2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解 单元测试
一、选择题
1．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
C．（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3 D．x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）
2．多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
3．（2017八上·天津期末）下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（ ）
A．y2﹣2xy﹣3x2 B．（y+1）2﹣（y﹣1）2
C．（y+1）2﹣（y2﹣1） D．（y+1）2+2（y+1）+1
4．（2016七上·防城港期中）下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4 D．3y2﹣2y2=y2
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
6．（2018八下·深圳期中）边长为a、b的长方形周长为12，面积为10，则 的值为（ ）
A．120 B．60 C．80 D．40
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2 B．x2+1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1
8．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
9．把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
10．（2017·古冶模拟）下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（ ）
A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1
11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（ ）
A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2
C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）
12．（2017八上·扶沟期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
二、填空题
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 ．
14．分解因式：ax2﹣2axy+ay2= ．
15．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 ．
16．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（ 1 ）二次项系数2=1×2；
（ 2 ）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5
（ 3 ）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= ．
三、解答题
17．分解因式：（x+1）3﹣4（x+1）
18．在实数范围内分解因式：9a2﹣5．
19．已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
20．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
21．先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）这种分解因式的方法称为分组分组法．请用分组分解法分解因式a2﹣b2+a2b﹣ab2．
22．（2017八上·顺庆期末）仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16
（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
24．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，故C次错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
2．【答案】B
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】解：a2﹣9=（a﹣3）（a+3），
a2﹣3a=a（a﹣3），
故多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是：a﹣3，
故选：B．
【分析】根据平方差公式分解a2﹣9，再根据提公因式法分解a2﹣3a，即可找到两个多项式的公因式．
3．【答案】C
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、y2﹣2xy﹣3x2=（y﹣3x）（y+x），故不含因式（y+1）．
B、（y+1）2﹣（y﹣1）2=[（y+1）﹣（y﹣1）][（y+1）+（y﹣1）]=4y，故不含因式（y+1）．
C、（y+1）2﹣（y2﹣1）=（y+1）2﹣（y+1）（y﹣1）=2（y+1），故含因式（y+1）．
D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2）2，故不含因式（y+1）．
故选C．
【分析】应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断．
4．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3ab+3ac=3a（b+c）；
B、4a2b﹣4b2a=4ab（a﹣b）；
C、2x2+7x2=9x2；
D、正确．
故选D．
【分析】根据同类项的定义和合并同类项法则．
5．【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4
=0﹣4
=﹣4．
故答案为：D．
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，可得出a+b=0，再将已知代数式转化为a（a+b）﹣4，然后整体代入求值即可。
6．【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵边长为a、b的长方形周长为12，面积为10，
∴2（a+b）=12，ab=10
∴a+b=6
∴a2b+ab2 =ab（a+b）=10×6=60
【分析】根据已知求出a+b、ab的值，再将a2b+ab2 分解因式，然后整体代入求值即可。
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
x2﹣4x+4=（x﹣2）2
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2，对各选项逐一判断，可得出正确答案。
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4=（x+2）2，
则m=4．
故答案为：A．
【分析】由题意可知：x2+4x+m=（x+2）2，将右边的括号展开，就可得出m的值。
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3
∴c=3
故答案为：A．
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将等式的右边去括号，合并同类项，就可得出c的值。
10．【答案】B
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、a﹣1不能分解，不符合题意；
B、原式=（a+1）（a﹣1），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选B
【分析】利用因式分解的方法判断即可．
11．【答案】B
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式的特点，这个多项式含有-2ab，因此将a2、﹣2ab、b2这三项分为一组，即（a2﹣2ab+b2）﹣c2即可。
12．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原式=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）
由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华”
故选（C）
【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．
13．【答案】8ab
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab，
故答案为：8ab．
【分析】观察已知多项式，可知此多项式的两项中都含有8ab，即可得出答案。
14．【答案】：a（x﹣y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2﹣2axy+ay2，
=a（x2﹣2xy+y2），
=a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【分析】观察此多项式的特点：含有三项，三项中都含有公因式a，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式。
