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人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 同步练习
一、单选题
1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：
①m⊥α，n∥β，α∥β m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β n⊥β.
其中正确说法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
3．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）
A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
5．已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．VC⊥VD
C．AB⊥VC D．S△VCD·AB=S△ABC·VO
7．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD， 则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．AB∥平面SCD
C．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
8．如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
二、解答题
9．如图所示，如果MC⊥平行四边形ABCD所在的平面，且MA⊥BD，判断平行四边形ABCD的形状.
10．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：
（1）直线BC1∥平面EFPQ.
（2）直线AC1⊥平面PQMN.
12．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD .
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．
三、填空题
13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件 时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】①正确，因为n∥β，α∥β，
所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②错误，α∥β，m⊥α m⊥β，
因为m⊥n，则可能n β；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n β且m β；
④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.
故答案为：B
【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．
2．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，
又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.
又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.
又AM 平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.
故答案为：C
【分析】利用线面垂直的判定定理证明D⊥平面ACM，利用线面垂直的性质定理，可得结论。
3．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】作 ，因为∠A＝90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面 ，所以 平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上.
故答案为：B
【分析】根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．
4．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为PB⊥α，AC α，所以PB⊥AC，
又AC⊥PC，PB∩PC=P，
所以AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.
故答案为：B
【分析】利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面PBC，得出AC⊥BC，即可得出△ABC是直角三角形．
5．【答案】A
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，
设AB=a，
则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.
因为
即 × × a× ah
= × a2×2a，
解得h= a.
所以sinα= = .
故答案为：A
【分析】利用三棱锥的体积公式，借助于等体积的方法，求出三棱锥C-BDC1的高，利用线面角的定义，可得出结论。
6．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为VA=VB，AD=BD，
所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，
AB 平面ABC，所以VO⊥AB.
又VO∩VD=V，VO 平面VCD，VD 平面VCD，
所以AB⊥平面VCD，
又CD 平面VCD，VC 平面VCD，
所以AB⊥VC，AB⊥CD.
又AD=BD，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO⊥平面ABC，
所以VV-ABC= S△ABC·VO.
因为AB⊥平面VCD，
所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD
= S△VCD·BD+ S△VCD·AD
= S△VCD·(BD+AD)
= S△VCD·AB，
所以 S△ABC·VO= S△VCD·AB，
即S△VCD·AB=S△ABC·VO.综上知，A，C，D符合题意.
故答案为：B
【分析】由VO⊥平面ABC，可得VO⊥AB，由VA=VB，AD=BD，可得VD⊥AB，进而由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，进而判断C答数AB⊥VC，D答案S△VCD AB=S△ABC VO=3VV-ABC一定成立，结合AB⊥CD可判断A答案AC=BC一定成立．
7．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因SD⊥底面ABCD ，故 ，又ABCD为正方形，所以 ，所以 ，所以AC⊥SB，A符合题意；因 ，所以AB∥平面SCDB符合题意；AB与SC所成的角为 ，DC与SA所成的角为 ，故不相等；由于三角形SAD与三角形SDC全等，故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角相等.
故答案为：C
【分析】A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出；
B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出；
C．通过平移即可得出异面直线所成的角；
D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出．
8．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A不正确，由 可知延长C1C，BE必相交于一点，所以C1C，BE为相交直线；
B不正确，由 为正三角形可知 也为正三角形 ，所以AC不可能垂直面A1B1BA；
C符合题意，因为 为正三角形，且E为BC的中点，所以 ，又 ，所以 且 为异面直线；
D不正确；因为 ，而 面AB1E=A，所以A1C1与面AB1E相交．
C符合题意．
故答案为：C
【分析】此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项
9．【答案】解：因为MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MC⊥BD，又BD⊥MA，MA∩MC=M，所以BD⊥平面MAC，又AC 平面MAC，所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD为菱形.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理，可知BD⊥AC，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形．即可得出结论．
10．【答案】解：（Ⅰ）证明：因 ，所以EF与BD确定平面BDEF连接DE，因为 为AC的中点，所以 ，同理可得 .又 ，所以 平面BDEF，因为 平面BDEF，所以 .（Ⅱ）设FC的中点为I，连结GI，HI在 中，因为G是CE的中点，所以 ，又 ，所以 .在 中，因为H是FB的中点，所以 ，又 ，所以平面 平面ABC，因为 平面GHI，所以 平面ABC.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．
11．【答案】（1）解：连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP 平面EFPQ，且BC1 平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
（2）解：连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.
