝120°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
16．如图，菱形 中， =2， =5， 是 上一动点（ 不与 重合）， ∥ 交 于 ， ∥ 交 于 ，则图中阴影部分的面积为 。
17．（2017八下·洪湖期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
三、解答题
18．如图，在四边形 中， ，点 是 边的中点．点 恰是点 关于 所在直线的对称点．
（1）证明：四边形 为菱形；
（2）连接 交 于点 ．若 ，求线段 的长．
19．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．
20．如图，在平行四边形 中，∠BAD的平分线交 于E，点 在 上，且 ，连接 ．
（1）判断四边形 的形状并证明；
（2）若 、 相交于点 ，且四边形 的周长为 ， ，求 的长度及四边形 的面积.
21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC= ，求菱形ABCD的面积．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面积；
（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？
23．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵BF平分∠ABC，
∴四边形ABEF为菱形， 连接AE交BF于点O， ∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，
∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故答案为：D
【分析】连接AE交BF于点O，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEF为平行四边形，再由对角线平分一组对角的四边形是菱形可得四边形ABEF为菱形，由菱形的性质可得三角形BOE是直角三角形，用勾股定理可求得OE的长，则AE=2OE，所以菱形ABEF的面积=AEBF即可求解。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．
由题意PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF=FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，∴AE=2，EF=2 ，∴PE=PF= ，在Rt△PHF中，∵∠FPH=30°，PF= ，∴HF= PF= ，∵DF= ，∴DH= ﹣ = ，∴平行四边形PP′CD的面积= ×8= ．故答案为：A．
【分析】连接BD，DF，DF交PP′于H．由平移的性质易证PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形PP′CD是平行四边形，由菱形的性质易证△ABD是等边三角形，根据所得的结论解Rt△PHF可求得HF的长，则DH的长可求，所以平行四边形PP′CD的面积=DHPP′=DHAD即可求解。
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4.
∴对角线BD的长度为4.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质易证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故不符合题意；
B.根据菱形的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
C.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；
D.根据平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定和性质、菱形的判定定理和性质对各选项逐一判断。
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解： 菱形ABCD的周长为16， 4， 菱形面积为12，BC边上的高为3，
∠ABD=∠CBD，P到BC距离等于h=PE， PE＋PF=h+PF=3.所以选B.
【分析】根据菱形的性质和周长可求得边长为4，由菱形的面积可求得三角形ABD的面积=菱形的面积=ABPE+ADPF，代入即可求解。
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AE垂直平分边BC，AF垂直平分边CD，
∴AB=AC，AC=AD
∴△ABC，△ACD均是等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠DCA=60°
∴∠BCD=120°
∴在四边形AECF中，
∠EAF=360°-180°-120°=60°．
故答案为：B
【分析】连结AC，由菱形的性质和已知条件得出△ABC，△ACD均是等边三角形，得出∠BCA=60°，∠DCA=60°，∠BCD=120°，由四边形内角和定理求出∠EAF的度数即可。
7．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ，
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。
8．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形.
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠BEA.
又∵AE平分∠BAD.
∴∠FAE=∠BAE.
∴∠BEA=∠BAE.
∴AB=BE.
同理可得AB=AF.
∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AB=BE.
∴四边形ABEF为菱形
∴AE⊥BF.
又∵BF=12，AB=10.
∴BO=6，A0=8.
∴AE=16.
