2018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.2 多边形 的内角和 同步训练
一、选择题
1．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2017·安次模拟）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．四边形ABCD中，若∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数为（ ）
A．80° B．90° C．170° D．20°
4．七边形外角和为（ ）
A．180° B．360° C．900° D．1 260°
5．一个六边形的内角和等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．一个正多边形的每个外角都是 ，这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
7．（2017·莲池模拟）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
8．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）
A．120° B．108° C．144° D．145°
9．四边形的四个内角（ ）
A．可以都是锐角 B．可以都是钝角
C．可以都是直角 D．必须有两个锐角
10．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．8条 B．9条 C．10条 D．11条
二、填空题
11．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的 ，则这个多边形的边数为 .
12．在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是 .
13．一个多边形的边数每增加1条，其内角和就增加 ，其外角和 .
14．如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N.则∠MPN= .
15．如图，小兰在操场上散步。她从O点出发，面向正东方向走5m，然后向左转45°，再向前走5m，又向左转45°，再向前走5m.这样一直走下去，第一次回到出发点O时，她共走了 m
16．如图，在四边形ABCD中，∠α，∠β分别是∠BAD、∠BCD相邻的补角，且∠B＋∠CDA＝140°，则∠α＋∠β等于 ．
三、解答题
17．一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形的边数．
18．求下图中∠α的度数.
19．如图所示模板，按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上不便测量，工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
20．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．
21．四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°.
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数.
22．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数.
23．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.
（1）用“8字型”
如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；
（2）造“8字型”
如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；
（3）发现“8字型”
如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分
线，EF为∠BED的平分线.
①图中共有 个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.
24．探究与发现：
图1 图2 图3
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）探究二：四边形的两个个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．
（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数 ，故答案为：D。
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）列方程即可求解。
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：四边形的内角和为360°，
∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)
＝360°－280°
＝80°，
故答案为：A
【分析】解题关键是知道四边形的内角和为360°。
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴七边形的外角和为360°，
故答案为：B
【分析】任意多边形的外角和为360°。
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据内角和公式可得：（6－2）×180°＝720°，
故答案为：D
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°即可求解。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为多边形的外角和是360°，每个外角是36°，
所以正多边形的边数是360÷36＝10，
故答案为：C.
【分析】根据多边形的外角和为360°可列方程求解。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠4+∠5=180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．
故选B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
8．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： A、（n－2） 180＝120 n，解得n＝6，所以A不符合题意；
B、（n－2） 180＝108 n，解得n＝5，所以B不符合题意；
C、（n－2） 180＝144 n，解得n＝10，所以C不符合题意；
D、（n－2） 180＝145 n，解得n＝ ，不为整数，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°可列方程求解，若n为正整数，则可作为正多边形的内角的度数，反之，则不能。
9．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，
则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．
故A、B不符合题意；
若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，
所以四个内角可以都是直角．
故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据四边形的内角和为360°逐一进行判断即可。
10．【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】∵多边形的每个内角都等于150°，∴多边形的每个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12，∴对角线条数=12﹣3=9．故答案为：B．
【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数，再利用公式（n﹣3）代入数据计算即可．
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设外角是x度，则相邻的内角是2x度．
根据题意得：x+2x=180，
解得x=60．
则多边形的边数是：360÷60=6，
故答案为：6
【分析】设外角是x度，则相邻的内角是2x度．根据外角和相邻的内角互补可求得外角的度数，再根据多边形的外角和为360度即可求解。
12．【答案】120°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设∠A＝3x°，则∠B＝x°，∠C＝2x°，∠D＝3x°，
则3x＋x＋2x＋3x＝360，
解得x＝40，
则最大的内角度数为3x°＝120°，
故答案为：120°
【分析】根据已知条件可将∠A、∠B、∠C、∠D的度数用含x的代数式表示，再根据四边形的内角和为360度列方程求解。
13．【答案】180°；不变
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：n边形的内角和可以表示成（n－2） 180°，
每增加1条边时，边数变为n+1，
则内角和是（n－1） 180°，
因而内角和增加：（n－1） 180°－（n－2） 180°＝180°．
多边形外角和为360°，保持不变．
故答案为：180°，不变
【分析】因为每增加一条边就增加一个三角形，则内角和增加180°；任意多边形的外角和为360°。
14．【答案】60°
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠C＝720°÷6＝120°，
