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人教A版高中数学必修二 1.2.3空间几何体的直观图 同步练习
一、单选题
1．已知水平放置的 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 ，那么原 是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由已知中 的直观图中 ， = ，
∴ 中， ， ，勾股定理得： ，又由 ，故 为等边三角形，
故答案为：A．
【分析】根据直观图的还原结论，横不变，竖减半的原则（即平行于轴的长度不变，平行于轴的减半）=2，
=，且，，得到Δ A B C为等腰三角形，在直角Δ A B O中由勾股定理得A B = A C = 2，由Δ A B C的三边关系可以判断三角形伟等边三角形。
2．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】选A.由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的直观图的选项是选项A，由三视图可知，该几何体下部分是一个四棱柱.选项都正确.
故答案为：A.
【分析】该几何体是组合体，先看三视图的正视图和侧视图为三角形，故该几何体上面为椎体，通过俯视图得该几何体上面是三棱锥，再看三视图的下面发现都是正方形，故下面是正方体，因此该几何体是上面是三棱锥，下面是正方体的组合体。
3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按比例1：5000画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 （ ）
A．4 cm，1 cm， 2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
故答案为：C.
【分析】直观图的画法要求，平行于衡州的长度不变，平行于纵轴的长度减半，平行于竖轴的不变
长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，直观图中长方体的长、宽、高分别为20000cm、2500cm、10000cm，四棱锥的高为8000cm，若按比例1：500画，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
4．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形．
②平行四边形的直观图是平行四边形．
③正方形的直观图是正方形．
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】正方形的直观图不一定是正方形，菱形的直观图不一定是菱形.，故③④不符合题意，
故答案为：A.
【分析】三角形的直观图师三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图不一定是正方形，菱形的直观图不一定是菱形故选A
5．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】由已知中的三视图我们可以判断出，该几何体是由一个底面面积相等的圆锥和圆柱组合而成，分析四个答案可得D满足条件要求
故答案为：D
【分析】通过三视图发现此几何体是组合体，由正视图和侧视图的上半部分都是三角形，得到该几何体上半部分是椎体，由俯视图是个圆知该几何体上半部分是圆锥，由正视图和侧视图下半部分是矩形，俯视图是圆知该几何体下半部分是圆柱，故该几何体是上面是圆锥下面是圆柱的组合体，故选D
6．如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为 ，所以还原为实际图形是 ，所以 是直角，所以是直角三角形．
故答案为：B
【分析】在轴上，故， A ′ B ′ ∥ y ′，则∠ B A C 是直角，，因此，故选B
7．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB
故答案为：D.
【分析】由A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，则有AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′，因为AC为直角△ABC的斜边，故斜边AC最长。
8．（2015高一下·衡水开学考）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，
可求得其长度为 a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 a，
∴原平面图形的面积为 =
故选：C．
【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为 a，故在平面图中，其长度为2 a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积．（也可以用结论S直=S原）
9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）
A．3 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：∵根据三视图得出：几何体为下图
AD，AB，AG相互垂直，面AEFG⊥面ABCDE，
BC∥AE，AB=AD=AG=3，DE=1，
根据几何体的性质得出：AC=3，GC=
BG=3，AD=4，EF=，CE=，
故最长的为GC=3
故选；B
【分析】根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可．
二、填空题
10．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ．
【答案】③
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】设图甲中直观图为 (按逆时针)，因为AB与y’平行，所以 是直角，只有③满足.
【分析】由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直.只有③满足.
11．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△AOB的面积为16，A′B′∥y′轴，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′= .
【答案】2
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，
AB⊥OB，又S△ABO=16，OB=O′B′=4，
所以 AB·OB=16，所以AB=8，所以A′B′=4，
在Rt△A′B′C′中，A′C′=A′B′·sin45°=4× =2 .
答案：2 .
【分析】由A′B′∥y′轴，得AB⊥OC，即AB⊥OB，OB=O′B′=4，S△ABO= AB·OB=16，则AB=8，所以A′B′=4，
△A′B′C′为等腰直角三角形，A′B′为斜边，所以A′C′=A′B′=
12．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′⊥x′轴，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为 .
【答案】6
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】过C′作C′D′∥A′B′交y′轴于D′，
则O′D′= =3 ，由斜二测画法规则知D′对应点在y轴上，且OD=6 ，此即为△ABC的边AB上的高.
答案：6 .
【分析】过D′作，则，，，在等腰直角△O'DD'中，
原图形的高是.
三、解答题
13．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
【答案】解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
14．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.
【答案】解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，
所以在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
因为DA=2D′A′=2，
AC=A′C′= ，
所以S四边形ABCD=AC·AD=2 .
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，A′C′为轴，D′A′为轴，建立坐标系，，AC=A′C′=
S四边形ABCD=2AC·AD=.