15．【答案】a2+2ab+b2=（a+b）2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：首先用分割法来计算，即a2+2ab+b2；再用整体计算即为（a+b）2．
因此a2+2ab+b2=（a+b）2．
【分析】观察图形可知：这个图形是边长为（a+b）的正方形，而这个正方形的面积等于边长为a和边长为b的正方形的面积之和再加上边长为a、b的两个长方形的面积之和，列式即可。
16．【答案】（x+3）（3x﹣4）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
【分析】根据十字相乘法将此多项式的二次项系数分解为3×1，常数项分解为3×（-4），即可得出答案。
17．【答案】解：（x+1）3﹣4（x+1）
=（x+1）[（x+1）2﹣4]
=（x+1）（x+1+2）（x+1﹣2）
=（x+1）（x+3）（x﹣1）．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】观察此多项式，含有公因式（x+1）因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，即可得出答案。
18．【答案】解：原式=（3a+）（3a﹣）．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】根据平方差公式，可得答案．
19．【答案】解：多项式A、B、C有公因式．
∵A=3x2﹣12=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），
B=5x2y3+10xy3=5xy3（x+2），
C=（x+1）（x+3）+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】将多项式A提取公因式，再利用平方差公式分解因式，再将多项式B提取公因式，将多项式C先去括号进行整理，再利用完全平方公式分解因式，然后观察即可得出三个多项式中的公因式。
20．【答案】（1）解：当x+y=6、xy=4时，
原式=xy（x+y）=4×6=24
（2）解：当x+y=6、xy=4时，
原式=（x+y）2﹣2xy
=62﹣2×4
=36﹣8
=28．
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法将原式转化为xy（x+y）,再整体代入求值。
（2）利用配方法将原式转化为（x+y）2﹣2xy，再整体代入求值。
21．【答案】解：原式=（a2﹣b2）+（a2b﹣ab2）
=（a+b）（a﹣b）+ab（a﹣b）
=（a﹣b）（a+b+ab）
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】观察已知多项式的特点，含有a2﹣b2，因此可将此多项式分组为二二型，即 （a2﹣b2）+（a2b﹣ab2），再利用平方差公式及提取公因式进行分解即可。
22．【答案】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），
则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，
∴ ，
解得：n=2，m=2，
∴另一个因式为（x+2），m的值为2
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】首先设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），继而可得方程组 ，解此方程即可求得答案．
23．【答案】（1）C
（2）否；（x﹣2）4（3）
（3）解：（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，
原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4
【分析】（1）观察第二步：有三项，符合完全平方公式的结构特点，即可得出答案。
（2）观察最后一步为（x2﹣4x+4）2，括号里的 x2﹣4x+4，符合完全平方公式的结构特点，还可以利用完全平方公式分解因式。
（3）将x2-2x看着整体，先去括号里可得到（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1，再利用完全平方公式分解，得到（x2﹣2x+1）2，而 x2﹣2x+1还可以利用完全平方公式分解，就可得出结果。
24．【答案】（1）
（2）解：依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为
故答案为：
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据已知图形，根据长方形的面积公式可将已知代数式分解因式。
（2）根据每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，可求出mn及 m2+n2 的值 进而求出m+n的值，然后求出 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解 单元测试
一、选择题
1．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
C．（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3 D．x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，故C次错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
2．多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
【答案】B
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】解：a2﹣9=（a﹣3）（a+3），
a2﹣3a=a（a﹣3），
故多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是：a﹣3，
故选：B．
【分析】根据平方差公式分解a2﹣9，再根据提公因式法分解a2﹣3a，即可找到两个多项式的公因式．
3．（2017八上·天津期末）下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（ ）
A．y2﹣2xy﹣3x2 B．（y+1）2﹣（y﹣1）2
C．（y+1）2﹣（y2﹣1） D．（y+1）2+2（y+1）+1
【答案】C
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：A、y2﹣2xy﹣3x2=（y﹣3x）（y+x），故不含因式（y+1）．
B、（y+1）2﹣（y﹣1）2=[（y+1）﹣（y﹣1）][（y+1）+（y﹣1）]=4y，故不含因式（y+1）．
C、（y+1）2﹣（y2﹣1）=（y+1）2﹣（y+1）（y﹣1）=2（y+1），故含因式（y+1）．
D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2）2，故不含因式（y+1）．
故选C．
【分析】应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断．
4．（2016七上·防城港期中）下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4 D．3y2﹣2y2=y2
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3ab+3ac=3a（b+c）；
B、4a2b﹣4b2a=4ab（a﹣b）；
C、2x2+7x2=9x2；
D、正确．
故选D．
【分析】根据同类项的定义和合并同类项法则．
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4
=0﹣4
=﹣4．
故答案为：D．
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，可得出a+b=0，再将已知代数式转化为a（a+b）﹣4，然后整体代入求值即可。
6．（2018八下·深圳期中）边长为a、b的长方形周长为12，面积为10，则 的值为（ ）
A．120 B．60 C．80 D．40
【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵边长为a、b的长方形周长为12，面积为10，
∴2（a+b）=12，ab=10
∴a+b=6
∴a2b+ab2 =ab（a+b）=10×6=60
【分析】根据已知求出a+b、ab的值，再将a2b+ab2 分解因式，然后整体代入求值即可。
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2 B．x2+1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
x2﹣4x+4=（x﹣2）2
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2，对各选项逐一判断，可得出正确答案。
8．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4=（x+2）2，
则m=4．
故答案为：A．
【分析】由题意可知：x2+4x+m=（x+2）2，将右边的括号展开，就可得出m的值。
9．把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3