而AC1 平面ACC1，所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）要证直线BC1∥平面EFPQ，只需证BC1∥FP，且BC1 平面EFPQ即可，由AD1∥BC1，FP∥AD1即可证出；
（Ⅱ）要证直线AC1⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC1，且PN⊥AC1即可．
12．【答案】（1）解：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB 平面ABD，BD 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD
（2）解：法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝ .
∵M是AD的中点，
∴S△ABM＝ S△ABD＝
由（1）知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，
因此三棱锥A－MBC的体积
VA－MBC＝VC－ABM＝ S△ABM·h＝ .
法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝ AB＝ ，又CD⊥BD，BD＝CD＝1，
∴S△BCD＝ .
∴三棱锥A－MBC的体积
VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD
＝ AB·S△BCD－ MN·S△BCD
＝ .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用转换底面，VA-MBC=VC-ABM= S△ABM·h，即可求出三棱锥A-MBC的体积．
13．【答案】∠A1C1B1=90°
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图所示，
连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)
【分析】当底面△A1B1C1满足条件A1C1⊥C1B1时，有AB1⊥BC1；利用BC1⊥平面ACB1即可得出BC1⊥AB1，再由此找垂直的条件即可．
14．【答案】30°
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，
因为A1C1⊥B1D1，
A1C1⊥BB1，
A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，
所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.
设正方体棱长为a，则A1B= a，
A1O= A1C1= a，
所以sin∠A1BO= = = ，
所以∠A1BO=30°.
【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠ABO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．
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人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 同步练习
一、单选题
1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：
①m⊥α，n∥β，α∥β m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β n⊥β.
其中正确说法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】①正确，因为n∥β，α∥β，
所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②错误，α∥β，m⊥α m⊥β，
因为m⊥n，则可能n β；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n β且m β；
④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.
故答案为：B
【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．
2．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，
又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.
又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.
又AM 平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.
故答案为：C
【分析】利用线面垂直的判定定理证明D⊥平面ACM，利用线面垂直的性质定理，可得结论。
3．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）
A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】作 ，因为∠A＝90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面 ，所以 平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上.
故答案为：B
【分析】根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为PB⊥α，AC α，所以PB⊥AC，
又AC⊥PC，PB∩PC=P，
所以AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.
故答案为：B
【分析】利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面PBC，得出AC⊥BC，即可得出△ABC是直角三角形．
5．已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，
设AB=a，
则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.
因为
即 × × a× ah
= × a2×2a，
解得h= a.
所以sinα= = .
故答案为：A
【分析】利用三棱锥的体积公式，借助于等体积的方法，求出三棱锥C-BDC1的高，利用线面角的定义，可得出结论。
6．如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．VC⊥VD
C．AB⊥VC D．S△VCD·AB=S△ABC·VO
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为VA=VB，AD=BD，
所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，
AB 平面ABC，所以VO⊥AB.
又VO∩VD=V，VO 平面VCD，VD 平面VCD，
所以AB⊥平面VCD，
又CD 平面VCD，VC 平面VCD，
所以AB⊥VC，AB⊥CD.
又AD=BD，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO⊥平面ABC，
所以VV-ABC= S△ABC·VO.
因为AB⊥平面VCD，
所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD
= S△VCD·BD+ S△VCD·AD
= S△VCD·(BD+AD)
= S△VCD·AB，
所以 S△ABC·VO= S△VCD·AB，
即S△VCD·AB=S△ABC·VO.综上知，A，C，D符合题意.