故选：A
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意CD=4t，AE=2t，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC=90°
在Rt△DFC中，∵∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE，
∵∠CFD=∠B=90°，
∴DF∥CE，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF=AD时，四边形DFEA是菱形．
∴120﹣4t=2t，
∴t=20s，
∴t=20s时，四边形DFEA是菱形．
故选A．
【分析】首先证明四边形DFEA是平行四边形，再根据AD=DF，列出方程求出t即可解决问题．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017．
∵B1的坐标为（1.5， ），
∴B2017的坐标为（1.5+1344， ），
∴B2017的坐标为（1345.5， ）．
故答案为：（1345.5， ）．
【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2017=336×6+1，因此点B1向右平移1344（即336×4）即可到达点B2017，根据点B5的坐标就可求出点B2017的坐标．
11．【答案】2，3，4
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4，∠ABC=60°， ∴BD=4 ，
当点E和点B重合时，∠FBD=90°，∠BDC=30°，则EF=4；
当点E和点O重合时，∠DEF=30°，则△EFD为等腰三角形，则EF=FD=2，
∴EF可能的整数值为2、3、4．
【分析】根据菱形的性质可得，当点E和点B重合时，易求得EF=4；当点E和点O重合时，易求得EF=FD=2，即2EF4，所以EF可能的整数值为2、3、4．
12．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于O点，设EO=x，
因为菱形ABCD，∴AD=AB，BD⊥AC，AO=OC
在直角三角形△ABO和△EBO中，根据勾股定理
∴AB2﹣AO2=BO2=BE2﹣EO2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣（2+x）2=2×2﹣x2
解得x= ，
∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x= ，
∴CE= ．
【分析】连接BD，交AC于O点，设EO=x，由菱形的性质可知△ABO和△EBO是直角三角形，根据勾股定理可得，，将已知条件代入即可求得EO的值，则CE=OC+EO=OA+EO即可求解。
13．【答案】20
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF= AC=5，
∴四边形BGFD是菱形，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BGFD是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=DF=AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BGFD是菱形，所以四边形BDFG的周长=4GF。
14．【答案】②
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：②．
【分析】根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
15．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM= ，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=( )2，AG= AE=3 =( )3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为( )n 1，
故答案为( )n 1.
【分析】连接DB交AC于点M，由菱形的性质易证△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质易求得AM=，则AC=2AM=，同理可得AE= AC=，依次类推可得第n个菱形的边长=。
16．【答案】2.5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=OD= 12BD=2.5，
∴△ABC的面积是 ×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC，AB∥DC，
又∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PF∥AB，PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为：2.5.
【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEPF是平行四边形，由平行四边形的性质可得△AEF的面积=△PEF的面积，则阴影部分的面积=△ABC的面积即可求解。
17．【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
AO BO= AB OH，
OH= ．
故答案为： ．
【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
18．【答案】（1）证明： ，点E是AB变的中点 点F恰是点E关于AC所在直线的对称点
四边形 为菱形
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和对称点的性质易证CE=EA=AF=CF，根据四条边都相等的四边形是菱形可得 四边形CFAE为菱形；
（2）由菱形的性质可得OE=OF=EF=BC即可求解。
19．【答案】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD= AC，
∴平行四边形DBEC是菱形
（2）解：∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD= S△ABC
∴BC=2DF=2．
又∵∠ABC=90°，
∴AB= = =4 ．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC= AB BC= ×4 ×2=4 ．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DBEC为平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD= AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形DBEC是菱形；
（2）根据等底同高的两个三角形的面积相等可得三角形ABD的面积=三角形CBD的面积，所以S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB BC可求解。
20．【答案】（1）解：∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO= =4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积= AE×BF= ×8×6=24
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质易证BE=FA，AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEF为平行四边形，再由题意根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABEF为菱形；
（2）①由菱形的性质，在直角三角形AOB中，用勾股定理可求得AO的长，根据AE=2AO可求解；
②根据菱形ABEF面积=AE×BF可求解。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.；又∵BE=AB，∴BE=CD.
∵BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD，OA=OC.∴∠BOA=90°，∴∠BAO=30°.∵AC= ，∴OA=OC= .
∴OB=OD=2.
∴BD=4.