∴c=3
故答案为：A．
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，将等式的右边去括号，合并同类项，就可得出c的值。
10．（2017·古冶模拟）下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（ ）
A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1
【答案】B
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、a﹣1不能分解，不符合题意；
B、原式=（a+1）（a﹣1），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选B
【分析】利用因式分解的方法判断即可．
11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（ ）
A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2
C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）
【答案】B
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式的特点，这个多项式含有-2ab，因此将a2、﹣2ab、b2这三项分为一组，即（a2﹣2ab+b2）﹣c2即可。
12．（2017八上·扶沟期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原式=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）
由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华”
故选（C）
【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．
二、填空题
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 ．
【答案】8ab
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab，
故答案为：8ab．
【分析】观察已知多项式，可知此多项式的两项中都含有8ab，即可得出答案。
14．分解因式：ax2﹣2axy+ay2= ．
【答案】：a（x﹣y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2﹣2axy+ay2，
=a（x2﹣2xy+y2），
=a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【分析】观察此多项式的特点：含有三项，三项中都含有公因式a，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式。
15．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 ．
【答案】a2+2ab+b2=（a+b）2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：首先用分割法来计算，即a2+2ab+b2；再用整体计算即为（a+b）2．
因此a2+2ab+b2=（a+b）2．
【分析】观察图形可知：这个图形是边长为（a+b）的正方形，而这个正方形的面积等于边长为a和边长为b的正方形的面积之和再加上边长为a、b的两个长方形的面积之和，列式即可。
16．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（ 1 ）二次项系数2=1×2；
（ 2 ）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5
（ 3 ）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= ．
【答案】（x+3）（3x﹣4）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
【分析】根据十字相乘法将此多项式的二次项系数分解为3×1，常数项分解为3×（-4），即可得出答案。
三、解答题
17．分解因式：（x+1）3﹣4（x+1）
【答案】解：（x+1）3﹣4（x+1）
=（x+1）[（x+1）2﹣4]
=（x+1）（x+1+2）（x+1﹣2）
=（x+1）（x+3）（x﹣1）．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】观察此多项式，含有公因式（x+1）因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，即可得出答案。
18．在实数范围内分解因式：9a2﹣5．
【答案】解：原式=（3a+）（3a﹣）．
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【分析】根据平方差公式，可得答案．
19．已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【答案】解：多项式A、B、C有公因式．
∵A=3x2﹣12=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），
B=5x2y3+10xy3=5xy3（x+2），
C=（x+1）（x+3）+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】将多项式A提取公因式，再利用平方差公式分解因式，再将多项式B提取公因式，将多项式C先去括号进行整理，再利用完全平方公式分解因式，然后观察即可得出三个多项式中的公因式。
20．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
【答案】（1）解：当x+y=6、xy=4时，
原式=xy（x+y）=4×6=24
（2）解：当x+y=6、xy=4时，
原式=（x+y）2﹣2xy
=62﹣2×4
=36﹣8
=28．
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法将原式转化为xy（x+y）,再整体代入求值。
（2）利用配方法将原式转化为（x+y）2﹣2xy，再整体代入求值。
21．先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）这种分解因式的方法称为分组分组法．请用分组分解法分解因式a2﹣b2+a2b﹣ab2．
【答案】解：原式=（a2﹣b2）+（a2b﹣ab2）
=（a+b）（a﹣b）+ab（a﹣b）
=（a﹣b）（a+b+ab）
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】观察已知多项式的特点，含有a2﹣b2，因此可将此多项式分组为二二型，即 （a2﹣b2）+（a2b﹣ab2），再利用平方差公式及提取公因式进行分解即可。
22．（2017八上·顺庆期末）仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），
则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，
∴ ，
解得：n=2，m=2，
∴另一个因式为（x+2），m的值为2
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】首先设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），继而可得方程组 ，解此方程即可求得答案．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16
（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；（x﹣2）4（3）
（3）解：（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，
原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4
【分析】（1）观察第二步：有三项，符合完全平方公式的结构特点，即可得出答案。
（2）观察最后一步为（x2﹣4x+4）2，括号里的 x2﹣4x+4，符合完全平方公式的结构特点，还可以利用完全平方公式分解因式。
（3）将x2-2x看着整体，先去括号里可得到（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1，再利用完全平方公式分解，得到（x2﹣2x+1）2，而 x2﹣2x+1还可以利用完全平方公式分解，就可得出结果。
24．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
【答案】（1）
（2）解：依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为
故答案为：
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据已知图形，根据长方形的面积公式可将已知代数式分解因式。
（2）根据每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，可求出mn及 m2+n2 的值 进而求出m+n的值，然后求出 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和。
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