2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练
一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练
1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
( 1 )正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵正三边形的每一个内角是60°，正五边形的每一个内角是108°，正六边形的每一个内角为120°，正八边形的每一个内角为135°
∴2个正方形和3个正三角形能够镶嵌；1个正方形和2个正八边形能够镶嵌；
∴不能镶嵌的是正五边形和正六边形
故答案为：B
【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，在一个顶点处各个内角和为360°，就可镶嵌。
2．以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、每个内角都是120°的六边形不一定是正六边形，故A不符合题意；
B、正n边形的对称轴一定有n条，故B不符合题意；
C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故C符合题意；
D、正偶数边的多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．正奇数边的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正n边形的性质，分别对各个选项作出判断，就可得出答案。
3．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，如图
在Rt△AOH中，∠HOA=60°，OH=r3，OA=R
则r3=Rcos60°=。
在Rt△BOM中，∠BOM=45°，OM=r4，OB=R
则r4=Rcos45°=
在Rt△CON中，∠CON=30°，OH=r6，OC=R
则r6=Rcos30°=。
∴r3：r4：r6=：：=
故答案为：A
【分析】经过正n边形的中心作一边的垂线，利用正多边形的性质及解直角三角形，就可求出各个正多边形的边心距，然后求出边心距之比即可。
4．如图，若正方形A 1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，交D1G1于点F，连接OG1
∵正方形A 1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，
∴正方形A 1B1C1D1∽正方形ABCD，OE=OG1
∴
在Rt△OFG1中。∠OG1F=45°
sin∠OG1F=sin45°=
∴
故答案为：B
【分析】连接OE，交D1G1于点F，连接OG1，由正方形A 1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，可证正方形A 1B1C1D1∽正方形ABCD，OE=OG1，再利用解直角三角形求出的值，从而可求得答案。
5．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为 ，则⊙O的半径为 ．
【答案】4
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OD、FO，延长FO交BD于点H
设OB=OD=R，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴△FBD是等边三角形，
∴图中阴影部分的面积等于△FBD的面积
∴△FBD的面积为12
∴∠BFD=60°，
∴∠BOD=2∠BFD=120°，
∴∠DOH=∠BOD=60°，
∴∠ODH=30°.
∵在Rt△ODH中，∠OHD=90°，OD=R，∠ODH=30°，
∴OH=OD=R
∴DH=
∴BD=，FH=R+R=R
∵S△BDF=12，
∴S△BDF=
解之：R=4，R=-4（不符合题意舍去），
故答案为：4
【分析】连接OB、OD、FO，延长FO交BD于点H，构造直角三角形，分别用含R的代数式表示出FH、BD得出，由正六边形ABCDEF内接于⊙O，可得出阴影部分的面积等于等边三角形△FBD的面积，根据三角形的面积公式建立关于R的方程，解方程求出R的值。
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在 上，则∠BEC= ．
【答案】45°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB、OC
∵正方形ABCD内接于⊙O
∴∠BOC=90°，∠BEC=∠BOC
∴∠BEC=45°
故答案为：45°
【分析】连接OC、OB，根据正方形的性质求出∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠BEC的度数。
7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是 度．
【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形的每一个内角等于120°
∴∠A=120°
∵AH⊥AH，AG⊥AG
∴∠AHA=∠AGA=90°
∴∠GAH=360°-90°-90°-120°=60°
故答案为：60°
【分析】利用正六边形的每一个内角等于120°，得出∠A=120°，再由侧面均垂直于底面，求出∠AHA=∠AGA=90°，由四边形的内角和等于360°，可求出答案。
8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．
【答案】cm
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：要使正方形面积最大，则所要截取的正方形为圆内接正四边形.根据题意画出图形，如图所示：
连接OB、OC，过O作OE⊥BC，
∴△OBC是等腰直角三角形
∵OE⊥BC，OB=OC
∴OE=BE=EC，
∵OB=10
∴BE=sin45°×10=
∴BC=2BE=2×5=
故答案为：cm.
【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质求出OE、BE的长再由勾股定理即可求解。
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是 ，图10－3中∠BPN的度数是 。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
【答案】（1）图1：∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴弧BM=弧CN，
∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM，
∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。
∵ABCD是正四边形，
∴∠ABC=90°，
∴∠APN=90°.
