算法案例（第一课时）
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算法案例
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
2. 思考：
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
1、求两个正整数的最大公约数
（1）求25和35的最大公约数
（2）求18和30的最大公约数
25
（1）
5
5
35
7
18
（2）
2
9
30
15
所以，25和35的最大公约数为5
所以，18和30的最大公约数为6
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？
算出8256和6105的最大公约数.
3
3
5
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，反之也成立。求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的最大公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
输出m
1、辗转相除法（欧几里得算法）
（1）算理：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n, n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
r=0
是
否
n=r
输出m
结束
INPUT “m,n=“;m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
《九章算术》——更相减损术
算理：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个数或这个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数。
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63=35
63－35 =28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
练习：
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4
你能根据“更相减损术”设计程序,求两个正整数的最大公约数吗
思考
例3、求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
小结
算法案例
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
2. 思考：
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
1、求两个正整数的最大公约数
（1）求25和35的最大公约数
（2）求18和30的最大公约数
25
（1）
5
5
35
7
18
（2）
2
9
30
15
所以，25和35的最大公约数为5
所以，18和30的最大公约数为6
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？
算出8256和6105的最大公约数.
3
3
5
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，反之也成立。求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的最大公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
输出m
1、辗转相除法（欧几里得算法）
（1）算理：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n, n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
r=0
是
否
n=r
输出m
结束
INPUT “m,n=“;m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
《九章算术》——更相减损术
算理：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个数或这个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数。
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63=35
63－35 =28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
练习：
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4
你能根据“更相减损术”设计程序,求两个正整数的最大公约数吗
思考
例3、求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
小结