∴菱形ABCD的面积=
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质易证BE=CD，BE∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形；
（2）由菱形的性质和直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半易求得OA=OC=AC，由勾股定理可求得OB=OD的值，则菱形ABCD的面积=×AC×BD可求解。
22．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E、F分别为AB、AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形
（2）解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF= BC=5．
∵AD=8，AD⊥EF，
∴S菱形AEDF= AD EF= ×8×5=20
（3）解：∵EF∥BC，∴EH∥BP．若四边形BPHE为平行四边形，则须EH=BP，∴5﹣2t=3t，解得：t=1，∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形．∵EF∥BC，∴FH∥PC．
若四边形PCFH为平行四边形，则须FH=PC，
∴2t=10﹣3t，解得：t=2，∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件易证AE=AF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形；
（2）根据菱形AEDF的面积=AD EF可求解；
（3）①若四边形BPHE为平行四边形，由平行四边形的性质可得EH=BP列方程求解；
②若四边形PCFH为平行四边形，由平行四边形的性质可得FH=PC列方程求解。
23．【答案】（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中， ，∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
是定值．
作AH⊥BC于H点，
则BH=2，S四边形AECF=S△ABC
=
= =
（3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF
= ﹣ = ．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）连接AC，由菱形的性质和已知条件用角边角易证△ABE≌△ACF，则BE=CF；
（2）作AH⊥BC于H点，根据全等三角形的面积相等可得S△ABE=S△ACF，则S四边形AECF=S△ABC，而三角形ABC的面积是定值，且三角形ABC的面积=BC AH，所以四边形AECF的面积即可求解；
（3）由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，根据（2）中的结论即可求解。
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（3） 同步训练
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（ ）
A．48 B．35 C．30 D．24
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵BF平分∠ABC，
∴四边形ABEF为菱形， 连接AE交BF于点O， ∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，
∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故答案为：D
【分析】连接AE交BF于点O，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEF为平行四边形，再由对角线平分一组对角的四边形是菱形可得四边形ABEF为菱形，由菱形的性质可得三角形BOE是直角三角形，用勾股定理可求得OE的长，则AE=2OE，所以菱形ABEF的面积=AEBF即可求解。
2．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'．设 P、P'分别是 EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（ ）
A． B． C． D． ﹣8
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H．
由题意PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵AF=FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′，在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∠A=60°，AF=4，∴AE=2，EF=2 ，∴PE=PF= ，在Rt△PHF中，∵∠FPH=30°，PF= ，∴HF= PF= ，∵DF= ，∴DH= ﹣ = ，∴平行四边形PP′CD的面积= ×8= ．故答案为：A．
【分析】连接BD，DF，DF交PP′于H．由平移的性质易证PP′=AA′=AB=CD，PP′∥AA′∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形PP′CD是平行四边形，由菱形的性质易证△ABD是等边三角形，根据所得的结论解Rt△PHF可求得HF的长，则DH的长可求，所以平行四边形PP′CD的面积=DHPP′=DHAD即可求解。
3．若菱形 的周长是16， ∠A=60° ，则对角线 的长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4.
∴对角线BD的长度为4.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质易证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解。
4．（2018·温岭模拟）下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故不符合题意；
B.根据菱形的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
C.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，故不符合题意；
D.根据平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定和性质、菱形的判定定理和性质对各选项逐一判断。
5．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE＋PF等于（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．0.75
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解： 菱形ABCD的周长为16， 4， 菱形面积为12，BC边上的高为3，
∠ABD=∠CBD，P到BC距离等于h=PE， PE＋PF=h+PF=3.所以选B.
【分析】根据菱形的性质和周长可求得边长为4，由菱形的面积可求得三角形ABD的面积=菱形的面积=ABPE+ADPF，代入即可求解。
6．（2017八下·南江期末）菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若BE=EC，则∠EAF=（ ）
A．75° B．60° C．50° D．45°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AE垂直平分边BC，AF垂直平分边CD，
∴AB=AC，AC=AD
∴△ABC，△ACD均是等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠DCA=60°
∴∠BCD=120°
∴在四边形AECF中，
∠EAF=360°-180°-120°=60°．
故答案为：B
【分析】连结AC，由菱形的性质和已知条件得出△ABC，△ACD均是等边三角形，得出∠BCA=60°，∠DCA=60°，∠BCD=120°，由四边形内角和定理求出∠EAF的度数即可。
7．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ，
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。
8．（2017八下·蒙阴期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形.