∵PM∥AB，
∴∠BPM＝180°－∠B＝60°，
∵PN∥CD，
∴∠CPN＝180°－∠C＝60°，
∴∠MPN＝180°－∠BPM－∠CPN
＝180°－60°－60°
＝60°，
故答案为：60°
【分析】由六边形的内角和为720度可求得每一个内角的度数，根据平行线的性质可求得∠BPM、∠CPN的度数，再根据平角的定义可求得∠MPN的度数。
15．【答案】40
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×5=40 m．故答案为：40
【分析】根据多边形的外角和为可求出多边形的边数，则小兰一共走的路程即可求解。
16．【答案】140°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠B+∠D+∠DAB+∠BCD=360°，∠B+∠ADC=140°，
∴∠DAB+∠BCD=360° 140°=220°，
∵∠α+∠β+∠DAB+∠BCD=360°，
∴∠α+∠β=360° 220°=140°，
故答案为：140°
【分析】根据四边形的内角和为和邻补角的性质可求解。
17．【答案】解：根据题意可得：×180°×(n 2)=360°， 解得：
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】因为多边形的内角和=（n-2）×，外角和为；由题意可得相等关系：多边形的外角和=内角和，根据相等关系列方程即可求解。
18．【答案】解：根据图中的数据可知：第一个图：α＝360°－65°－70°－(180°－40°)＝85°；
第二个图：α＝180°－(360°－90°－90°－40°)＝40°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】第一个图：根据四边形的内角和为360°可求解；
第二个图：根据四边形的内角和为360°和邻补角的意义可求解。
19．【答案】解：不符合．∵五边形的内角和是540°，
∴∠G＝540°－122°－155°－180°＝83°.
∴不符合规定
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据五边形的内角和是540°可求得∠G的度数，与已知的∠G的度数比较即可求解。
20．【答案】解：设这个多边形的边数为n，180°×（n﹣2）=1350°-，180°×7=1260°＜1350°＜180°×8=1440°，所以一个外角只能为1350°﹣1260°=90°，由此得出多边形的边数为7+2=9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和=（n-2）×，外角和为可列方程求解。
21．【答案】（1）解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C，
∴∠C＝
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC＝∠D＝80°，
∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝60°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和为可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角相等可得∠BEC＝∠D，再根据三角形的内角和定理即可求解。
22．【答案】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6).∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6).
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4
（2）解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和
（3）解：∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝ ∠MDA，∠DAE＝ ∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝ (∠MDA＋∠NAD)＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；探索图形规律
【解析】【分析】（1）由邻补角的性质可得，∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，所以∠1+∠2=-（∠5+∠6）；由四边形的内角和为可得∠3+∠4=-（∠5+∠6），则可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4；
（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
（3）由（2）中的结论可得∠ADM+∠DAN=∠B+∠C，然后用角平分线的性质和三角形的内角和定理即可求解。
23．【答案】（1）360°
（2）540°
（3）6；解：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG∴∠D+∠B=2∠F；∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，∴x=5
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，
∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，
∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；
（ 2 ）如图，连结BC，
∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2） 180°=540°，
故答案为：540°；
（ 3 ）①图中共有6个“8字型”；
故答案为：6．
【分析】（1）用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F这六个角转化到同一个三角形中求解；
（2）连结BC，用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G这七个角转化到同五边形ABCDF中求解；
（3）由图知图中共有6个“8字型”。
24．【答案】（1）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠ACD，
=180°- （∠ADC+∠ACD），
=180°- （180°-∠A），
=90°+ ∠A
（2）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠BCD，
=180°- （∠ADC+∠BCD），
=180°- （360°-∠A-∠B），
= （∠A+∠B）
（3）解：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠P= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠ACD，
=180°- （∠ADC+∠ACD），
=180°- （720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质用三角形内角和定理可求解；
（2）根据角平分线的性质用三角形内角和为、四边形的内角和为可求解；
（3）首先根据多边形的内角和=（n-2）可求得六边形的内角和，再根据角平分线的性质用三角形内角和定理可求解。
1 / 12018-2019学年数学人教版八年级上册11.3.2 多边形 的内角和 同步训练
一、选择题
1．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数 ，故答案为：D。
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）列方程即可求解。
2．（2017·安次模拟）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
3．四边形ABCD中，若∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数为（ ）
A．80° B．90° C．170° D．20°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：四边形的内角和为360°，
∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)
＝360°－280°
＝80°，
故答案为：A
【分析】解题关键是知道四边形的内角和为360°。
4．七边形外角和为（ ）
A．180° B．360° C．900° D．1 260°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴七边形的外角和为360°，
故答案为：B
【分析】任意多边形的外角和为360°。
5．一个六边形的内角和等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据内角和公式可得：（6－2）×180°＝720°，
故答案为：D
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°即可求解。
6．一个正多边形的每个外角都是 ，这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为多边形的外角和是360°，每个外角是36°，
所以正多边形的边数是360÷36＝10，
故答案为：C.
