高中数学人教版 选修2-3（理科） 第一章 计数原理1.2.2组合
一、选择题
1．（2016高二下·龙海期中）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，
两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种
间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，
都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．
故选A
【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
2．（2017·宁波模拟）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51 C31 C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52 C61 C21=120种选法．故共有345种选法．
故选D
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
3．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人，
从男生中选2人，从女生中选1人，共有30种不同的选法，是组合问题，
∴Cx2C8﹣x1=30，
∴x（x﹣1）（8﹣x）=30×2=2×6×5，或x（x﹣1）（8﹣x）=3×4×5．
∴x=6，8﹣6=2．或x=5，8﹣5=3．
女生有：2或3人．
故选：A．
【分析】设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别，共有30种不同的选法，得到关于x的等式Cx2C8﹣x1=30，解出x即可．
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 种排法，
故答案为：C.
【分析】不相邻问题利用插空法，即可解决问题.
5．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先分组再排列，一组2人一组4人有 种不同的分法；两组各3人共有 种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，
故答案为：B.
【分析】先分组再排列，利用分步乘法计数原理求解即可.
6．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 (种)选法，而每种选择有 (种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
故答案为：C.
【分析】利用排列组合数得出选四个数字共有3种选法，而每种选择有6种排法，由分步乘法计数原理即可得到答案．
7．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 种，而甲、乙被分在同一个班的有 种，所以不同分法种数是 .
故答案为：C.
【分析】本题可以先算出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解即可得到答案.
8．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】第一步将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有 种分法，然后分到两部门去共有 种方法，第三步将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 种方法，由分步乘法计数原理共有 (种)．
故答案为：B.
【分析】根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算.
二、填空题
9．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的排法．(用数字作答)
【答案】1260
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】同色球不加以区分，共有 (种)排法．
【分析】将同色球不加以区分，利用分步计数原理求解即可。分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段.
10．n个不同的球放入n个不同的盒子中，如果恰好有1个盒子是空的，则共有 种不同的方法．
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】有一个盒子中放2个球，先选出2球有 种选法，然后将2个球视作一个整体，连同其余的n－2个球共有n－1个，从n个不同盒子中选出
n－1个，放入这n－1个不同的球有 种放法，∴共有 种．
【分析】恰好有一个空盒时，必有一个盒子为两个球，剩下的小球放到其余盒子中去，由分步乘法计数原理可得结论．
11．（2016高二下·珠海期中）要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 种不同的种法（用数字作答）．
【答案】72
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：首先，区域1可取4种颜色任何一种色，有 种，区域2只能取除1以外的颜色有 种；
区域4与区域2不相邻，也可取除1以外的3种颜色，有 种；
区域5有两种可能：①区域2，区域4取同一色，有 种；②区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有 种方法；
区域3也有2种可能：若区域2，区域4取同一色，有 种取法；若区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有 种方法；
区域2、区域4共 × =3×3=9取法中，3种取法是同一色的，6种取法是不同色的；
所以，共有着色方法 ×3× × + ×6× ×
=4×3×2×2+4×6×1×1
=48+24
=72种．
故答案为：72．
【分析】区域1可取4种颜色任何一种色，有 种，区域2只能取除区域1以外的颜色有 种，区域4与区域2不相邻，有 种；再对区域5与区域3分类讨论，最后利用乘法原理与加法原理运算即可求得答案．
三、解答题
12．
（1）计算 ；
（2）求 中n的值．
【答案】（1）解：
（2）解：原式可化为 ，
即 ，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.
所以n2＋5n－14＝0，解得n＝2或n＝－7.又n≥1且n∈Z，所以n＝2
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】利用组合数公式进行化简，即可得出答案.