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠BEA.
又∵AE平分∠BAD.
∴∠FAE=∠BAE.
∴∠BEA=∠BAE.
∴AB=BE.
同理可得AB=AF.
∴四边形ABEF为平行四边形.
又∵AB=BE.
∴四边形ABEF为菱形
∴AE⊥BF.
又∵BF=12，AB=10.
∴BO=6，A0=8.
∴AE=16.
故选：A
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，可知四边形ABEF是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，可知BF的一半为6，由勾股定理可求得AE=16.
9．（2017八下·路南期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿
CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）
A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意CD=4t，AE=2t，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC=90°
在Rt△DFC中，∵∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE，
∵∠CFD=∠B=90°，
∴DF∥CE，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF=AD时，四边形DFEA是菱形．
∴120﹣4t=2t，
∴t=20s，
∴t=20s时，四边形DFEA是菱形．
故选A．
【分析】首先证明四边形DFEA是平行四边形，再根据AD=DF，列出方程求出t即可解决问题．
10．（2017·濮阳模拟）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（ ）
A．（1345，0） B．（1345.5， ）
C．（1345， ） D．（1345.5，0）
【答案】B
【知识点】菱形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017．
∵B1的坐标为（1.5， ），
∴B2017的坐标为（1.5+1344， ），
∴B2017的坐标为（1345.5， ）．
故答案为：（1345.5， ）．
【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2017=336×6+1，因此点B1向右平移1344（即336×4）即可到达点B2017，根据点B5的坐标就可求出点B2017的坐标．
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是 ．
【答案】2，3，4
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=4，∠ABC=60°， ∴BD=4 ，
当点E和点B重合时，∠FBD=90°，∠BDC=30°，则EF=4；
当点E和点O重合时，∠DEF=30°，则△EFD为等腰三角形，则EF=FD=2，
∴EF可能的整数值为2、3、4．
【分析】根据菱形的性质可得，当点E和点B重合时，易求得EF=4；当点E和点O重合时，易求得EF=FD=2，即2EF4，所以EF可能的整数值为2、3、4．
12．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE= ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于O点，设EO=x，
因为菱形ABCD，∴AD=AB，BD⊥AC，AO=OC
在直角三角形△ABO和△EBO中，根据勾股定理
∴AB2﹣AO2=BO2=BE2﹣EO2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣（2+x）2=2×2﹣x2
解得x= ，
∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x= ，
∴CE= ．
【分析】连接BD，交AC于O点，设EO=x，由菱形的性质可知△ABO和△EBO是直角三角形，根据勾股定理可得，，将已知条件代入即可求得EO的值，则CE=OC+EO=OA+EO即可求解。
13．如图，在 中， ，BD为AC的中线，过点C作 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接 BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为 ．
【答案】20
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF= AC=5，
∴四边形BGFD是菱形，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BGFD是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=DF=AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BGFD是菱形，所以四边形BDFG的周长=4GF。
14．（2017八下·阳信期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）．
【答案】②
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：②．
【分析】根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
15．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠ABC＝120°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠ACE＝120°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使 ∠AEG＝120°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM= ，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=( )2，AG= AE=3 =( )3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为( )n 1，
故答案为( )n 1.
【分析】连接DB交AC于点M，由菱形的性质易证△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质易求得AM=，则AC=2AM=，同理可得AE= AC=，依次类推可得第n个菱形的边长=。
16．如图，菱形 中， =2， =5， 是 上一动点（ 不与 重合）， ∥ 交 于 ， ∥ 交 于 ，则图中阴影部分的面积为 。
【答案】2.5
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=OD= 12BD=2.5，
∴△ABC的面积是 ×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC，AB∥DC，
又∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PF∥AB，PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为：2.5.