故答案为：B
【分析】由VO⊥平面ABC，可得VO⊥AB，由VA=VB，AD=BD，可得VD⊥AB，进而由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，进而判断C答数AB⊥VC，D答案S△VCD AB=S△ABC VO=3VV-ABC一定成立，结合AB⊥CD可判断A答案AC=BC一定成立．
7．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD， 则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．AB∥平面SCD
C．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因SD⊥底面ABCD ，故 ，又ABCD为正方形，所以 ，所以 ，所以AC⊥SB，A符合题意；因 ，所以AB∥平面SCDB符合题意；AB与SC所成的角为 ，DC与SA所成的角为 ，故不相等；由于三角形SAD与三角形SDC全等，故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角相等.
故答案为：C
【分析】A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出；
B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出；
C．通过平移即可得出异面直线所成的角；
D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出．
8．如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A不正确，由 可知延长C1C，BE必相交于一点，所以C1C，BE为相交直线；
B不正确，由 为正三角形可知 也为正三角形 ，所以AC不可能垂直面A1B1BA；
C符合题意，因为 为正三角形，且E为BC的中点，所以 ，又 ，所以 且 为异面直线；
D不正确；因为 ，而 面AB1E=A，所以A1C1与面AB1E相交．
C符合题意．
故答案为：C
【分析】此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项
二、解答题
9．如图所示，如果MC⊥平行四边形ABCD所在的平面，且MA⊥BD，判断平行四边形ABCD的形状.
【答案】解：因为MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MC⊥BD，又BD⊥MA，MA∩MC=M，所以BD⊥平面MAC，又AC 平面MAC，所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD为菱形.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理，可知BD⊥AC，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形．即可得出结论．
10．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
【答案】解：（Ⅰ）证明：因 ，所以EF与BD确定平面BDEF连接DE，因为 为AC的中点，所以 ，同理可得 .又 ，所以 平面BDEF，因为 平面BDEF，所以 .（Ⅱ）设FC的中点为I，连结GI，HI在 中，因为G是CE的中点，所以 ，又 ，所以 .在 中，因为H是FB的中点，所以 ，又 ，所以平面 平面ABC，因为 平面GHI，所以 平面ABC.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：
（1）直线BC1∥平面EFPQ.
（2）直线AC1⊥平面PQMN.
【答案】（1）解：连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP 平面EFPQ，且BC1 平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
（2）解：连接AC，BD，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.
而AC1 平面ACC1，所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）要证直线BC1∥平面EFPQ，只需证BC1∥FP，且BC1 平面EFPQ即可，由AD1∥BC1，FP∥AD1即可证出；
（Ⅱ）要证直线AC1⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC1，且PN⊥AC1即可．
12．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD .
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．
【答案】（1）解：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB 平面ABD，BD 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD
（2）解：法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝ .
∵M是AD的中点，
∴S△ABM＝ S△ABD＝
由（1）知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，
因此三棱锥A－MBC的体积
VA－MBC＝VC－ABM＝ S△ABM·h＝ .
法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝ AB＝ ，又CD⊥BD，BD＝CD＝1，
∴S△BCD＝ .
∴三棱锥A－MBC的体积
VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD
＝ AB·S△BCD－ MN·S△BCD
＝ .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用转换底面，VA-MBC=VC-ABM= S△ABM·h，即可求出三棱锥A-MBC的体积．
三、填空题
13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件 时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【答案】∠A1C1B1=90°
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图所示，
连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)
【分析】当底面△A1B1C1满足条件A1C1⊥C1B1时，有AB1⊥BC1；利用BC1⊥平面ACB1即可得出BC1⊥AB1，再由此找垂直的条件即可．
14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为 .
【答案】30°
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，
因为A1C1⊥B1D1，
A1C1⊥BB1，
A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，
所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.
设正方体棱长为a，则A1B= a，
A1O= A1C1= a，
所以sin∠A1BO= = = ，
所以∠A1BO=30°.
【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠ABO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．
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