高中数学人教版 选修2-3（理科） 第二章 随机变量及其分布 2.2.1条件概率，2.2.2事件的相互独立性

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高中数学人教版 选修2-3（理科） 第二章 随机变量及其分布 2.2.1条件概率，2.2.2事件的相互独立性
一、选择题
1．下列式子成立的是（　　）
A．P(A|B)＝P(B|A) B．0C．P(AB)＝P(A)·P(B|A) D．P(A∩B|A)＝P(B)
2．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)等于（　　）
A． B． C． D．
3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（　　）
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
5．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（　　）
A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88
6．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为（　　）
A．0.7 B．0.56 C．0.64 D．0.8
7．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（　　）
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为　 　．
10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 、 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为　 　．
11．甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.8，敌机被击中的概率为　 　．
三、解答题
12．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
13．从一副扑克牌(52张)中任意抽取一张，则：
（1）这张牌是红桃的概率是多少？
（2）这张牌是有人头像(J、Q、K)的概率是多少？
（3）在这张牌是红桃的条件下，有人头像的概率是多少？
14．在女子十米跳台比赛中，已知甲、乙两名选手发挥正常的概率分别为0.9，0.85，求：
（1）甲、乙两名选手发挥均正常的概率；
（2）甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的概率；
（3）甲、乙两名选手均出现失误的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由P(B|A)＝ 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
【分析】根据条件概率公式，检验各个选项，可得只有选项C成立，从而得出结论．
2．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由条件概率公式变形得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝ ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件利用条件概率计算公式直接求解．
3．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ ，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝ .
故答案为：D.
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．
4．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子发芽后又能成长为幼苗”为事件B|A，由P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
【分析】设一批种子的发芽率为事件A，则P（A）=0.8，出芽后的幼苗成活率为事件B，则P(B|A)＝0.9，根据条件概率公式计算即可，
5．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.
故答案为：D.
【分析】先根据相互独立事件的概率乘法公式求出这两个人都没有被录取的概率，再用1减去此概率，即得所求．
6．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可知，甲、乙两站的预报准确率是相互独立的，故所求事件的概率P＝0.8×0.7＝0.56.
故答案为：B
【分析】由题意知甲乙两个天气预报站相互独立的对天气进行预测，设A“甲天气预报站预报准确”，B“乙天气预报站预报准确”根据相互独立事件的概率公式得到结果．
7．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.
故答案为：B.
【分析】记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
8．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解法一：以甲再打的局数分类讨论，若甲再打一局得冠军的概率为p1，则p1＝ ，若甲打两局得冠军的概率为p2，则p2＝ ，故甲获得冠军的概率为p1＋p2＝ .
解法二：设乙获得冠军的概率p1，则p1＝ ，故甲获得冠军的概率为p＝1－p1＝ ，
故答案为：D.
【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．
9．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，
则P(A)＝ ，P(AB)＝ ，所以P(B|A)＝ .
【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品，由概率计算公式，计算可得答案．
10．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为 ，故至少有一人去北京旅游的概率为 .
【分析】至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．
11．【答案】0.92
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解法一：设“甲击中敌机”为事件A，“乙击中敌机”为事件B，事件A、B相互独立，所以所求的概率为P＝P(A∩B)＋P( ∩B)＋P(A∩ )＝P(A)·P(B)＋P( )·P(B)＋P(A)·P( )＝0.6×0.8＋0.4×0.8＋0.6×0.2＝0.92.
解法二：利用对立事件的概率，P＝1－P( ∩ )＝1－P( )·P( )＝1－(1－0.6)(1－0.8)＝0.92.
解法三：敌机被击中为事件A∪B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.6＋0.8－0.6×0.8＝0.92.
【分析】先求出敌机没有被击中的概率为 （1-0.6）（1-0.8），用1减去此概率，即得敌机被击中的概率
12．【答案】（1）解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件
（2）解：由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】判断两个事件A、B是否相互独立，可以看A的发生对事件B发生的概率是否有影响，也可根据独立事件的定义：P（AB）=P（A）P（B）来判断．
13．【答案】（1）解：设A表示“任取一张是红桃”，B表示“任取一张是有人头像的”，则
P(A)＝
（2）解：P(B)＝
（3）解：“任取一张既是红桃又是有人头像的”为AB，则P(AB)＝ .任取一张是红桃的条件下，也就是在13张红桃的范围内考虑有人头像的概率是多少，这就是条件概率P(B|A)的值，P(B|A)＝
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】一副52张（没有大小王）的扑克牌中K有4张，黑色牌有26张，由此求出抽到的这张牌是K或者是黑色牌的基本事件个数，从而利用等可能概率计算公式能求出抽到牌的概率．
14．【答案】（1）解：设事件A，B分别表示甲、乙两名选手发挥正常，由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.85.
