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人教A版高中数学必修二 2.2.1直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 同步练习
一、单选题
1．已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．不确定
【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m=P，所以β∥α.
故答案为：B
【分析】由平面与平面平行的判定定理可知答案.
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交.
故答案为：D
【分析】由直线与平面的位置关系可以判断选项.
3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．异面
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC，又DE α，BC α，所以BC∥α.
故答案为：A
【分析】先由成比例线段得出DE∥BC，再由线面平行的判定定理可知正确结果.
4．有以下三种说法，其中正确的是（ ）
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b α，则a平行于经过b的任何平面.
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.
故答案为：D
【分析】由空间中直线与平面之间的位置关系可以判断①正确.
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
【答案】B
【知识点】平行公理；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】如图，由题意得，
EF∥BD，
且EF= BD.
HG∥BD，且HG= BD.
所以EF∥HG，且EF≠HG.
所以四边形EFGH是梯形.
所以EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行.
故答案为：B.
【分析】由平行公理与直线与平面平行的判定可知B正确.
6．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】在正方体 中， ，从而根据面面平行的判定定理，故A符合题意。
故答案为A．
【分析】根据正方体的图像，结合面面平行的判定定理得出答案。
7．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解 : ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，
则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；
②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．
故选：B．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP= BD1，给出下面四个命题：
⑴MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为（ ）
A．⑴(2) B．⑴(4) C．⑵(3) D．⑶4)
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN 平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP= BD1，以及相似，可得A，P，M三点共线，是正确的；(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.
故答案为：C
【分析】由空间中直线、平面之间的位置关系结合判定方法可得结论.
二、填空题
9．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为 .
【答案】平行
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，
又AE=2ES，所以EG∥SM，
又EG 平面SBC，
所以EG∥平面SBC.
【分析】由三角形重心的性质及直线与平面平行的判定定理可得结论.
10．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是 ．(填序号)
【答案】①④
【知识点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】由题意得， ①中连接点 与点 上面的顶点，记为 ，则易证平面 平面 ，所以 平面 ；④中 ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出 平面 ；②③中， 均与平面 相交，故选①④．
【分析】由平面与平面之间的位置关系空、间直线与平面平行的判定定理可以得出正确结果.
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，则下列命题：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点；
③EF和BD1所成的角为90°；
④A1B∥平面CD1E.
其中正确的是 (填序号).
【答案】①②④
【知识点】空间图形的公理；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】由题意EF∥CD1，故E，C，D1，F四点共面．①正确；
∵EC∥CD1且EF≠CD1，∴EC与D1F必相交，设交点为M，
由公理可知M为两平面的公共点，平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，可得CE、D1F、DA三线共点．②正确；
EF和BD1所成的角≠45°．③错误；∵A1B∥CD1，∴A1B∥平面CD1E．④正确；
三、解答题
12．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是BE，DC的中点.
求证：GF∥平面ADE.
【答案】解：取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
所以GH∥AB且GH= AB，
又F是CD的中点，
所以DF= CD，由四边形ABCD是矩形，
得AB CD，
所以GH DF，从而四边形HGFD是平行四边形，
所以GF∥HD.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
【知识点】平行公理；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】由线与平面平行的判定和平行公理易证GF∥平面ADE.
13．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).
（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）解：点F，G，H的位置如图所示.
（2）解：平面BEG∥平面ACH.证明如下：
因为ABCD-EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC=FG，
又FG∥EH，FG=EH，所以BC∥EH，BC=EH
于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，
又CH 平面ACH，BE 平面ACH，
所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG=B，所以平面BEG∥平面ACH
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）由正方体的平面展开图及该正方体的直观图可得结论.
（2）由题意BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，进而可证BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，可以判断平面BEG与平面ACH平行.
14．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证：直线PQ∥平面BMN.
【答案】解：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥ AM，GE= AM，GF∥ AN，GF= AN，且CN=3AN，所以 = ， = = ，所以 = = ，所以EF∥PQ，又EF 平面BMN，PQ 平面BMN，所以PQ∥平面BMN.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.即可证明EF∥PQ，进而易得结论.
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人教A版高中数学必修二 2.2.1直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 同步练习
一、单选题
1．已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．不确定
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A．b∥α B．b与α相交
C．b α D．b∥α或b与α相交
3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与α的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．异面
4．有以下三种说法，其中正确的是（ ）
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b α，则a平行于经过b的任何平面.
