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2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（6） 同步练习
一、选择题
1．（2018·宁晋模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
2．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y= （x﹣2）2+3 B．y= （x﹣2）2﹣3
C．y=﹣ （x﹣2）2+3 D．y=﹣ （x﹣2）2﹣3
4．二次函数的图象经过 三点，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
6．（2018·义乌）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A． B． C． D．
7．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）
A．y=﹣2x2+8x+3 B．y=﹣2x 2﹣8x+3
C．y=﹣2x2+8x﹣5 D．y=﹣2x 2﹣8x+2
8．（2017·兰州模拟）心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31
C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
10．已知二次函数y＝－3x2＋1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝－3x2－1 B．y＝3x2 C．y＝3x2＋1 D．y＝3x2－1
二、填空题
11．若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0，－3）.则这个二次函数的表达式为 ．
12．抛物线 与直线 交于（1， ），则 = ；抛物线的解析式为
13．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 ．
14．如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2－4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 ．
15．若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为 ．
16．定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数” ．
三、解答题
17．抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)
18．已知：抛物线 经过 、 两点，顶点为A．
求：
（1）抛物线的表达式；
（2）顶点A的坐标．
19．已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点(－1，0)．
（1）求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．
（2）若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．
20．已知抛物线经过三点A(2，6)、B(-1，0)、C(3，0)．
求：
（1）这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标.
21．如图，抛物线y=ax2+4ax+4与x轴仅有一个公共点，经过点A的直线交该抛物线于点C，交y轴于点B，且点B是线段AC的中点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式．
22．在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），顶点为 .
（Ⅰ）当抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵F(2，2)，G(4，2)，
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H(3，1)点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为
把E(0，10)代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为
故答案为：C.
【分析】先由点F，G的坐标确定抛物线的对称轴，再结合点H的坐标可知点H为抛物线的顶点，从而可设出抛物线的解析式，所以两点之中必有点H的坐标，即可选得C.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线 向左平移1个单位所得直线解析式为：
，∴ ；
再向下平移3个单位为： ，∴ ．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解。
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，顶点是（2，3），所以y=﹣ （x﹣2）2+3，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的开口方向向下和顶点坐标即可判断。
4．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该二次函数的解析式为： ，则由已知条件可得：
，解得： ，
∴该二次函数的解析式为： .
故答案为：D
【分析】将二次函数的解析式设为一般式，再根据待定系数法即可求解。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： A、y=x2-1，先向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位可以得到y=x2+1，故A不符合题意；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4，无法经两次简单变换得到y=x2+1，故B符合题意；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2，先向右平移2个单位得到y=（x+2-2）2=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C不符合题意；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y=（x+4-2）2+1=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将各解析式配成顶点式，再结合简单变换即可判断。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故答案为：B．
【分析】根据定弦抛物线的对称轴及定弦抛物线的定义得出抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而利用交点式得出抛物线的解析式，并化为顶点式，再根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后观察四个答案的横坐标都是-3，故将x=-3代入新抛物线的解析式得出对应的函数值，从而得出答案。
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设y=a（x﹣2）2+3，抛物线经过点（3，1），所以a+3=1，a=﹣2．
因此抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣2）2+3=﹣2x2+8x﹣5．
故答案为：C．
【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可．
8．【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30﹣13）2+59.9，
解得：a=﹣0.1，
故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
【分析】利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同，
故设该二次函数的解析为y=-2（x-h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵当x=1时，y有最大值8，
∴该二次函数的顶点为（1，8），
∴h=1，k=8，
∴该二次函数的解析为y=-2（x-1）2+8，
即y=-2x2+4x+6，
故答案为：D．
【分析】根据题意可知，所求的二次函数的顶点坐标为（1，8），a=-2，所以可设顶点式求解。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵二次函数 图象的顶点坐标为（0，1），图象与 轴的交点坐标为 和 ，
∴二次函数 图象沿 轴翻折后的抛物线的顶坐标为（0，-1），与 轴的交点坐标为 和 ，
∴可设新抛物线的表达式为： ，代入点 可得： ，解得 ，
∴翻折后所得抛物线的表达式为： .