两名选手发挥均正常的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.9×0.85＝0.765
（2）解：对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正常”，故所求事件的概率P＝1－P(AB)＝1－0.765＝0.235
（3）解：依题意可知，所求事件的概率P＝P( )＝P( )P( )＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】设事件A，B分别表示甲、乙两名选手发挥正常，由题意可知，事件A，B相互独立，利用相互独立事件的概率公式，对立事件的概率公式等运算求得结果．
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高中数学人教版 选修2-3（理科） 第二章 随机变量及其分布 2.2.1条件概率，2.2.2事件的相互独立性
一、选择题
1．下列式子成立的是（　　）
A．P(A|B)＝P(B|A) B．0C．P(AB)＝P(A)·P(B|A) D．P(A∩B|A)＝P(B)
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由P(B|A)＝ 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
【分析】根据条件概率公式，检验各个选项，可得只有选项C成立，从而得出结论．
2．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由条件概率公式变形得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝ ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件利用条件概率计算公式直接求解．
3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ ，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝ .
故答案为：D.
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．
4．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（　　）
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子成长为幼苗”为事件AB，“这粒水稻种子发芽后又能成长为幼苗”为事件B|A，由P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
【分析】设一批种子的发芽率为事件A，则P（A）=0.8，出芽后的幼苗成活率为事件B，则P(B|A)＝0.9，根据条件概率公式计算即可，
5．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（　　）
A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.
故答案为：D.
【分析】先根据相互独立事件的概率乘法公式求出这两个人都没有被录取的概率，再用1减去此概率，即得所求．
6．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为（　　）
A．0.7 B．0.56 C．0.64 D．0.8
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可知，甲、乙两站的预报准确率是相互独立的，故所求事件的概率P＝0.8×0.7＝0.56.
故答案为：B
【分析】由题意知甲乙两个天气预报站相互独立的对天气进行预测，设A“甲天气预报站预报准确”，B“乙天气预报站预报准确”根据相互独立事件的概率公式得到结果．
7．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（　　）
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.
故答案为：B.
【分析】记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解法一：以甲再打的局数分类讨论，若甲再打一局得冠军的概率为p1，则p1＝ ，若甲打两局得冠军的概率为p2，则p2＝ ，故甲获得冠军的概率为p1＋p2＝ .
解法二：设乙获得冠军的概率p1，则p1＝ ，故甲获得冠军的概率为p＝1－p1＝ ，
故答案为：D.
【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．
二、填空题
9．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为　 　．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，
则P(A)＝ ，P(AB)＝ ，所以P(B|A)＝ .
【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品，由概率计算公式，计算可得答案．
10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 、 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为　 　．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为 ，故至少有一人去北京旅游的概率为 .
【分析】至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．
11．甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.8，敌机被击中的概率为　 　．
【答案】0.92
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解法一：设“甲击中敌机”为事件A，“乙击中敌机”为事件B，事件A、B相互独立，所以所求的概率为P＝P(A∩B)＋P( ∩B)＋P(A∩ )＝P(A)·P(B)＋P( )·P(B)＋P(A)·P( )＝0.6×0.8＋0.4×0.8＋0.6×0.2＝0.92.
解法二：利用对立事件的概率，P＝1－P( ∩ )＝1－P( )·P( )＝1－(1－0.6)(1－0.8)＝0.92.
解法三：敌机被击中为事件A∪B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.6＋0.8－0.6×0.8＝0.92.
【分析】先求出敌机没有被击中的概率为 （1-0.6）（1-0.8），用1减去此概率，即得敌机被击中的概率
三、解答题
12．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【答案】（1）解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 .可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件
（2）解：由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】判断两个事件A、B是否相互独立，可以看A的发生对事件B发生的概率是否有影响，也可根据独立事件的定义：P（AB）=P（A）P（B）来判断．
13．从一副扑克牌(52张)中任意抽取一张，则：
（1）这张牌是红桃的概率是多少？
（2）这张牌是有人头像(J、Q、K)的概率是多少？
（3）在这张牌是红桃的条件下，有人头像的概率是多少？
【答案】（1）解：设A表示“任取一张是红桃”，B表示“任取一张是有人头像的”，则
P(A)＝
（2）解：P(B)＝
（3）解：“任取一张既是红桃又是有人头像的”为AB，则P(AB)＝ .任取一张是红桃的条件下，也就是在13张红桃的范围内考虑有人头像的概率是多少，这就是条件概率P(B|A)的值，P(B|A)＝
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】一副52张（没有大小王）的扑克牌中K有4张，黑色牌有26张，由此求出抽到的这张牌是K或者是黑色牌的基本事件个数，从而利用等可能概率计算公式能求出抽到牌的概率．
14．在女子十米跳台比赛中，已知甲、乙两名选手发挥正常的概率分别为0.9，0.85，求：
（1）甲、乙两名选手发挥均正常的概率；
（2）甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的概率；
（3）甲、乙两名选手均出现失误的概率．
【答案】（1）解：设事件A，B分别表示甲、乙两名选手发挥正常，由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.85.
两名选手发挥均正常的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.9×0.85＝0.765
（2）解：对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正常”，故所求事件的概率P＝1－P(AB)＝1－0.765＝0.235
（3）解：依题意可知，所求事件的概率P＝P( )＝P( )P( )＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】设事件A，B分别表示甲、乙两名选手发挥正常，由题意可知，事件A，B相互独立，利用相互独立事件的概率公式，对立事件的概率公式等运算求得结果．
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