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2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系 同步训练
一、选择题
1．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
2．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
3．（2018九上·天河期末）下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A．x +x+2=0 B．x +x-2=0 C．x -x+2=0 D．x -x-2=0
4．如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
5．在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m的值是（ ）
A．4 B．-1 C．4或-1 D．-4或1
6．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
7．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（ ）=（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
8．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 ．
10．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
11．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是 ．
12．（2017九上·三明期末）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=
13．（2017·昆山模拟）关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．
14．通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1 x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为 ．
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根.
16．已知关于x的方程（ 的两根之和为 ，
两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△ABC的形状．
17．关于x的一元二次方程 有两个不等实根
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根 满足 ，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
19．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
（1）x12＋x22；
（2） ；
（3）x12＋x22－3x1x2.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
21．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为 ，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得-1+ =-3，
解得： =-2．
故选A．
分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017=0的根，
∴a2+a﹣2017=0，
∴a2=﹣a+2017，
∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b，
∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=2017﹣1=2016．
故选C．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2017，则a2+2a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；
B．两根之和=－1，故不符合题意；
C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；
D．两根之和=1，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。（1）△=1－4×1×2=－7＜0，则方程无实数根；
（2）两根之和=－1；（3）△=1－4×1×2=－7＜0，则方程无实数根；（4）△=1－4×1×（-2）=90，且两根之和=1。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】解答：根据题意可得
x1+x2= =3，
故选B．
分析: 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如图．设BC=a，AC=b．
根据题意得a+b=2m-1，ab=4（m-1）．
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m-1）2-8（m-1）=4m2-12m+9=25，
∴4m2-12m-16=0，
即m2-3m-4=0，
解之得m1=-1，m2=4．
∵a+b=2m-1＞0，
即m＞ ，
∴m=4．
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b和ab，利用勾股定理可得出a2+b2=25，再将方程左边转化为（a+b）2-2ab，然后整体代入建立关于m的方程，解方程求出m的值，再由a+b＞0，确定m的值。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和mn，再将代数式转化为mn+2（m+n）+4，整体代入，可得出（t+1）2+7，然后由b2-4ac≥0，求出t的取值范围，就可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴ ，
∴则m2（ ）= = =﹣4．
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式的括号里的分式通分，然后整体代入求值。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据根与系数的关系，关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根积为2n，而两个整数根且乘积为正，得n＞0，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根和为-2n且两根是同号，故关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根都是负数.同理关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根也都是负数.故①正确. ∵两根方程都有两个整数根∴△≥0即4m2-8n≥0 4n2-8m≥0 的m2-2n≥0，n2-2m≥0 ∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m +1+n2-2n+1=m2-2n+1+ n2-2m+1≥2 故②正确. 设x1、x2是方程x2+2mx+2n=0的两根，根据根与系数的关系得x1+x2=-2m，x1x2=2n∵方程的两个根都是负数且为整数，∴x1≤-1， x2≤-1 （x1+1）（x2+1）≥0 得x1x2+ x1+x2+1≥0 ，2n-2m+1≥0 2m-2n≤1 同理设y1、y2是方程y2+2ny+2m=0的两根， 得y1y2+ y1+y2+1≥0 2m-2n+1≥0 2m-2n≥-1故③正确
故答案为：D.
【分析】根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数，可对①作出判断；根据根的判别式，以及题意可以得出m2-2n≥0以及n2-2m≥0，进而得解，可对②作出判断；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解。
9．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=2，
故答案为：2
【分析】设方程的另一个根为a，利用方程的两根之和建立关于k的方程，解方程求出k的值。
10．【答案】-
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=- ．m+n=-2
∴ = = =-
【分析】根据题意可把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，求出mn和m+n的值，再将通分转化为，然后整体代入求值。
11．【答案】15
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15，
故答案为：15
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将x12x2+x1x22分解因式得出x1x2（x1+x2），然后整体代入求值。
12．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
13．【答案】m＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得： ，即
解得：m＞ ．
故答案为：m＞ ．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
14．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2 或k≥2+2 ，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再利用根与系数的关系求出x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，将x12+x22=1转化为（x1+x2）2﹣x1x2=1，然后代入建立关于k的方程，求出方程的解，结合k的取值范围，得出k的值。
15．【答案】解：把x＝－1代入方程，得 1－1＋m2-2m＝0.解得m1＝0，m2＝2.设方程的另一个根为x2，则由一元二次方程根与系数的关系可得 －1＋x2＝－1.∴x2＝0.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】将x=-1代入方程求出m的值，再将m的值代入方程，解方程可求解。或利用一元二次方程根与系数的关系，建立方程组，即可解答。
16．【答案】（1）解：设方程的两根为 ，
则
解得
（2）解：当 时， ，
所以c=a.
