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人教A版高中数学必修二 1.2.3空间几何体的直观图 同步练习
一、单选题
1．已知直线a在平面α外，则（ ）
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α=A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.
故答案为：D.
【分析】利用直线在平面外，可得直线a与平面α至多有一个公共点，即可得出结论。
2．已知直线 和平面 ，若 ， ，过点p且平行于 的直线（ ）
A．只有一条，不在平面 内
B．有无数条，一定在平面 内
C．只有一条，且在平面 内
D．有无数条，不一定在平面 内
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】用反证法证明，由线面平行的性质定理可知，经过直线 与点p的平面与平面 的交线b必与直线 平行.若还存在经过点p的另一条直线m使得 ，则 ，又直线m、b均经过点p，则此情形不可能成立，所以在平面 内过点P只有唯一的一条直线与直线 平行.
故答案为：C.
【分析】由线面平行的性质定理，利用反证法，可得结论。
3．若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：直线l不平行于平面α，且l α，则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故A，C，D错误
故答案为：B．
【分析】直线l不平行于平面α，且l α，则l与α相交，可得l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行。
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
故答案为：A.
【分析】利用平面与平面平行的判定与性质，分别判断即可得出结论。
5．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直
【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】若尺子与地面相交，则地面上不存在直线与直尺所在的直线平行.故C错误.若尺子平行于地面，则B不正确.若尺子放在地面上，则A不正确.
故答案为：D.
【分析】分类讨论，可得直线的位置关系。
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线EF是平面ACD1与（ ）
A．平面BDB1的交线 B．平面BDC1的交线
C．平面ACB1的交线 D．平面ACC1的交线
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF 平面BDC1，故EF=平面ACD1∩平面BDC1.
故答案为：B.
【分析】利用公理2，即可得出结论。
7．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.
故答案为：D.
【分析】若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.
8．α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（ ）
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于 ， 与 可能相交或平行，错；对于B， 与 可能相交或平行，错；对于C，
与 可能相交或平行，错；D符合面面平行的定义，正确，
故答案为：D.
【分析】利用平面与平面平行的判定，可得结论。
二、填空题
9．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是 .
【答案】b∥α，b α或b与α相交
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB，CD，C1D1，A1B1中点的截面为α，则b∥α.
答案：b∥α，b α或b与α相交.
【分析】利用线面平行的判定与性质，可得结论。
10．如果空间中的三个平面两两相交，则下列判断正确的是 (填序号).
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线.
【答案】①
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】三个平面两两相交，所得交线可能有一条；当交线有两条交于一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行时，那么第三条交线一定与另外两条平行，故只有①正确.
答案：①.
【分析】三个平面两两相交，所得交线可能有一条；当交线有两条交于一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行时，那么第三条交线一定与另外两条平行，可得结论。
11．平面α∩β=c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是 .
【答案】异面
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】因为a∥α，c α，
所以a与c无公共点，不相交.
若a∥c，则直线a∥β或a β.
这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面.
答案：异面.
【分析】利用反证法思想，可得结论。
三、解答题
12．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.
【答案】解：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，
又BB′ 平面ABB′A′，CE 平面CDFE，
所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，
故平面ABB′A′与平面CDFE相交.
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】利用公理2，可得平面ABB′A′与平面CDFE相交.
13．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.
【答案】解：a∥b，a∥β.由α∩γ=a知a α且a γ，
由β∩γ=b知b β且b γ，
所以a α，b β，又因为α∥β，
所以a，b无公共点.
又因为a γ且b γ，所以a∥b.
因为α∥β，所以α与β无公共点，
又a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】利用平面与平面平行的性质，可得a∥b.因为α∥β，所以α与β无公共点，可得结论。
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
【答案】解：取AB的中点F，连结EF，CF，则EF是过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线.
试题解析：
如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF.
∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、F、C、D1四点共面．
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】取AB的中点F，连结EF，CF，则EF是过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线.