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线的顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线沿 x 轴翻折后的顶点坐标的变化特征可知，顶点的纵坐标变为原来的相反数，与 x 轴的交点坐标不变，即可求解。
11．【答案】y=﹣x2﹣3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3），
∴抛物线的顶点式为y=-（x－0）2-3，即y=-x2-3；
故答案为：y=-x2-3。
【分析】已知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再由二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0，－3），可得出函数解析式。
12．【答案】-1；y=-x2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，m=-1
抛物线y=ax2过（1，-1）
所以a=-1
抛物线的解析式为y=-x2．
故答案为：-1；y=-x2
【分析】根据点（1，m）在直线y=-x上可求得m的值，由题意将点（1， m ）代入抛物线的解析式即可求得a的值。
13．【答案】y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y= 2(x h)2+k，
又∵顶点坐标( 1，3)，
∴y= 2(x+1)2+3=-2x2-4x+1，
故答案为：y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1
【分析】由题意可知，两条抛物线的解析式a值相同，然后用顶点式y=a即可求解。
14．【答案】x2+4x+5
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把y=x2-4x+5中的一次项系数-4变成相反数得到：y=x2+4x+5．
故答案为y=x2+4x+5
【分析】由图和题意知，两条抛物线的解析式只有b值互为相反数，其余的量均不变。
15．【答案】y=﹣ x2+ x+12或y=﹣ x2﹣ x+12
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，
∴AB= =25，
∵ OC AB= AC BC，
∴OC= =12，
∴OA= =9，
∴OB=25 9=16，
∴抛物线与x轴的交点坐标为( 9，0)、(16，0)或( 16，0)、(9，0)，
当抛物线过点( 9，0)、(16，0)时，设抛物线解析式为y=a(x+9)(x 16)，把C(0，12)代入得a 9 ( 16)=12，解得a= ，此时抛物线解析式为y= (x+9)(x 16)，
即y= x2+ x+12；
当抛物线过点( 16，0)、(9，0)时，设抛物线解析式为y=a(x+16)(x 9)，把C(0，12)代入得a 16 ( 9)=12，解得a= ，此时抛物线解析式为y= (x+16)(x 9)，
即y= x2 x+12
综上所述，抛物线解析式为y= x2+ x+12或y= x2 x+12
【分析】用勾股定理求得AB的长，再用面积法可求得OC的长，则易求得点A、B、C的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式。
16．【答案】y=x2+3x+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵y=﹣x2+3x﹣2，
∴a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
设y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
即﹣1+a2=0，3=b2，﹣2+c2=0，
解得a2=1，b2=3，c2=2，
∴y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=x2+3x+2，
故答案为：y=x2+3x+2．
【分析】由题意可知，“旋转函数”的二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数，根据这个特点即可求解。
17．【答案】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由图知抛物线的顶点为（1，4），且与x轴交于点（-1，0）和（3，0），可设为顶点式y=a求解析式（方法不唯一）。
18．【答案】（1）解：把 、 代入 ，
解得 ．
故抛物线的解析式为
（2）解：
=
，
所以顶点A的坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）可用公式y=a把（1）中求得的解析式配成顶点式即可求解。
19．【答案】（1）解：把点(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋x＋2中，得a＝－1.
∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2＝－ ，其顶点坐标是
（2）解：把点P(t，t)的坐标代入y＝－x2＋x＋2中，
得t＝－t2＋t＋2，解得t1＝ ，t2＝－ .
