人教A版高中数学 必修二 2.1.1平面 同步练习
一、单选题
1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（ ）
A．P l α B．P∈l∈α C．P l∈α D．P∈l α
【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．
故答案为：D.
【分析】直线和平面可看作点的集合，利用包含符号可得结论。
2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【答案】C
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】 与 可能异面，可能相交就是不可能平行。假设直线 ∥直线 ，因为直线 ∥直线a，所以直线 ∥直线a，这与已知a，b是异面直线相矛盾，故假设不成立，即 与 不可能是平行直线.
故答案为：C
【分析】利用异面直线的判定方法，可得结论。
3．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；α内有无数条直线与a平行，故B正确；直线a上的点到平面α的距离相等，故C正确；α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确．
故答案为：A.
【分析】利用线面平行的判定、线面角的定义，即可得出结论。
4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交 D．可能相交、平行、也可能异面
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
故答案为：D
【分析】一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面。
5．（2016高二上·襄阳开学考）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：
∴该选项错误；
B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；
C．l可以和l1，l2都相交，如下图：
，
∴该选项错误；
D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；
∵l和l1，l2都共面；
∴l和l1，l2都平行；
∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；
∴该选项正确．
故选D．
【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．
6．（2017高二上·大庆期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
【答案】③④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；
故答案为：③④
【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．
7．下列说法中正确的个数是（ ）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
故答案为：A.
【分析】利用平面与平面平行的判定与性质，分别判断即可得出结论。
二、填空题
8．设平面α与平面β相交于直线l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为 ．
【答案】M∈l
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.
【分析】利用平面的基本性质，即可判断。
9．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是 ．
【答案】0
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．正确命题的个数是0.
【分析】利用平面的确定方法，即可得出结论。
10．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
【答案】(2)(4)
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】图(1)中，直线GH∥MN；
图(2)中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图(4)中，G，M，N共面，
但H 平面GMN，因此GH与MN异面．
所以图(2)，(4)中GH与MN异面．
填(2)(4).
【分析】利用异面直线的判定方法，可得结论。
三、解答题
11．完成下列各题：将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
（1）将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
（2）将下列符号语言转换为图形语言．
①a α，b∩α＝A，A a；
②α∩β＝c，a α，b β，a∥c，b∩c＝P.
【答案】（1）解：①A∈α，A β.
②M∈a，M α.
③α∩β＝l.
（2）解：①
②
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【分析】（1）利用点、线、面之间的关系，即可得出结论。
12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
【答案】（1）解：不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A D1D，D1D C1C，所以A1A C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
（2）解：是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC 平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】利用异面直线的判定方法，即可得出结论。
13．求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．
【答案】证明：第一种情形（如图1）：四条直线l1，l2，l3，l4没有三条直线过同一点，
这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它们各不相同，
因直线l1，l2相交于点A，可决定一平面α；
因点B、C、D、E均在平面α内，
所以直线l3，l4也在平面α内，
故直线l1，l2，l3，l4同在平面α内．
第二种情形（如图2）：四条直线l1，l2，l3，l4中有三条，
例如l1，l2，l3，过同一点A，
因直线l4不过点A，
故由点A及直线l4可决定一平面α，
因直线l4与直线l1，l2，l3，相交，
设交点为B、C、D，
则点B、C、D在直线l4上，从而在平面α内，
因此，直线l1，l2，l3，各有两点在平面α内，
即这三条直线在平面α内，
故四直线l1，l2，l3，l4在同一平内．
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】分两类：无三点共线的情况；有三点共线的情况，利用平面的确定方法可得结论。
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【答案】证明：连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF= A1B.又因为A1B=D1C，所以EF= D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】利用两条直线共点，证明点在第三条直线上即可。
1 / 1人教A版高中数学 必修二 2.1.1平面 同步练习
一、单选题
1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（ ）
A．P l α B．P∈l∈α C．P l∈α D．P∈l α
2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
3．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交 D．可能相交、平行、也可能异面
5．（2016高二上·襄阳开学考）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
6．（2017高二上·大庆期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
7．下列说法中正确的个数是（ ）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
8．设平面α与平面β相交于直线l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为 ．
9．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是 ．
10．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)．
三、解答题
11．完成下列各题：将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
（1）将下列文字语言转换为符号语言．
①点A在平面α内，但不在平面β内；
②直线a经过平面α外一点M；
③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．
（2）将下列符号语言转换为图形语言．
①a α，b∩α＝A，A a；
②α∩β＝c，a α，b β，a∥c，b∩c＝P.
