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人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质 同步练习
一、单选题
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.
因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．
因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确．
因为AB∥l，l β，AB β.
所以AB∥β.故C也正确．
因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．
故答案为：D
【分析】利用线面平行、线面垂直的判定与性质分别进行判断，即可得出结论。
2．已知m，n是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 垂直于同一平面，则 与 平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若 不平行，则在 内不存在与 平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A中，若若 垂直于同一平面，则 与 不一定是平行，例如墙角的三个平面；对于B中，若m，n平行于同一平面，则m与n平行、相交或异面，所以是错误的；对于C中，若 不平行，则在 内可存在无数条与 平行的直线，所以是错误的； 对于D中，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直一个平面，则这两条直线一定是平行的，所以是正确的．
故答案为：D
【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质定理分别进行判断，即可得出结论。
3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m β，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n，其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据面面垂直的判定可知：①错误；②：根据线面平行的判定可知，②正确；③：如正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与AD1在底面A1B1C1D1的射影互相垂直，而AB1与AD1的夹角为 ，③错误；④：m，n可能斜交，可能平行，可能异面，可能垂直，④错误，所以正确命题的个数为1个.
故答案为：B.
【分析】根据面面垂直的判定、根据线面平行的判定，即可得出结论。
4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为 和 ，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于（ ）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，由已知得AA′⊥平面β，
∠ABA′= ，BB′⊥平面α，
∠BAB′= ，设AB=a，则BA′= a，BB′= a，
在Rt△BA′B′中，A′B′= a，所以 = .
故答案为：A.
【分析】如图，由已知得AA′⊥平面β，求出相应线段的长度，即可得出结论。
5．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设AB=a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，
则AA′⊥β，连A′B，则∠ABA′=30°.
在Rt△AA′B中，AB=a，
所以AA′= a.
同理作BB′⊥l于B′，连AB′，则∠BAB′=30°，
所以BB′= a，AB′= a，
所以A′B′= = a，
过B作BC A′B′.
连接A′C，则A′C BB′，连接AC，在Rt△AA′C中，
AC= = a.
由BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，
且AC=BC，所以∠ABC=45°，为l与AB所成角.
故答案为：B.
【分析】作出AB与这两个面所成的角，根据异面直线所成角的定义，作出异面直线AB与l所成的角，即可得出结论。
6．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m，n是两条异面直线，m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】①若 ， ，则 或 ，故①错误；②因为 ， ，所以 ，又 ，则 ，故②正确；③过直线 作平面 交平面 于直线 ，因为 、 是两条异面直线，所以设 ；因为 ， ， ，所以 ；因为 ， ，所以 ，因为 ， ， ， ， ，所以 ，故③正确；④由面面垂直的性质定理：因为 ， ， ， ，所以 ，故④正确．
故答案为：
【分析】利用线面平行、垂直的判定定理，即可得出结论。
7．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，
AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.
又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.
所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
故答案为：D.
【分析】利用面面垂直、线面垂直的性质，证明∠ACB=90°.可得动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
8．（2016高二下·韶关期末）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β，（ ）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；
对于B，当α⊥β，l α，m β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；
对于C，当l∥β，且l α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；
对于D，当α∥β，且l α，m β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．
故选：A．
【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
9．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．4
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM= ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4× =2 ，所以PM的最小值为2 .
故答案为：B.
【分析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可。
10．设α，β，γ为平面，l，m，n为直线，则能得到m⊥β的一个条件为（ ）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥α
C．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ D．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图①知A错；如图②知C错；如图③，在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.
故答案为：B.
【分析】作出相应的图形，利用反例进行判断。
二、填空题
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD= ，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是 .
⑴A′C⊥BD.
⑵∠BA′C=90°.
⑶CA′与平面A′BD所成的角为30°.
⑷四面体A′-BCD的体积为 .
【答案】(2)(4)
【知识点】由三视图求面积、体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.
因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，
所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.
因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，
因为A′D=CD，
所以∠CA′D= ，故(3)错误.
四面体A′-BCD的体积为V= S△BDA′·h= × ×1= ，
因为AB=AD=1，DB= ，
所以A′C⊥BD，综上(2)(4)成立.