∴此抛物线上的不动点有两个，即点P1( ， )，P2(－ ，－ )
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求解析式，将解析式配成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）把点P代入（1）中求得解析式即可求解。
20．【答案】（1）解：设y=a（x+1）（x－3），
将A(2，6)代入解析式，得6=a（2+1）（2－3），解得a=－2，
所以抛物线解析式为y=－2（x+1）（x－3）=－2x +4x+6
（2）解：函数解析式化为顶点式y=－2(x－1) +8，
所以，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）根据公式y=a将解析式配成顶点式即可求解。
21．【答案】（1）解：∵它与x轴只有一个交点，
∴△=0，即16a2﹣16a=0，
解得：a=0（舍）或a=1，
所以y=x2+4x+4
（2）解：如图，过C作CD⊥y轴于D，∴∠AOB=∠CDB=90°，∵点B是线段AC的中点，∴AB=CB，在△AOB和△CDB中，∠AOB=∠CDB，∠AB0=∠CBD，AB=CB，∴△AOB≌△CDB（AAS），∵A（﹣2，0），
∴CD=AO=2，
将C的横坐标2代入y=x2+4x+4中得C的纵坐标为16．所以C为（2，16），设AC为y=kx+b，则 ，解得： ，所以y=4x+8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得可求得a的值，则二次函数的解析式可求解；
（2）过C作CD⊥y轴于D，由题意用角角边易证△AOB≌△CDB，所以CD=AO，可求得点C的横坐标，把点C的横坐标代入二次函数的解析式可求得点C的纵坐标，则用待定系数法可求得直线AC的解析式。
22．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为 .∵ ，∴顶点 的坐标为 .（Ⅱ）抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去.∴ .∴抛物线解析式为 .（Ⅲ）由 可知，当 时，无论 取何值， 都等于4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 .∵ ， ，∴ .∴ .∵ ，∴ .∴ .∴ ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 （舍）， .∴ .综上， 或 .故抛物线解析式为 或
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意将A ( 1 ， 0 )代入抛物线的解析式即可求得m的值，把抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点P的坐标；
（Ⅱ）根据公式y=a将抛物线的解析式配成顶点式，可得顶点P（），过点P作PQ⊥x轴于点Q，由题意易得三角形POQ是等腰直角三角形，于是可得PQ=OQ，由此可得关于m的方程，解方程即可求解；
（Ⅲ）由题意求得定点H的坐标为（2，4）；过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G。由题意易证△ADE △HAG，所以可得DE=AG=1，AE=HG=4，则可得点D的坐标为 ( 3 ， 1 ) 或 ( 5 ， 1 )，根据点D的两种情况求解即可。
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2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（6） 同步练习
一、选择题
1．（2018·宁晋模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵F(2，2)，G(4，2)，
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H(3，1)点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为
把E(0，10)代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为
故答案为：C.
【分析】先由点F，G的坐标确定抛物线的对称轴，再结合点H的坐标可知点H为抛物线的顶点，从而可设出抛物线的解析式，所以两点之中必有点H的坐标，即可选得C.
2．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线 向左平移1个单位所得直线解析式为：
，∴ ；
再向下平移3个单位为： ，∴ ．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解。
3．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y= （x﹣2）2+3 B．y= （x﹣2）2﹣3
C．y=﹣ （x﹣2）2+3 D．y=﹣ （x﹣2）2﹣3
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，顶点是（2，3），所以y=﹣ （x﹣2）2+3，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的开口方向向下和顶点坐标即可判断。
4．二次函数的图象经过 三点，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该二次函数的解析式为： ，则由已知条件可得：
，解得： ，
∴该二次函数的解析式为： .
