人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型 同步练习

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人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型 同步练习
一、单选题
1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点
【答案】D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由甲、乙两人的路程 S 与时间 t的函数关系图可知，甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点，
故答案为：D．
【分析】甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点。
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象
【解析】【解答】由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增，所以 ， ，所以 最小，由函数 的图像可知，在区间（2，4）上，函数 的图像恒在函数 的图像上方。所以 ，
故答案为：B.
【分析】在同一坐标系中，作出相应的图象，即可判断。
3．有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是（　　）
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，
故答案为：C.
【分析】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，结合四个图象，即可判断。
4．若 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】结合 ， 及 的图象易知，当 时， . 故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x＞0）函数为偶函数，底数1.104＞1，
故答案为：D
【分析】利用指数函数模型得出函数的解析式，即可得出结论。
二、填空题
6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中，关于x呈指数函数变化的函数是　 　．
【答案】
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y1呈指数型函数变化，故填y1.
【分析】利用指数函数的特征，即可判断。
7．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
【分析】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，即可判断。
8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是　 　．
【答案】①②③
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
故答案为①②③.
【分析】根据所给图象，结合直线的特征，即可判断。
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
【答案】解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x ，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1，由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1g(x)>h(x)；当ef(x)>h(x)；当ah(x)>f(x)；当bg(x)>f(x)；当cf(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得结论。
10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y(单位：亿)．
（1）求y与x的函数关系式y＝f(x)；
（2）求函数y＝f(x)的定义域；
（3）判断函数f(x)是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．
【答案】（1）解：1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2亿．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3亿…
∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x年后人口数为13×(1＋1%)x亿，∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
（2）解：∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N*是此函数的定义域
（3）解：y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.∵1＋1%>1，13>0，∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用指数函数模型可得函数的解析式；
（2）此问题以年作为单位时间，可得函数的定义域；
（3）根据底数，可知函数是增函数，可得结论。
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【答案】解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根据已知有 和 解得 和 所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f(4)＝1.3，g(4)＝1.35.显然g(4)更接近于1.37，故答案为：用y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．
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人教版A版高中数学必修一 第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型 同步练习
一、单选题
1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
3．有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是（　　）
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
4．若 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中，关于x呈指数函数变化的函数是　 　．
7．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是　 　．
8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是　 　．
三、解答题
9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y(单位：亿)．
（1）求y与x的函数关系式y＝f(x)；
（2）求函数y＝f(x)的定义域；
（3）判断函数f(x)是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由甲、乙两人的路程 S 与时间 t的函数关系图可知，甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点，
故答案为：D．
【分析】甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点。
2．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象
【解析】【解答】由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增，所以 ， ，所以 最小，由函数 的图像可知，在区间（2，4）上，函数 的图像恒在函数 的图像上方。所以 ，
故答案为：B.
【分析】在同一坐标系中，作出相应的图象，即可判断。
3．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，
故答案为：C.
【分析】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，结合四个图象，即可判断。
4．【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】结合 ， 及 的图象易知，当 时， . 故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
5．【答案】D
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x＞0）函数为偶函数，底数1.104＞1，
故答案为：D
【分析】利用指数函数模型得出函数的解析式，即可得出结论。
6．【答案】
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y1呈指数型函数变化，故填y1.
【分析】利用指数函数的特征，即可判断。
7．【答案】②③
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
【分析】由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，即可判断。
8．【答案】①②③
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
故答案为①②③.
【分析】根据所给图象，结合直线的特征，即可判断。
9．【答案】解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x ，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1，由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1g(x)>h(x)；当ef(x)>h(x)；当ah(x)>f(x)；当bg(x)>f(x)；当cf(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得结论。
10．【答案】（1）解：1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2亿．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3亿…
∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x年后人口数为13×(1＋1%)x亿，∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.
（2）解：∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N*是此函数的定义域
（3）解：y＝f(x)＝13×(1＋1%)x.∵1＋1%>1，13>0，∴y＝f(x)＝13×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用指数函数模型可得函数的解析式；
（2）此问题以年作为单位时间，可得函数的定义域；
（3）根据底数，可知函数是增函数，可得结论。
11．【答案】解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根据已知有 和 解得 和 所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f(4)＝1.3，g(4)＝1.35.显然g(4)更接近于1.37，故答案为：用y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．
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