【分析】利用线面垂直的判定与性质判断（1）（2）；利用CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，判断（3），利用体积公式判定（4）。
12．斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，则A1B= .
【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】取CC1中点M，连A1M与BM，
因为AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，
所以△A1CC1是等边三角形，
四边形ACC1A1≌四边形CBB1C1，
所以A1M⊥CC1，
BM⊥CC1，所以A1M=BM= .
又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，
所以∠A1MB为二面角的平面角，且∠A1MB=90°.
所以A1B= .
【分析】取CC1中点M，连A1M与BM，证明∠A1MB为二面角的平面角，且∠A1MB=90°，即可求解。
三、解答题
13．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA= ，AD=CD=1.
（1）求证：BD⊥AA1.
（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求 的值.
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC，平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面ACC1A1∩平面ABCD=AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面ACC1A1，又AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥AA1.
（2）解：点E为BC的中点，即 =1，
下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，且E为BC的中点，所以AE⊥BC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA= ，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有AE∥DC.因为DC 平面DCC1D1，AE 平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质，即可得出结论；
（2）点E为BC的中点，利用线面平行的判定定理可得结论。
14．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点.
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC.
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【答案】（1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
又DC1 平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．
又DC1 平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．
（2）解：设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1．
由题意得V1＝ × ×1×1＝ ．
又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1，
所以（V－V1）∶V1＝1∶1．
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明DC1⊥平面BDC．利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BDC1⊥平面BDC．
（2）利用体积公式求体积，即可求出平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比。
15．如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
（1）证明：平面AEC⊥平面BED；
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积．
【答案】（1）解：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.
又AC 平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED
（2）解：设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC= x，GB=GD= .
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG= x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE= x.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积
VE-ACD= × AC·GD·BE= x3= .
故x=2.从而可得AE=EC=ED= .
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 .
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明AC⊥平面BED，利用面面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED；
（2）利用体积公式求出AB，再求出侧面积，即可得出结论。
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人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质 同步练习
一、单选题
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
2．已知m，n是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 垂直于同一平面，则 与 平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若 不平行，则在 内不存在与 平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m β，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n，其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为 和 ，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于（ ）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
5．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m，n是两条异面直线，m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
8．（2016高二下·韶关期末）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β，（ ）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
9．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．4
10．设α，β，γ为平面，l，m，n为直线，则能得到m⊥β的一个条件为（ ）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥α
C．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ D．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
二、填空题
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD= ，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是 .
⑴A′C⊥BD.
⑵∠BA′C=90°.
⑶CA′与平面A′BD所成的角为30°.
⑷四面体A′-BCD的体积为 .
12．斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，则A1B= .
三、解答题
13．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA= ，AD=CD=1.
（1）求证：BD⊥AA1.
（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求 的值.
14．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点.
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC.
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
15．如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
（1）证明：平面AEC⊥平面BED；
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.
因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．
因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确．
因为AB∥l，l β，AB β.
所以AB∥β.故C也正确．
因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．
故答案为：D
【分析】利用线面平行、线面垂直的判定与性质分别进行判断，即可得出结论。
2．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A中，若若 垂直于同一平面，则 与 不一定是平行，例如墙角的三个平面；对于B中，若m，n平行于同一平面，则m与n平行、相交或异面，所以是错误的；对于C中，若 不平行，则在 内可存在无数条与 平行的直线，所以是错误的； 对于D中，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直一个平面，则这两条直线一定是平行的，所以是正确的．
故答案为：D
【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质定理分别进行判断，即可得出结论。
3．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据面面垂直的判定可知：①错误；②：根据线面平行的判定可知，②正确；③：如正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与AD1在底面A1B1C1D1的射影互相垂直，而AB1与AD1的夹角为 ，③错误；④：m，n可能斜交，可能平行，可能异面，可能垂直，④错误，所以正确命题的个数为1个.
故答案为：B.
【分析】根据面面垂直的判定、根据线面平行的判定，即可得出结论。
4．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，由已知得AA′⊥平面β，
∠ABA′= ，BB′⊥平面α，
∠BAB′= ，设AB=a，则BA′= a，BB′= a，
在Rt△BA′B′中，A′B′= a，所以 = .