故答案为：D
【分析】将二次函数的解析式设为一般式，再根据待定系数法即可求解。
5．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A．y=x2-1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： A、y=x2-1，先向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位可以得到y=x2+1，故A不符合题意；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4，无法经两次简单变换得到y=x2+1，故B符合题意；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2，先向右平移2个单位得到y=（x+2-2）2=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C不符合题意；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y=（x+4-2）2+1=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将各解析式配成顶点式，再结合简单变换即可判断。
6．（2018·义乌）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故答案为：B．
【分析】根据定弦抛物线的对称轴及定弦抛物线的定义得出抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而利用交点式得出抛物线的解析式，并化为顶点式，再根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后观察四个答案的横坐标都是-3，故将x=-3代入新抛物线的解析式得出对应的函数值，从而得出答案。
7．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）
A．y=﹣2x2+8x+3 B．y=﹣2x 2﹣8x+3
C．y=﹣2x2+8x﹣5 D．y=﹣2x 2﹣8x+2
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设y=a（x﹣2）2+3，抛物线经过点（3，1），所以a+3=1，a=﹣2．
因此抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣2）2+3=﹣2x2+8x﹣5．
故答案为：C．
【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可．
8．（2017·兰州模拟）心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31
C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43
【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30﹣13）2+59.9，
解得：a=﹣0.1，
故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
【分析】利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同，
故设该二次函数的解析为y=-2（x-h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵当x=1时，y有最大值8，
∴该二次函数的顶点为（1，8），
∴h=1，k=8，
∴该二次函数的解析为y=-2（x-1）2+8，
即y=-2x2+4x+6，
故答案为：D．
【分析】根据题意可知，所求的二次函数的顶点坐标为（1，8），a=-2，所以可设顶点式求解。
10．已知二次函数y＝－3x2＋1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝－3x2－1 B．y＝3x2 C．y＝3x2＋1 D．y＝3x2－1
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵二次函数 图象的顶点坐标为（0，1），图象与 轴的交点坐标为 和 ，
∴二次函数 图象沿 轴翻折后的抛物线的顶坐标为（0，-1），与 轴的交点坐标为 和 ，
∴可设新抛物线的表达式为： ，代入点 可得： ，解得 ，
∴翻折后所得抛物线的表达式为： .
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线的顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线沿 x 轴翻折后的顶点坐标的变化特征可知，顶点的纵坐标变为原来的相反数，与 x 轴的交点坐标不变，即可求解。
二、填空题
11．若一个二次函数的二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0，－3）.则这个二次函数的表达式为 ．
【答案】y=﹣x2﹣3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3），
∴抛物线的顶点式为y=-（x－0）2-3，即y=-x2-3；
故答案为：y=-x2-3。
【分析】已知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再由二次项系数为－1，且图象的顶点坐标为（0，－3），可得出函数解析式。
12．抛物线 与直线 交于（1， ），则 = ；抛物线的解析式为
【答案】-1；y=-x2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，m=-1
抛物线y=ax2过（1，-1）
所以a=-1
抛物线的解析式为y=-x2．
故答案为：-1；y=-x2
【分析】根据点（1，m）在直线y=-x上可求得m的值，由题意将点（1， m ）代入抛物线的解析式即可求得a的值。
13．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 ．
【答案】y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y= 2(x h)2+k，
又∵顶点坐标( 1，3)，
∴y= 2(x+1)2+3=-2x2-4x+1，
故答案为：y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1
【分析】由题意可知，两条抛物线的解析式a值相同，然后用顶点式y=a即可求解。
14．如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2－4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 ．
【答案】x2+4x+5
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把y=x2-4x+5中的一次项系数-4变成相反数得到：y=x2+4x+5．
故答案为y=x2+4x+5
【分析】由图和题意知，两条抛物线的解析式只有b值互为相反数，其余的量均不变。
15．若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为 ．
【答案】y=﹣ x2+ x+12或y=﹣ x2﹣ x+12
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，
∴AB= =25，
∵ OC AB= AC BC，
∴OC= =12，
∴OA= =9，
∴OB=25 9=16，
∴抛物线与x轴的交点坐标为( 9，0)、(16，0)或( 16，0)、(9，0)，
当抛物线过点( 9，0)、(16，0)时，设抛物线解析式为y=a(x+9)(x 16)，把C(0，12)代入得a 9 ( 16)=12，解得a= ，此时抛物线解析式为y= (x+9)(x 16)，
即y= x2+ x+12；
当抛物线过点( 16，0)、(9，0)时，设抛物线解析式为y=a(x+16)(x 9)，把C(0，12)代入得a 16 ( 9)=12，解得a= ，此时抛物线解析式为y= (x+16)(x 9)，
即y= x2 x+12
综上所述，抛物线解析式为y= x2+ x+12或y= x2 x+12
【分析】用勾股定理求得AB的长，再用面积法可求得OC的长，则易求得点A、B、C的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式。
16．定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数” ．
【答案】y=x2+3x+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵y=﹣x2+3x﹣2，
∴a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，
设y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
即﹣1+a2=0，3=b2，﹣2+c2=0，
解得a2=1，b2=3，c2=2，
∴y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”为y=x2+3x+2，
故答案为：y=x2+3x+2．
【分析】由题意可知，“旋转函数”的二次项系数互为相反数，一次项系数相等，常数项互为相反数，根据这个特点即可求解。
三、解答题
17．抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)
【答案】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由图知抛物线的顶点为（1，4），且与x轴交于点（-1，0）和（3，0），可设为顶点式y=a求解析式（方法不唯一）。
18．已知：抛物线 经过 、 两点，顶点为A．
求：
（1）抛物线的表达式；
（2）顶点A的坐标．
【答案】（1）解：把 、 代入 ，
解得 ．
故抛物线的解析式为
（2）解：
=
，
所以顶点A的坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）可用公式y=a把（1）中求得的解析式配成顶点式即可求解。
19．已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点(－1，0)．
（1）求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．
（2）若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．
【答案】（1）解：把点(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋x＋2中，得a＝－1.
∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2＝－ ，其顶点坐标是
（2）解：把点P(t，t)的坐标代入y＝－x2＋x＋2中，
得t＝－t2＋t＋2，解得t1＝ ，t2＝－ .
∴此抛物线上的不动点有两个，即点P1( ， )，P2(－ ，－ )
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求解析式，将解析式配成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）把点P代入（1）中求得解析式即可求解。
20．已知抛物线经过三点A(2，6)、B(-1，0)、C(3，0)．
求：
（1）这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）解：设y=a（x+1）（x－3），
将A(2，6)代入解析式，得6=a（2+1）（2－3），解得a=－2，
所以抛物线解析式为y=－2（x+1）（x－3）=－2x +4x+6
（2）解：函数解析式化为顶点式y=－2(x－1) +8，
所以，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）用待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）根据公式y=a将解析式配成顶点式即可求解。
21．如图，抛物线y=ax2+4ax+4与x轴仅有一个公共点，经过点A的直线交该抛物线于点C，交y轴于点B，且点B是线段AC的中点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式．
【答案】（1）解：∵它与x轴只有一个交点，
∴△=0，即16a2﹣16a=0，
解得：a=0（舍）或a=1，
所以y=x2+4x+4
（2）解：如图，过C作CD⊥y轴于D，∴∠AOB=∠CDB=90°，∵点B是线段AC的中点，∴AB=CB，在△AOB和△CDB中，∠AOB=∠CDB，∠AB0=∠CBD，AB=CB，∴△AOB≌△CDB（AAS），∵A（﹣2，0），
∴CD=AO=2，
将C的横坐标2代入y=x2+4x+4中得C的纵坐标为16．所以C为（2，16），设AC为y=kx+b，则 ，解得： ，所以y=4x+8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得可求得a的值，则二次函数的解析式可求解；
（2）过C作CD⊥y轴于D，由题意用角角边易证△AOB≌△CDB，所以CD=AO，可求得点C的横坐标，把点C的横坐标代入二次函数的解析式可求得点C的纵坐标，则用待定系数法可求得直线AC的解析式。
22．在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），顶点为 .
（Ⅰ）当抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式.
【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为 .∵ ，∴顶点 的坐标为 .（Ⅱ）抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去.∴ .∴抛物线解析式为 .（Ⅲ）由 可知，当 时，无论 取何值， 都等于4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 .∵ ， ，∴ .∴ .∵ ，∴ .∴ .∴ ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 （舍）， .∴ .综上， 或 .故抛物线解析式为 或
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意将A ( 1 ， 0 )代入抛物线的解析式即可求得m的值，把抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点P的坐标；
（Ⅱ）根据公式y=a将抛物线的解析式配成顶点式，可得顶点P（），过点P作PQ⊥x轴于点Q，由题意易得三角形POQ是等腰直角三角形，于是可得PQ=OQ，由此可得关于m的方程，解方程即可求解；
（Ⅲ）由题意求得定点H的坐标为（2，4）；过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G。由题意易证△ADE △HAG，所以可得DE=AG=1，AE=HG=4，则可得点D的坐标为 ( 3 ， 1 ) 或 ( 5 ， 1 )，根据点D的两种情况求解即可。
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