12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
13．求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【解答】直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．
故答案为：D.
【分析】直线和平面可看作点的集合，利用包含符号可得结论。
2．【答案】C
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】 与 可能异面，可能相交就是不可能平行。假设直线 ∥直线 ，因为直线 ∥直线a，所以直线 ∥直线a，这与已知a，b是异面直线相矛盾，故假设不成立，即 与 不可能是平行直线.
故答案为：C
【分析】利用异面直线的判定方法，可得结论。
3．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；α内有无数条直线与a平行，故B正确；直线a上的点到平面α的距离相等，故C正确；α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确．
故答案为：A.
【分析】利用线面平行的判定、线面角的定义，即可得出结论。
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．
故答案为：D
【分析】一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面。
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：
∴该选项错误；
B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；
C．l可以和l1，l2都相交，如下图：
，
∴该选项错误；
D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；
∵l和l1，l2都共面；
∴l和l1，l2都平行；
∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；
∴该选项正确．
故选D．
【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．
6．【答案】③④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；
故答案为：③④
【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．
7．【答案】A
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
故答案为：A.
【分析】利用平面与平面平行的判定与性质，分别判断即可得出结论。
8．【答案】M∈l
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.
【分析】利用平面的基本性质，即可判断。
9．【答案】0
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．正确命题的个数是0.
【分析】利用平面的确定方法，即可得出结论。
10．【答案】(2)(4)
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】图(1)中，直线GH∥MN；
图(2)中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图(4)中，G，M，N共面，
但H 平面GMN，因此GH与MN异面．
所以图(2)，(4)中GH与MN异面．
填(2)(4).
【分析】利用异面直线的判定方法，可得结论。
11．【答案】（1）解：①A∈α，A β.
②M∈a，M α.
③α∩β＝l.
（2）解：①
②
【知识点】平面的概念、画法及表示
【解析】【分析】（1）利用点、线、面之间的关系，即可得出结论。
12．【答案】（1）解：不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A D1D，D1D C1C，所以A1A C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
（2）解：是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC 平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
【知识点】异面直线的判定
【解析】【分析】利用异面直线的判定方法，即可得出结论。
13．【答案】证明：第一种情形（如图1）：四条直线l1，l2，l3，l4没有三条直线过同一点，
这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它们各不相同，
因直线l1，l2相交于点A，可决定一平面α；
因点B、C、D、E均在平面α内，
所以直线l3，l4也在平面α内，
故直线l1，l2，l3，l4同在平面α内．
第二种情形（如图2）：四条直线l1，l2，l3，l4中有三条，
例如l1，l2，l3，过同一点A，
因直线l4不过点A，
故由点A及直线l4可决定一平面α，
因直线l4与直线l1，l2，l3，相交，
设交点为B、C、D，
则点B、C、D在直线l4上，从而在平面α内，
因此，直线l1，l2，l3，各有两点在平面α内，
即这三条直线在平面α内，
故四直线l1，l2，l3，l4在同一平内．
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】分两类：无三点共线的情况；有三点共线的情况，利用平面的确定方法可得结论。
14．【答案】证明：连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF= A1B.又因为A1B=D1C，所以EF= D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据公理3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【分析】利用两条直线共点，证明点在第三条直线上即可。
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