【分析】根据多边形的外角和为360°可列方程求解。
7．（2017·莲池模拟）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠4+∠5=180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．
故选B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
8．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）
A．120° B．108° C．144° D．145°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： A、（n－2） 180＝120 n，解得n＝6，所以A不符合题意；
B、（n－2） 180＝108 n，解得n＝5，所以B不符合题意；
C、（n－2） 180＝144 n，解得n＝10，所以C不符合题意；
D、（n－2） 180＝145 n，解得n＝ ，不为整数，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°可列方程求解，若n为正整数，则可作为正多边形的内角的度数，反之，则不能。
9．四边形的四个内角（ ）
A．可以都是锐角 B．可以都是钝角
C．可以都是直角 D．必须有两个锐角
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，
则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．
故A、B不符合题意；
若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，
所以四个内角可以都是直角．
故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据四边形的内角和为360°逐一进行判断即可。
10．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（ ）
A．8条 B．9条 C．10条 D．11条
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】∵多边形的每个内角都等于150°，∴多边形的每个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12，∴对角线条数=12﹣3=9．故答案为：B．
【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数，再利用公式（n﹣3）代入数据计算即可．
二、填空题
11．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的 ，则这个多边形的边数为 .
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设外角是x度，则相邻的内角是2x度．
根据题意得：x+2x=180，
解得x=60．
则多边形的边数是：360÷60=6，
故答案为：6
【分析】设外角是x度，则相邻的内角是2x度．根据外角和相邻的内角互补可求得外角的度数，再根据多边形的外角和为360度即可求解。
12．在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是 .
【答案】120°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设∠A＝3x°，则∠B＝x°，∠C＝2x°，∠D＝3x°，
则3x＋x＋2x＋3x＝360，
解得x＝40，
则最大的内角度数为3x°＝120°，
故答案为：120°
【分析】根据已知条件可将∠A、∠B、∠C、∠D的度数用含x的代数式表示，再根据四边形的内角和为360度列方程求解。
13．一个多边形的边数每增加1条，其内角和就增加 ，其外角和 .
【答案】180°；不变
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：n边形的内角和可以表示成（n－2） 180°，
每增加1条边时，边数变为n+1，
则内角和是（n－1） 180°，
因而内角和增加：（n－1） 180°－（n－2） 180°＝180°．
多边形外角和为360°，保持不变．
故答案为：180°，不变
【分析】因为每增加一条边就增加一个三角形，则内角和增加180°；任意多边形的外角和为360°。
14．如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N.则∠MPN= .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠C＝720°÷6＝120°，
∵PM∥AB，
∴∠BPM＝180°－∠B＝60°，
∵PN∥CD，
∴∠CPN＝180°－∠C＝60°，
∴∠MPN＝180°－∠BPM－∠CPN
＝180°－60°－60°
＝60°，
故答案为：60°
【分析】由六边形的内角和为720度可求得每一个内角的度数，根据平行线的性质可求得∠BPM、∠CPN的度数，再根据平角的定义可求得∠MPN的度数。
15．如图，小兰在操场上散步。她从O点出发，面向正东方向走5m，然后向左转45°，再向前走5m，又向左转45°，再向前走5m.这样一直走下去，第一次回到出发点O时，她共走了 m
【答案】40
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×5=40 m．故答案为：40
【分析】根据多边形的外角和为可求出多边形的边数，则小兰一共走的路程即可求解。
16．如图，在四边形ABCD中，∠α，∠β分别是∠BAD、∠BCD相邻的补角，且∠B＋∠CDA＝140°，则∠α＋∠β等于 ．
【答案】140°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠B+∠D+∠DAB+∠BCD=360°，∠B+∠ADC=140°，
∴∠DAB+∠BCD=360° 140°=220°，
∵∠α+∠β+∠DAB+∠BCD=360°，
∴∠α+∠β=360° 220°=140°，
故答案为：140°
【分析】根据四边形的内角和为和邻补角的性质可求解。
三、解答题
17．一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形的边数．
【答案】解：根据题意可得：×180°×(n 2)=360°， 解得：
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】因为多边形的内角和=（n-2）×，外角和为；由题意可得相等关系：多边形的外角和=内角和，根据相等关系列方程即可求解。
18．求下图中∠α的度数.