当x=-1时，
即a+c-2b-c+a=0
所以a=b.
所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意列出关于 x 1 ， x 2的方程组，解方程组，就可求出方程的两根。
（2）分别将x=0和x=-1代入方程，得出a=b，a=c，就可得出a、b、c的关系，可得出结论。
17．【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，
解得：k＞ ；
（2）解：∵k＞ ，∴x1+x2=-（2k+1）＜0，
又∵x1 x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，
∵|x1|+|x2|=x1 x2，
∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞ ，∴k=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据原方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1 x2的值，再根据（1）中k的取值范围确定x1+x2＜0，x1 x2＞0，从而可得出x1＜0，x2＜0，再化简|x1|+|x2|=-（x1+x2）=x1 x2，然后整体代入建立关于k的方程，利用因式分解法求出符合条件的k的值。
18．【答案】（1）解：原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将原方程转化为一元二次方程的一般形式，再证明△＞0，即可解答。
（2）根据方程有整数解，可得出4- p2为整数，可得出k的值。
19．【答案】（1）解：由题意得：x1＋x2＝ ，x1·x2＝- ；
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝( )2-2×（- ）＝
（2）解： = ＝ =-
（3）解：x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=( )2-5×（- ）=
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出x1＋x2和x1·x2的值
（1）将原式配方转化为(x1＋x2)2－2x1·x2，再代入求值。
（2）将原式通分转化为，再代入求值。
（3）将原式配方转化为（x1+x2）2-5x1x2，再代入求值。
20．【答案】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2
（2）解：∵x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=6x1 x2，即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m= ＜2，
∴符合条件的m的值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程由两个实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，可得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2，再根据x12+x22=6x1x2建立关于m的方程，然后求出符合条件的m的值。
21．【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出分式方程①的解，再由再由此方程的根为非负数及x≠1，求出k的取值范围；再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△>.0，得出m>0或m≤，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
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2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系 同步训练
一、选择题
1．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为 ，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得-1+ =-3，
解得： =-2．
故选A．
分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根
2．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017=0的根，
∴a2+a﹣2017=0，
∴a2=﹣a+2017，
∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b，
∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=2017﹣1=2016．
故选C．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2017，则a2+2a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．
3．（2018九上·天河期末）下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（ ）
A．x +x+2=0 B．x +x-2=0 C．x -x+2=0 D．x -x-2=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；
B．两根之和=－1，故不符合题意；
C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；
D．两根之和=1，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。（1）△=1－4×1×2=－7＜0，则方程无实数根；
（2）两根之和=－1；（3）△=1－4×1×2=－7＜0，则方程无实数根；（4）△=1－4×1×（-2）=90，且两根之和=1。
4．如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】解答：根据题意可得
x1+x2= =3，
故选B．
分析: 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式
5．在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m的值是（ ）
A．4 B．-1 C．4或-1 D．-4或1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如图．设BC=a，AC=b．
根据题意得a+b=2m-1，ab=4（m-1）．
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m-1）2-8（m-1）=4m2-12m+9=25，
∴4m2-12m-16=0，
即m2-3m-4=0，
解之得m1=-1，m2=4．
∵a+b=2m-1＞0，
即m＞ ，
∴m=4．
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b和ab，利用勾股定理可得出a2+b2=25，再将方程左边转化为（a+b）2-2ab，然后整体代入建立关于m的方程，解方程求出m的值，再由a+b＞0，确定m的值。
6．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和mn，再将代数式转化为mn+2（m+n）+4，整体代入，可得出（t+1）2+7，然后由b2-4ac≥0，求出t的取值范围，就可得出答案。
7．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（ ）=（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴ ，
∴则m2（ ）= = =﹣4．
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将代数式的括号里的分式通分，然后整体代入求值。
8．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据根与系数的关系，关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根积为2n，而两个整数根且乘积为正，得n＞0，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根和为-2n且两根是同号，故关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根都是负数.同理关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根也都是负数.故①正确. ∵两根方程都有两个整数根∴△≥0即4m2-8n≥0 4n2-8m≥0 的m2-2n≥0，n2-2m≥0 ∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m +1+n2-2n+1=m2-2n+1+ n2-2m+1≥2 故②正确. 设x1、x2是方程x2+2mx+2n=0的两根，根据根与系数的关系得x1+x2=-2m，x1x2=2n∵方程的两个根都是负数且为整数，∴x1≤-1， x2≤-1 （x1+1）（x2+1）≥0 得x1x2+ x1+x2+1≥0 ，2n-2m+1≥0 2m-2n≤1 同理设y1、y2是方程y2+2ny+2m=0的两根， 得y1y2+ y1+y2+1≥0 2m-2n+1≥0 2m-2n≥-1故③正确
故答案为：D.