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人教A版高中数学必修二 1.2.3空间几何体的直观图 同步练习
一、单选题
1．已知水平放置的 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 ，那么原 是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
2．空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按比例1：5000画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 （ ）
A．4 cm，1 cm， 2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
4．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形．
②平行四边形的直观图是平行四边形．
③正方形的直观图是正方形．
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③④
5．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．AB B．AD C．BC D．AC
8．（2015高一下·衡水开学考）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．2
9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）
A．3 B．3 C．4 D．5
二、填空题
10．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ．
11．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△AOB的面积为16，A′B′∥y′轴，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′= .
12．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′⊥x′轴，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为 .
三、解答题
13．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
14．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由已知中 的直观图中 ， = ，
∴ 中， ， ，勾股定理得： ，又由 ，故 为等边三角形，
故答案为：A．
【分析】根据直观图的还原结论，横不变，竖减半的原则（即平行于轴的长度不变，平行于轴的减半）=2，
=，且，，得到Δ A B C为等腰三角形，在直角Δ A B O中由勾股定理得A B = A C = 2，由Δ A B C的三边关系可以判断三角形伟等边三角形。
2．【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】选A.由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的直观图的选项是选项A，由三视图可知，该几何体下部分是一个四棱柱.选项都正确.
故答案为：A.
【分析】该几何体是组合体，先看三视图的正视图和侧视图为三角形，故该几何体上面为椎体，通过俯视图得该几何体上面是三棱锥，再看三视图的下面发现都是正方形，故下面是正方体，因此该几何体是上面是三棱锥，下面是正方体的组合体。
3．【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
故答案为：C.
【分析】直观图的画法要求，平行于衡州的长度不变，平行于纵轴的长度减半，平行于竖轴的不变
长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，直观图中长方体的长、宽、高分别为20000cm、2500cm、10000cm，四棱锥的高为8000cm，若按比例1：500画，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
4．【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】正方形的直观图不一定是正方形，菱形的直观图不一定是菱形.，故③④不符合题意，
故答案为：A.
【分析】三角形的直观图师三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图不一定是正方形，菱形的直观图不一定是菱形故选A
5．【答案】D
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】由已知中的三视图我们可以判断出，该几何体是由一个底面面积相等的圆锥和圆柱组合而成，分析四个答案可得D满足条件要求
故答案为：D
【分析】通过三视图发现此几何体是组合体，由正视图和侧视图的上半部分都是三角形，得到该几何体上半部分是椎体，由俯视图是个圆知该几何体上半部分是圆锥，由正视图和侧视图下半部分是矩形，俯视图是圆知该几何体下半部分是圆柱，故该几何体是上面是圆锥下面是圆柱的组合体，故选D
6．【答案】B
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为 ，所以还原为实际图形是 ，所以 是直角，所以是直角三角形．
故答案为：B
【分析】在轴上，故， A ′ B ′ ∥ y ′，则∠ B A C 是直角，，因此，故选B
7．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB故答案为：D.
【分析】由A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，则有AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′，因为AC为直角△ABC的斜边，故斜边AC最长。
8．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，
可求得其长度为 a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 a，
∴原平面图形的面积为 =
故选：C．
【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为 a，故在平面图中，其长度为2 a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积．（也可以用结论S直=S原）
9．【答案】B
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：∵根据三视图得出：几何体为下图
AD，AB，AG相互垂直，面AEFG⊥面ABCDE，
BC∥AE，AB=AD=AG=3，DE=1，
根据几何体的性质得出：AC=3，GC=
BG=3，AD=4，EF=，CE=，
故最长的为GC=3
故选；B
【分析】根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可．
10．【答案】③
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】设图甲中直观图为 (按逆时针)，因为AB与y’平行，所以 是直角，只有③满足.
【分析】由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直.只有③满足.
11．【答案】2
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，
AB⊥OB，又S△ABO=16，OB=O′B′=4，
所以 AB·OB=16，所以AB=8，所以A′B′=4，
在Rt△A′B′C′中，A′C′=A′B′·sin45°=4× =2 .
答案：2 .
【分析】由A′B′∥y′轴，得AB⊥OC，即AB⊥OB，OB=O′B′=4，S△ABO= AB·OB=16，则AB=8，所以A′B′=4，
△A′B′C′为等腰直角三角形，A′B′为斜边，所以A′C′=A′B′=
12．【答案】6
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】过C′作C′D′∥A′B′交y′轴于D′，
则O′D′= =3 ，由斜二测画法规则知D′对应点在y轴上，且OD=6 ，此即为△ABC的边AB上的高.
答案：6 .
【分析】过D′作，则，，，在等腰直角△O'DD'中，
原图形的高是.
13．【答案】解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
14．【答案】解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，
所以在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
因为DA=2D′A′=2，
AC=A′C′= ，
所以S四边形ABCD=AC·AD=2 .
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，A′C′为轴，D′A′为轴，建立坐标系，，AC=A′C′=
S四边形ABCD=2AC·AD=.
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