2017-2018学年数学沪科版七年级下册8.3.1平方差公式 同步练习
一、选择题
1．化简：(a+1)2-(a-1)2=（ ）
A．2 B．4 C．4a D．2a2+2
2．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是（ ）
A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2 D．3 x- y2
3．下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是（ ）
A．y-x B．x-y C．x+y D．-x-y
4．计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．2a2+1 D．2a2-1
5．若|x+y-5|+(x-y-3)2=0，则x2-y2的结果是（ ）
A．2 B．8 C．15 D．无法确定
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B．a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C．4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D．-x2-y2=(x-y)(x+y)
7．计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是（ ）
A．a8-b8 B．a6-b6 C．b8-a8 D．b6-a6
8．如图，阴影部分是边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式有（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①② D．①②③
二、填空题
9．如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2-y2的值是
10．（a+1）(a-1)(1-a2)=
11．(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．
12．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=
13．观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)= ；22012+22011+…+22+2+1= ．
14．一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数．
从0开始第7个智慧数是 ；不大于200的智慧数共有 ．
三、计算题
15．先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-( a+b)(a-b)，其中a＝ ，b＝-1．
16．化简
（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
17．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2.
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗 为什么
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
（3）两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗 为什么
19．老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…
（1）请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可.
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (3x-y2)=（-y2+3x）
则（-y2+3x）（-y2-3x）= y4-9 x2，为A
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，得到代数式M的值.
3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，求出代数式.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故答案为：A
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，求出代数式的值.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由|x+y-5|+（x-y-3）2=0，得
x+y-5=0，x-y-3=0，
即x+y=5，x-y=3，
故x2-y2=（x+y）（x-y）=5×3=15．
故答案为：C
【分析】根据绝对值和平方的非负性，求出x+y、x-y的值，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，求出代数式的值.
6．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2，不是两数积的形式的形式，不符合因式分解特点，故此选项不符合题意；
B、原式应该为：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此选项不符合题意；
C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此选项符合题意；
D、原式应该为：2xy-x2-y2=-（x-y）2，故此选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可.
7．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a4+b4）（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故答案为：C
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，逐步计算即可.
8．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），故可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b）（a-b）．可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积= （2b+2a） （a-b）=（a+b）（a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b） （a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式．
综上：①②③④都可以验证.
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，逐项判定即可.
9．【答案】-32
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为x+y=-4，x-y=8，
所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)×8=-32.故答案：-32
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，求出代数式的值.
10．【答案】-a4+2a2-1
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)和完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2计算即可.
11．【答案】z-x+y
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（x-y+z）[z-（x-y）]=z2-（x-y）2，
∴要填入的是z-x+y．
故答案为：z-x+y
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，a同号，b异号；把（x-y）看做整体，得到代数式.
12．【答案】24
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：x2-y2=（x+y）（x-y）=48，
∵x+y=6，∴x-y=8，
则3x-3y=3（x-y）=3×8=24
【分析】根据因式分解中的平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，x2-y2=（x+y）（x-y），求出x-y的值，得到代数式的值.
13．【答案】a5-1；22013-1
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1；
22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1
【分析】根据给出各式的规律计算，得到（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1；求出式子的值.
14．【答案】8；151
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02-02=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（ 2 ）∵200÷4=50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．
故答案为：151．
【分析】根据题意先找到智慧数的分布规律，由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数，所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，得到从0开始第7个智慧数是8.
15．【答案】解：(a2b-2 ab2- b3)÷b-( a+ b)·(a- b)= a2-2ab- b2-( a2- b2)= a2-2 ab- b2=-2 ab.当a= ，b=-l时，原式＝1
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则先算乘除，再算加减，如果有括号先算括号里面的；化简整式，再把a、b的值代入，得到代数式的值.
16．【答案】（1）解：原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)·…·(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)·…·(x16- y16)＝…＝x32- y32
（2）解：原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)
＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)
= (232-1)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2，逐步计算，得到结果；（2）把原式乘以（22-1），再除以（22-1），得到平方差公式的形式，计算出结果.
17．【答案】（1）解：图1中阴影部分面积为S1=a2-b2；图2中阴影部分面积为S2= (2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)
（2）解：(a+b)(a-b)=a2-b2
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据正方形和梯形的面积公式，得到图1中阴影部分面积为S1=a2-b2；图2中阴影部分面积为S2= (2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)；（2）根据两图形的面积相等，得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.
18．【答案】（1）解：找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数
（2）解：(2k+2) 2-(2 k) 2＝4(2k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数
（3）解：由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据规律得到28=4×7＝82-62，2012=4×503＝5042-5022，得到28和2012这两个数是神秘数；
（2）由(2k+2) 2-(2k) 2＝(2k+2+2k)（2k+2-2k）=4(2k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数；两个连续奇数的平方差是8的倍数，因此这两个连续奇数的平方差不是神秘数．
19．【答案】（1）解：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
（2）解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据规律得到任意两个奇数的平方差等于8的倍数；两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，得到任意两个奇数的平方差是8的倍数.
1 / 12017-2018学年数学沪科版七年级下册8.3.1平方差公式 同步练习
一、选择题
1．化简：(a+1)2-(a-1)2=（ ）
A．2 B．4 C．4a D．2a2+2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可.
2．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是（ ）
A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2 D．3 x- y2
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (3x-y2)=（-y2+3x）
则（-y2+3x）（-y2-3x）= y4-9 x2，为A
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，得到代数式M的值.