【分析】根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数，可对①作出判断；根据根的判别式，以及题意可以得出m2-2n≥0以及n2-2m≥0，进而得解，可对②作出判断；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解。
二、填空题
9．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=2，
故答案为：2
【分析】设方程的另一个根为a，利用方程的两根之和建立关于k的方程，解方程求出k的值。
10．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
【答案】-
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=- ．m+n=-2
∴ = = =-
【分析】根据题意可把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，求出mn和m+n的值，再将通分转化为，然后整体代入求值。
11．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是 ．
【答案】15
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15，
故答案为：15
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再将x12x2+x1x22分解因式得出x1x2（x1+x2），然后整体代入求值。
12．（2017九上·三明期末）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
13．（2017·昆山模拟）关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m＞
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得： ，即
解得：m＞ ．
故答案为：m＞ ．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
14．通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1 x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2 或k≥2+2 ，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再利用根与系数的关系求出x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，将x12+x22=1转化为（x1+x2）2﹣x1x2=1，然后代入建立关于k的方程，求出方程的解，结合k的取值范围，得出k的值。
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根.
【答案】解：把x＝－1代入方程，得 1－1＋m2-2m＝0.解得m1＝0，m2＝2.设方程的另一个根为x2，则由一元二次方程根与系数的关系可得 －1＋x2＝－1.∴x2＝0.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】将x=-1代入方程求出m的值，再将m的值代入方程，解方程可求解。或利用一元二次方程根与系数的关系，建立方程组，即可解答。
16．已知关于x的方程（ 的两根之和为 ，
两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：设方程的两根为 ，
则
解得
（2）解：当 时， ，
所以c=a.
当x=-1时，
即a+c-2b-c+a=0
所以a=b.
所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意列出关于 x 1 ， x 2的方程组，解方程组，就可求出方程的两根。
（2）分别将x=0和x=-1代入方程，得出a=b，a=c，就可得出a、b、c的关系，可得出结论。
17．关于x的一元二次方程 有两个不等实根
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根 满足 ，求k的值．
【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，
解得：k＞ ；
（2）解：∵k＞ ，∴x1+x2=-（2k+1）＜0，
又∵x1 x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，
∵|x1|+|x2|=x1 x2，
∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞ ，∴k=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据原方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1 x2的值，再根据（1）中k的取值范围确定x1+x2＜0，x1 x2＞0，从而可得出x1＜0，x2＜0，再化简|x1|+|x2|=-（x1+x2）=x1 x2，然后整体代入建立关于k的方程，利用因式分解法求出符合条件的k的值。
18．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【答案】（1）解：原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将原方程转化为一元二次方程的一般形式，再证明△＞0，即可解答。
（2）根据方程有整数解，可得出4- p2为整数，可得出k的值。
19．设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
（1）x12＋x22；
（2） ；
（3）x12＋x22－3x1x2.
【答案】（1）解：由题意得：x1＋x2＝ ，x1·x2＝- ；
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝( )2-2×（- ）＝
（2）解： = ＝ =-
（3）解：x12＋x22－3x1x2=（x1+x2）2-5x1x2=( )2-5×（- ）=
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出x1＋x2和x1·x2的值
（1）将原式配方转化为(x1＋x2)2－2x1·x2，再代入求值。
（2）将原式通分转化为，再代入求值。
（3）将原式配方转化为（x1+x2）2-5x1x2，再代入求值。
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
【答案】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2
（2）解：∵x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=6x1 x2，即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m= ＜2，
∴符合条件的m的值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程由两个实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，可得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2，再根据x12+x22=6x1x2建立关于m的方程，然后求出符合条件的m的值。
21．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出分式方程①的解，再由再由此方程的根为非负数及x≠1，求出k的取值范围；再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△>.0，得出m>0或m≤，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
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