A．①② B．①③ C．②③ D．①
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
6．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G
7．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP= BD1，给出下面四个命题：
⑴MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.正确的序号为（ ）
A．⑴(2) B．⑴(4) C．⑵(3) D．⑶4)
二、填空题
9．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为 .
10．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是 ．(填序号)
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，则下列命题：
①E，C，D1，F四点共面；
②CE，D1F，DA三线共点；
③EF和BD1所成的角为90°；
④A1B∥平面CD1E.
其中正确的是 (填序号).
三、解答题
12．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是BE，DC的中点.
求证：GF∥平面ADE.
13．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).
（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
14．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证：直线PQ∥平面BMN.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m=P，所以β∥α.
故答案为：B
【分析】由平面与平面平行的判定定理可知答案.
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交.
故答案为：D
【分析】由直线与平面的位置关系可以判断选项.
3．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为AD︰DB=AE︰EC，所以DE∥BC，又DE α，BC α，所以BC∥α.
故答案为：A
【分析】先由成比例线段得出DE∥BC，再由线面平行的判定定理可知正确结果.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.
故答案为：D
【分析】由空间中直线与平面之间的位置关系可以判断①正确.
5．【答案】B
【知识点】平行公理；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】如图，由题意得，
EF∥BD，
且EF= BD.
HG∥BD，且HG= BD.
所以EF∥HG，且EF≠HG.
所以四边形EFGH是梯形.
所以EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行.
故答案为：B.
【分析】由平行公理与直线与平面平行的判定可知B正确.
6．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】在正方体 中， ，从而根据面面平行的判定定理，故A符合题意。
故答案为A．
【分析】根据正方体的图像，结合面面平行的判定定理得出答案。
7．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解 : ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，
则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；
②若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故②错误；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故③错误．
故选：B．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
8．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】(1)MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN 平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；(2)平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；(3)由BP= BD1，以及相似，可得A，P，M三点共线，是正确的；(4)直线AP延长到M，则M在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的.
故答案为：C
【分析】由空间中直线、平面之间的位置关系结合判定方法可得结论.
9．【答案】平行
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，
又AE=2ES，所以EG∥SM，
又EG 平面SBC，
所以EG∥平面SBC.
【分析】由三角形重心的性质及直线与平面平行的判定定理可得结论.
10．【答案】①④
【知识点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】由题意得， ①中连接点 与点 上面的顶点，记为 ，则易证平面 平面 ，所以 平面 ；④中 ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出 平面 ；②③中， 均与平面 相交，故选①④．
【分析】由平面与平面之间的位置关系空、间直线与平面平行的判定定理可以得出正确结果.
11．【答案】①②④
【知识点】空间图形的公理；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】由题意EF∥CD1，故E，C，D1，F四点共面．①正确；
∵EC∥CD1且EF≠CD1，∴EC与D1F必相交，设交点为M，
由公理可知M为两平面的公共点，平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，可得CE、D1F、DA三线共点．②正确；
EF和BD1所成的角≠45°．③错误；∵A1B∥CD1，∴A1B∥平面CD1E．④正确；
12．【答案】解：取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
所以GH∥AB且GH= AB，
又F是CD的中点，
所以DF= CD，由四边形ABCD是矩形，
得AB CD，
所以GH DF，从而四边形HGFD是平行四边形，
所以GF∥HD.
又DH 平面ADE，GF 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
【知识点】平行公理；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】由线与平面平行的判定和平行公理易证GF∥平面ADE.
13．【答案】（1）解：点F，G，H的位置如图所示.
（2）解：平面BEG∥平面ACH.证明如下：
因为ABCD-EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC=FG，
又FG∥EH，FG=EH，所以BC∥EH，BC=EH
于是BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，
又CH 平面ACH，BE 平面ACH，
所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG=B，所以平面BEG∥平面ACH
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）由正方体的平面展开图及该正方体的直观图可得结论.
（2）由题意BCHE为平行四边形.所以BE∥CH，进而可证BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH，可以判断平面BEG与平面ACH平行.
14．【答案】解：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥ AM，GE= AM，GF∥ AN，GF= AN，且CN=3AN，所以 = ， = = ，所以 = = ，所以EF∥PQ，又EF 平面BMN，PQ 平面BMN，所以PQ∥平面BMN.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.即可证明EF∥PQ，进而易得结论.
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