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人教A版高中数学必修二 1.2.3空间几何体的直观图 同步练习
一、单选题
1．已知直线a在平面α外，则（ ）
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α=A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
2．已知直线 和平面 ，若 ， ，过点p且平行于 的直线（ ）
A．只有一条，不在平面 内
B．有无数条，一定在平面 内
C．只有一条，且在平面 内
D．有无数条，不一定在平面 内
3．若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线EF是平面ACD1与（ ）
A．平面BDB1的交线 B．平面BDC1的交线
C．平面ACB1的交线 D．平面ACC1的交线
7．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行、相交或异面
8．α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（ ）
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
二、填空题
9．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是 .
10．如果空间中的三个平面两两相交，则下列判断正确的是 (填序号).
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线.
11．平面α∩β=c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是 .
三、解答题
12．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.
13．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.
14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.
故答案为：D.
【分析】利用直线在平面外，可得直线a与平面α至多有一个公共点，即可得出结论。
2．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】用反证法证明，由线面平行的性质定理可知，经过直线 与点p的平面与平面 的交线b必与直线 平行.若还存在经过点p的另一条直线m使得 ，则 ，又直线m、b均经过点p，则此情形不可能成立，所以在平面 内过点P只有唯一的一条直线与直线 平行.
故答案为：C.
【分析】由线面平行的性质定理，利用反证法，可得结论。
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：直线l不平行于平面α，且l α，则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故A，C，D错误
故答案为：B．
【分析】直线l不平行于平面α，且l α，则l与α相交，可得l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行。
4．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
故答案为：A.
【分析】利用平面与平面平行的判定与性质，分别判断即可得出结论。
5．【答案】D
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】若尺子与地面相交，则地面上不存在直线与直尺所在的直线平行.故C错误.若尺子平行于地面，则B不正确.若尺子放在地面上，则A不正确.
故答案为：D.
【分析】分类讨论，可得直线的位置关系。
6．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF 平面BDC1，故EF=平面ACD1∩平面BDC1.
故答案为：B.
【分析】利用公理2，即可得出结论。
7．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.
故答案为：D.
【分析】若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.
8．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于 ， 与 可能相交或平行，错；对于B， 与 可能相交或平行，错；对于C，
与 可能相交或平行，错；D符合面面平行的定义，正确，
故答案为：D.
【分析】利用平面与平面平行的判定，可得结论。
9．【答案】b∥α，b α或b与α相交
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB，CD，C1D1，A1B1中点的截面为α，则b∥α.
答案：b∥α，b α或b与α相交.
【分析】利用线面平行的判定与性质，可得结论。
10．【答案】①
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】三个平面两两相交，所得交线可能有一条；当交线有两条交于一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行时，那么第三条交线一定与另外两条平行，故只有①正确.
答案：①.
【分析】三个平面两两相交，所得交线可能有一条；当交线有两条交于一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行时，那么第三条交线一定与另外两条平行，可得结论。
11．【答案】异面
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】因为a∥α，c α，
所以a与c无公共点，不相交.
若a∥c，则直线a∥β或a β.
这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面.
答案：异面.
【分析】利用反证法思想，可得结论。
12．【答案】解：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，
又BB′ 平面ABB′A′，CE 平面CDFE，
所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，
故平面ABB′A′与平面CDFE相交.
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】利用公理2，可得平面ABB′A′与平面CDFE相交.
13．【答案】解：a∥b，a∥β.由α∩γ=a知a α且a γ，
由β∩γ=b知b β且b γ，
所以a α，b β，又因为α∥β，
所以a，b无公共点.
又因为a γ且b γ，所以a∥b.
因为α∥β，所以α与β无公共点，
又a α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
【知识点】平面与平面平行的性质
【解析】【分析】利用平面与平面平行的性质，可得a∥b.因为α∥β，所以α与β无公共点，可得结论。
14．【答案】解：取AB的中点F，连结EF，CF，则EF是过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线.
试题解析：
如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF.
∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E、F、C、D1四点共面．
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】取AB的中点F，连结EF，CF，则EF是过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线.
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