13．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；
（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；
（3）甲、乙、丙各得3本．
【答案】（1）解：分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有 种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有 种方法；
第三步：把剩下的书给丙，有 种方法，
∴共有不同的分法有 · · ＝1 260(种)
（2）解：分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有 · · 种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有 种方法，
∴共有 · · · ＝7 560(种)
（3）解：用与(1)相同的方法求解，得 · · ＝1 680(种)
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）分步乘法计数原理：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；最后相乘即可。
（2）分步乘法计数原理：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；最后相乘即可。
（3）属于平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．
14．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问全程赛程共需比赛多少场？
【答案】（1）解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛 (场)
（2）解：半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛 (场)
（3）解：决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】先利用排列、组合的实际应用计算出（1）小组赛，（2）半决赛，（3）决赛的场数，根根据分类计数原理将前面所得结果数相加即可。
1 / 1高中数学人教版 选修2-3（理科） 第一章 计数原理1.2.2组合
一、选择题
1．（2016高二下·龙海期中）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
2．（2017·宁波模拟）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
3．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
4．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
5．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
6．只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
7．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
8．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
二、填空题
9．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的排法．(用数字作答)
10．n个不同的球放入n个不同的盒子中，如果恰好有1个盒子是空的，则共有 种不同的方法．
11．（2016高二下·珠海期中）要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 种不同的种法（用数字作答）．
三、解答题
12．
（1）计算 ；
（2）求 中n的值．
13．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；
（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；
（3）甲、乙、丙各得3本．
14．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问全程赛程共需比赛多少场？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，
两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种
间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，
都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．
故选A
【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
2．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51 C31 C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52 C61 C21=120种选法．故共有345种选法．
故选D
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
3．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人，
从男生中选2人，从女生中选1人，共有30种不同的选法，是组合问题，
∴Cx2C8﹣x1=30，
∴x（x﹣1）（8﹣x）=30×2=2×6×5，或x（x﹣1）（8﹣x）=3×4×5．
∴x=6，8﹣6=2．或x=5，8﹣5=3．
女生有：2或3人．
故选：A．
【分析】设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别，共有30种不同的选法，得到关于x的等式Cx2C8﹣x1=30，解出x即可．
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 种排法，
故答案为：C.
【分析】不相邻问题利用插空法，即可解决问题.
5．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先分组再排列，一组2人一组4人有 种不同的分法；两组各3人共有 种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，
故答案为：B.
【分析】先分组再排列，利用分步乘法计数原理求解即可.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 (种)选法，而每种选择有 (种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
故答案为：C.
【分析】利用排列组合数得出选四个数字共有3种选法，而每种选择有6种排法，由分步乘法计数原理即可得到答案．
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 种，而甲、乙被分在同一个班的有 种，所以不同分法种数是 .
故答案为：C.
【分析】本题可以先算出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】第一步将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有 种分法，然后分到两部门去共有 种方法，第三步将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 种方法，由分步乘法计数原理共有 (种)．
故答案为：B.
【分析】根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算.
9．【答案】1260
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】同色球不加以区分，共有 (种)排法．
【分析】将同色球不加以区分，利用分步计数原理求解即可。分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段.
10．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】有一个盒子中放2个球，先选出2球有 种选法，然后将2个球视作一个整体，连同其余的n－2个球共有n－1个，从n个不同盒子中选出
n－1个，放入这n－1个不同的球有 种放法，∴共有 种．
【分析】恰好有一个空盒时，必有一个盒子为两个球，剩下的小球放到其余盒子中去，由分步乘法计数原理可得结论．
11．【答案】72
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：首先，区域1可取4种颜色任何一种色，有 种，区域2只能取除1以外的颜色有 种；
区域4与区域2不相邻，也可取除1以外的3种颜色，有 种；
区域5有两种可能：①区域2，区域4取同一色，有 种；②区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有 种方法；
区域3也有2种可能：若区域2，区域4取同一色，有 种取法；若区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有 种方法；
区域2、区域4共 × =3×3=9取法中，3种取法是同一色的，6种取法是不同色的；
所以，共有着色方法 ×3× × + ×6× ×
=4×3×2×2+4×6×1×1
=48+24
=72种．
故答案为：72．
【分析】区域1可取4种颜色任何一种色，有 种，区域2只能取除区域1以外的颜色有 种，区域4与区域2不相邻，有 种；再对区域5与区域3分类讨论，最后利用乘法原理与加法原理运算即可求得答案．
12．【答案】（1）解：
（2）解：原式可化为 ，
即 ，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.
所以n2＋5n－14＝0，解得n＝2或n＝－7.又n≥1且n∈Z，所以n＝2
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【分析】利用组合数公式进行化简，即可得出答案.
13．【答案】（1）解：分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有 种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有 种方法；
第三步：把剩下的书给丙，有 种方法，
∴共有不同的分法有 · · ＝1 260(种)
（2）解：分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有 · · 种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有 种方法，
∴共有 · · · ＝7 560(种)
（3）解：用与(1)相同的方法求解，得 · · ＝1 680(种)
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）分步乘法计数原理：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；最后相乘即可。
（2）分步乘法计数原理：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；最后相乘即可。
（3）属于平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．
14．【答案】（1）解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛 (场)
（2）解：半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛 (场)
（3）解：决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】先利用排列、组合的实际应用计算出（1）小组赛，（2）半决赛，（3）决赛的场数，根根据分类计数原理将前面所得结果数相加即可。
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