【答案】解：根据图中的数据可知：第一个图：α＝360°－65°－70°－(180°－40°)＝85°；
第二个图：α＝180°－(360°－90°－90°－40°)＝40°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】第一个图：根据四边形的内角和为360°可求解；
第二个图：根据四边形的内角和为360°和邻补角的意义可求解。
19．如图所示模板，按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上不便测量，工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？
【答案】解：不符合．∵五边形的内角和是540°，
∴∠G＝540°－122°－155°－180°＝83°.
∴不符合规定
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据五边形的内角和是540°可求得∠G的度数，与已知的∠G的度数比较即可求解。
20．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为n，180°×（n﹣2）=1350°-，180°×7=1260°＜1350°＜180°×8=1440°，所以一个外角只能为1350°﹣1260°=90°，由此得出多边形的边数为7+2=9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和=（n-2）×，外角和为可列方程求解。
21．四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°.
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数.
【答案】（1）解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C，
∴∠C＝
（2）解：∵BE∥AD，
∴∠BEC＝∠D＝80°，
∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝60°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和为可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角相等可得∠BEC＝∠D，再根据三角形的内角和定理即可求解。
22．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数.
【答案】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6).∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6).
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4
（2）解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和
（3）解：∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝ ∠MDA，∠DAE＝ ∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝ (∠MDA＋∠NAD)＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；探索图形规律
【解析】【分析】（1）由邻补角的性质可得，∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，所以∠1+∠2=-（∠5+∠6）；由四边形的内角和为可得∠3+∠4=-（∠5+∠6），则可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4；
（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
（3）由（2）中的结论可得∠ADM+∠DAN=∠B+∠C，然后用角平分线的性质和三角形的内角和定理即可求解。
23．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.
（1）用“8字型”
如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；
（2）造“8字型”
如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；
（3）发现“8字型”
如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分
线，EF为∠BED的平分线.
①图中共有 个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.
【答案】（1）360°
（2）540°
（3）6；解：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG∴∠D+∠B=2∠F；∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，∴x=5
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，
∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，
∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；
（ 2 ）如图，连结BC，
∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2） 180°=540°，
故答案为：540°；
（ 3 ）①图中共有6个“8字型”；
故答案为：6．
【分析】（1）用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F这六个角转化到同一个三角形中求解；
（2）连结BC，用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G这七个角转化到同五边形ABCDF中求解；
（3）由图知图中共有6个“8字型”。
24．探究与发现：
图1 图2 图3
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）探究二：四边形的两个个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．
（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：
【答案】（1）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠ACD，
=180°- （∠ADC+∠ACD），
=180°- （180°-∠A），
=90°+ ∠A
（2）解：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠BCD，
=180°- （∠ADC+∠BCD），
=180°- （360°-∠A-∠B），
= （∠A+∠B）
（3）解：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠P= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°- ∠ADC- ∠ACD，
=180°- （∠ADC+∠ACD），
=180°- （720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质用三角形内角和定理可求解；
（2）根据角平分线的性质用三角形内角和为、四边形的内角和为可求解；
（3）首先根据多边形的内角和=（n-2）可求得六边形的内角和，再根据角平分线的性质用三角形内角和定理可求解。
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