故答案为：A.
【分析】如图，由已知得AA′⊥平面β，求出相应线段的长度，即可得出结论。
5．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】设AB=a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，
则AA′⊥β，连A′B，则∠ABA′=30°.
在Rt△AA′B中，AB=a，
所以AA′= a.
同理作BB′⊥l于B′，连AB′，则∠BAB′=30°，
所以BB′= a，AB′= a，
所以A′B′= = a，
过B作BC A′B′.
连接A′C，则A′C BB′，连接AC，在Rt△AA′C中，
AC= = a.
由BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，
且AC=BC，所以∠ABC=45°，为l与AB所成角.
故答案为：B.
【分析】作出AB与这两个面所成的角，根据异面直线所成角的定义，作出异面直线AB与l所成的角，即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】①若 ， ，则 或 ，故①错误；②因为 ， ，所以 ，又 ，则 ，故②正确；③过直线 作平面 交平面 于直线 ，因为 、 是两条异面直线，所以设 ；因为 ， ， ，所以 ；因为 ， ，所以 ，因为 ， ， ， ， ，所以 ，故③正确；④由面面垂直的性质定理：因为 ， ， ， ，所以 ，故④正确．
故答案为：
【分析】利用线面平行、垂直的判定定理，即可得出结论。
7．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，
AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.
又因为BC 平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.
所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
故答案为：D.
【分析】利用面面垂直、线面垂直的性质，证明∠ACB=90°.可得动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
8．【答案】A
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；
对于B，当α⊥β，l α，m β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；
对于C，当l∥β，且l α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；
对于D，当α∥β，且l α，m β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．
故选：A．
【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
9．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM= ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4× =2 ，所以PM的最小值为2 .
故答案为：B.
【分析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可。
10．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图①知A错；如图②知C错；如图③，在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正确.
故答案为：B.
【分析】作出相应的图形，利用反例进行判断。
11．【答案】(2)(4)
【知识点】由三视图求面积、体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，
则BD⊥平面A′CD，则BD⊥A′D，显然不可能，故(1)错误.
因为BA′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，
所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正确.
因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，
所以CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，
因为A′D=CD，
所以∠CA′D= ，故(3)错误.
四面体A′-BCD的体积为V= S△BDA′·h= × ×1= ，
因为AB=AD=1，DB= ，
所以A′C⊥BD，综上(2)(4)成立.
【分析】利用线面垂直的判定与性质判断（1）（2）；利用CD⊥平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D，判断（3），利用体积公式判定（4）。
12．【答案】
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】取CC1中点M，连A1M与BM，
因为AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，
所以△A1CC1是等边三角形，
四边形ACC1A1≌四边形CBB1C1，
所以A1M⊥CC1，
BM⊥CC1，所以A1M=BM= .
又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，
所以∠A1MB为二面角的平面角，且∠A1MB=90°.
所以A1B= .
【分析】取CC1中点M，连A1M与BM，证明∠A1MB为二面角的平面角，且∠A1MB=90°，即可求解。
13．【答案】（1）解：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC，平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面ACC1A1∩平面ABCD=AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面ACC1A1，又AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥AA1.
（2）解：点E为BC的中点，即 =1，
下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，且E为BC的中点，所以AE⊥BC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA= ，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有AE∥DC.因为DC 平面DCC1D1，AE 平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质，即可得出结论；
（2）点E为BC的中点，利用线面平行的判定定理可得结论。
14．【答案】（1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
又DC1 平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．
又DC1 平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．
（2）解：设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1．
由题意得V1＝ × ×1×1＝ ．
又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1，
所以（V－V1）∶V1＝1∶1．
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）通过证明DC1⊥平面BDC．利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BDC1⊥平面BDC．
（2）利用体积公式求体积，即可求出平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比。
15．【答案】（1）解：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.
又AC 平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED
（2）解：设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC= x，GB=GD= .
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG= x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE= x.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积
VE-ACD= × AC·GD·BE= x3= .
故x=2.从而可得AE=EC=ED= .
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 .
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）证明AC⊥平面BED，利用面面垂直的判定定理证明平面AEC⊥平面BED；
（2）利用体积公式求出AB，再求出侧面积，即可得出结论。
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