3．下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是（ ）
A．y-x B．x-y C．x+y D．-x-y
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，求出代数式.
4．计算：a2-(a+1)(a-1)的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．2a2+1 D．2a2-1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：a2-（a+1）（a-1）=a2-（a2-1）=a2-a2+1=1．故答案为：A
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，求出代数式的值.
5．若|x+y-5|+(x-y-3)2=0，则x2-y2的结果是（ ）
A．2 B．8 C．15 D．无法确定
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由|x+y-5|+（x-y-3）2=0，得
x+y-5=0，x-y-3=0，
即x+y=5，x-y=3，
故x2-y2=（x+y）（x-y）=5×3=15．
故答案为：C
【分析】根据绝对值和平方的非负性，求出x+y、x-y的值，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，求出代数式的值.
6．下列因式分解正确的是（ ）
A．(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B．a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C．4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D．-x2-y2=(x-y)(x+y)
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2，不是两数积的形式的形式，不符合因式分解特点，故此选项不符合题意；
B、原式应该为：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此选项不符合题意；
C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此选项符合题意；
D、原式应该为：2xy-x2-y2=-（x-y）2，故此选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可.
7．计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是（ ）
A．a8-b8 B．a6-b6 C．b8-a8 D．b6-a6
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a4+b4）（a2+b2）（b-a）（a+b）=（a4+b4）（a2+b2）（b2-a2）
=（a4+b4）（b4-a4）=b8-a8．故答案为：C
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，逐步计算即可.
8．如图，阴影部分是边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式有（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①② D．①②③
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），故可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b）（a-b）．可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积= （2b+2a） （a-b）=（a+b）（a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2-b2，右边阴影部分面积=（a+b） （a-b），可得：a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式．
综上：①②③④都可以验证.
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，逐项判定即可.
二、填空题
9．如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2-y2的值是
【答案】-32
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：因为x+y=-4，x-y=8，
所以x2-y2=(x+y)(x-y)=(-4)×8=-32.故答案：-32
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，求出代数式的值.
10．（a+1）(a-1)(1-a2)=
【答案】-a4+2a2-1
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+1）（a-1）（1-a2）=（ a2-1）（1-a2）=-a4+2a2-1
【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)和完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2计算即可.
11．(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．
【答案】z-x+y
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（x-y+z）[z-（x-y）]=z2-（x-y）2，
∴要填入的是z-x+y．
故答案为：z-x+y
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，a同号，b异号；把（x-y）看做整体，得到代数式.
12．若x2-y2=48，x+y=6，则3x-3y=
【答案】24
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：x2-y2=（x+y）（x-y）=48，
∵x+y=6，∴x-y=8，
则3x-3y=3（x-y）=3×8=24
【分析】根据因式分解中的平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，x2-y2=（x+y）（x-y），求出x-y的值，得到代数式的值.
13．观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)= ；22012+22011+…+22+2+1= ．
【答案】a5-1；22013-1
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1；
22012+22011+…+22+2+1=1×（22012+22011+…+22+2+1）=（2-1）（22012+22011+…+22+2+1）=22013-1
【分析】根据给出各式的规律计算，得到（a-1）（a4+a3+a2+a+1）=a5-1；求出式子的值.
14．一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数．
从0开始第7个智慧数是 ；不大于200的智慧数共有 ．
【答案】8；151
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02-02=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（ 2 ）∵200÷4=50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．
故答案为：151．
【分析】根据题意先找到智慧数的分布规律，由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数，所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，得到从0开始第7个智慧数是8.
三、计算题
15．先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-( a+b)(a-b)，其中a＝ ，b＝-1．
【答案】解：(a2b-2 ab2- b3)÷b-( a+ b)·(a- b)= a2-2ab- b2-( a2- b2)= a2-2 ab- b2=-2 ab.当a= ，b=-l时，原式＝1
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的混合运算法则先算乘除，再算加减，如果有括号先算括号里面的；化简整式，再把a、b的值代入，得到代数式的值.
16．化简
（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
【答案】（1）解：原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)·…·(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)·…·(x16- y16)＝…＝x32- y32
（2）解：原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)
＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)
= (232-1)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2，逐步计算，得到结果；（2）把原式乘以（22-1），再除以（22-1），得到平方差公式的形式，计算出结果.
17．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2.
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.
【答案】（1）解：图1中阴影部分面积为S1=a2-b2；图2中阴影部分面积为S2= (2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)
（2）解：(a+b)(a-b)=a2-b2
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据正方形和梯形的面积公式，得到图1中阴影部分面积为S1=a2-b2；图2中阴影部分面积为S2= (2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)；（2）根据两图形的面积相等，得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗 为什么
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
（3）两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗 为什么
【答案】（1）解：找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数
（2）解：(2k+2) 2-(2 k) 2＝4(2k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数
（3）解：由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据规律得到28=4×7＝82-62，2012=4×503＝5042-5022，得到28和2012这两个数是神秘数；
（2）由(2k+2) 2-(2k) 2＝(2k+2+2k)（2k+2-2k）=4(2k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数；两个连续奇数的平方差是8的倍数，因此这两个连续奇数的平方差不是神秘数．
19．老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22，…
（1）请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
【答案】（1）解：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
（2）解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，∴4(m－n)(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据规律得到任意两个奇数的平方差等于8的倍数；两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，得到任意两个奇数的平方差是8的倍数.
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