同理可得：在图③中，∠BPN=108°；
故答案为：90°，108°
【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。
（2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。
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一、2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.6正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 同步训练
1．下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ）
( 1 )正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)
2．以下说法正确的是（ ）
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，若正方形A 1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为 ，则⊙O的半径为 ．
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在 上，则∠BEC= ．
7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是 度．
8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．
9．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE，、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是 ，图10－3中∠BPN的度数是 。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：∵正三边形的每一个内角是60°，正五边形的每一个内角是108°，正六边形的每一个内角为120°，正八边形的每一个内角为135°
∴2个正方形和3个正三角形能够镶嵌；1个正方形和2个正八边形能够镶嵌；
∴不能镶嵌的是正五边形和正六边形
故答案为：B
【分析】根据多边形镶嵌成平面图形的条件，在一个顶点处各个内角和为360°，就可镶嵌。
2．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：A、每个内角都是120°的六边形不一定是正六边形，故A不符合题意；
B、正n边形的对称轴一定有n条，故B不符合题意；
C、正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数，故C符合题意；
D、正偶数边的多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．正奇数边的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据正n边形的性质，分别对各个选项作出判断，就可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，如图
在Rt△AOH中，∠HOA=60°，OH=r3，OA=R
则r3=Rcos60°=。
在Rt△BOM中，∠BOM=45°，OM=r4，OB=R
则r4=Rcos45°=
在Rt△CON中，∠CON=30°，OH=r6，OC=R
则r6=Rcos30°=。
∴r3：r4：r6=：：=
故答案为：A
【分析】经过正n边形的中心作一边的垂线，利用正多边形的性质及解直角三角形，就可求出各个正多边形的边心距，然后求出边心距之比即可。
4．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，交D1G1于点F，连接OG1
∵正方形A 1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，
∴正方形A 1B1C1D1∽正方形ABCD，OE=OG1
∴
在Rt△OFG1中。∠OG1F=45°
sin∠OG1F=sin45°=
∴
故答案为：B
【分析】连接OE，交D1G1于点F，连接OG1，由正方形A 1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，可证正方形A 1B1C1D1∽正方形ABCD，OE=OG1，再利用解直角三角形求出的值，从而可求得答案。
5．【答案】4
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OD、FO，延长FO交BD于点H
设OB=OD=R，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴△FBD是等边三角形，
∴图中阴影部分的面积等于△FBD的面积
∴△FBD的面积为12
∴∠BFD=60°，
∴∠BOD=2∠BFD=120°，
∴∠DOH=∠BOD=60°，
∴∠ODH=30°.
∵在Rt△ODH中，∠OHD=90°，OD=R，∠ODH=30°，
∴OH=OD=R
∴DH=
∴BD=，FH=R+R=R
∵S△BDF=12，
∴S△BDF=
解之：R=4，R=-4（不符合题意舍去），
故答案为：4
【分析】连接OB、OD、FO，延长FO交BD于点H，构造直角三角形，分别用含R的代数式表示出FH、BD得出，由正六边形ABCDEF内接于⊙O，可得出阴影部分的面积等于等边三角形△FBD的面积，根据三角形的面积公式建立关于R的方程，解方程求出R的值。
6．【答案】45°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB、OC
∵正方形ABCD内接于⊙O
∴∠BOC=90°，∠BEC=∠BOC
∴∠BEC=45°
故答案为：45°
【分析】连接OC、OB，根据正方形的性质求出∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠BEC的度数。
7．【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正六边形的每一个内角等于120°
∴∠A=120°
∵AH⊥AH，AG⊥AG
∴∠AHA=∠AGA=90°
∴∠GAH=360°-90°-90°-120°=60°
故答案为：60°
【分析】利用正六边形的每一个内角等于120°，得出∠A=120°，再由侧面均垂直于底面，求出∠AHA=∠AGA=90°，由四边形的内角和等于360°，可求出答案。
8．【答案】cm
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：要使正方形面积最大，则所要截取的正方形为圆内接正四边形.根据题意画出图形，如图所示：
连接OB、OC，过O作OE⊥BC，
∴△OBC是等腰直角三角形
∵OE⊥BC，OB=OC
∴OE=BE=EC，
∵OB=10
∴BE=sin45°×10=
∴BC=2BE=2×5=
故答案为：cm.
【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质求出OE、BE的长再由勾股定理即可求解。
9．【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
10．【答案】（1）图1：∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
【知识点】圆内接正多边形
【解析】解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴弧BM=弧CN，
∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM，
∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。
∵ABCD是正四边形，
∴∠ABC=90°，
∴∠APN=90°.
同理可得：在图③中，∠BPN=108°；
故答案为：90°，108°
【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。
（2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。
（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。
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