【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEPF是平行四边形，由平行四边形的性质可得△AEF的面积=△PEF的面积，则阴影部分的面积=△ABC的面积即可求解。
17．（2017八下·洪湖期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
AO BO= AB OH，
OH= ．
故答案为： ．
【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．
三、解答题
18．如图，在四边形 中， ，点 是 边的中点．点 恰是点 关于 所在直线的对称点．
（1）证明：四边形 为菱形；
（2）连接 交 于点 ．若 ，求线段 的长．
【答案】（1）证明： ，点E是AB变的中点 点F恰是点E关于AC所在直线的对称点
四边形 为菱形
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和对称点的性质易证CE=EA=AF=CF，根据四条边都相等的四边形是菱形可得 四边形CFAE为菱形；
（2）由菱形的性质可得OE=OF=EF=BC即可求解。
19．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．
【答案】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴CD=BD= AC，
∴平行四边形DBEC是菱形
（2）解：∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，
∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD= S△ABC
∴BC=2DF=2．
又∵∠ABC=90°，
∴AB= = =4 ．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC= AB BC= ×4 ×2=4 ．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DBEC为平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD= AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形DBEC是菱形；
（2）根据等底同高的两个三角形的面积相等可得三角形ABD的面积=三角形CBD的面积，所以S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB BC可求解。
20．如图，在平行四边形 中，∠BAD的平分线交 于E，点 在 上，且 ，连接 ．
（1）判断四边形 的形状并证明；
（2）若 、 相交于点 ，且四边形 的周长为 ， ，求 的长度及四边形 的面积.
【答案】（1）解：∵AE是∠BAF的角平分线，∴∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∵AB=AF，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，且周长为20，∴AB=5，AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO= =4，∴AE=2AO=8，菱形ABEF面积= AE×BF= ×8×6=24
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质易证BE=FA，AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEF为平行四边形，再由题意根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABEF为菱形；
（2）①由菱形的性质，在直角三角形AOB中，用勾股定理可求得AO的长，根据AE=2AO可求解；
②根据菱形ABEF面积=AE×BF可求解。
21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AC= ，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.；又∵BE=AB，∴BE=CD.
∵BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD，OA=OC.∴∠BOA=90°，∴∠BAO=30°.∵AC= ，∴OA=OC= .
∴OB=OD=2.
∴BD=4.
∴菱形ABCD的面积=
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质易证BE=CD，BE∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形；
（2）由菱形的性质和直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半易求得OA=OC=AC，由勾股定理可求得OB=OD的值，则菱形ABCD的面积=×AC×BD可求解。
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面积；
（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E、F分别为AB、AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
∴四边形AEDF是菱形
（2）解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF= BC=5．
∵AD=8，AD⊥EF，
∴S菱形AEDF= AD EF= ×8×5=20
（3）解：∵EF∥BC，∴EH∥BP．若四边形BPHE为平行四边形，则须EH=BP，∴5﹣2t=3t，解得：t=1，∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形．∵EF∥BC，∴FH∥PC．
若四边形PCFH为平行四边形，则须FH=PC，
∴2t=10﹣3t，解得：t=2，∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件易证AE=AF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形；
（2）根据菱形AEDF的面积=AD EF可求解；
（3）①若四边形BPHE为平行四边形，由平行四边形的性质可得EH=BP列方程求解；
②若四边形PCFH为平行四边形，由平行四边形的性质可得FH=PC列方程求解。
23．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
【答案】（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中， ，∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
是定值．
作AH⊥BC于H点，
则BH=2，S四边形AECF=S△ABC
=
= =
（3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF
= ﹣ = ．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）连接AC，由菱形的性质和已知条件用角边角易证△ABE≌△ACF，则BE=CF；
（2）作AH⊥BC于H点，根据全等三角形的面积相等可得S△ABE=S△ACF，则S四边形AECF=S△ABC，而三角形ABC的面积是定值，且三角形ABC的面积=BC AH，所以四边形AECF的面积即可求解；
（3）由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，根据（2）中的结论即可求解。
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