高中数学人教版选修2-2（理科） 第一章导数及其应用 1.7定积分的简单应用（包括1.7.1定积分在几何中的应用，1.7.2定积分在物理中的应用）
一、选择题
1．由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为（ ）
A．46 m B．46.5 m C．87 m D．47 m
3．由y＝ ，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为（ ）
A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2
4． （ ）
A． B． C． D．0
5．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
9．计算： .
10．若 ，则 的值是 ．
11．以曲线 为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为 ．
三、解答题
12．模型火箭自静止开始铅直向上发射，设起动时就有最大加速度.以此时为起点，加速度满足 ，求火箭前5 s内的位移.
13．已知 是二次函数，方程 有两个相等的实根，且 .
（1）求 的解析式．
（2）求曲线 与曲线 所围成的图形的面积.
14．已知函数 的图象如图，直线 在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为 .
（1）求 的解析式；
（2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】曲线 与直线 的交点为 ，故所求图形面积为 . A、B、C不符合，故选D.
【分析】本题主要考查定积分的应用，通过解方程组确定交点坐标，再由交点坐标确定积分区间。
2．【答案】B
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ＝ ＝(54＋12)－ ＝46.5(m)．故选B.
【分析】此题考查了定积分在物理中的应用，利用定积分的物理意义直接求解即可.
3．【答案】A
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】画出曲线y＝ (x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．∴ ＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A.
【分析】画图，本题主要考查定积分的应用，在求图形的面积上的应用。
4．【答案】C
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由定积分的几何意义可知，该积分式表示圆 在第一象限部分与坐标轴所围成的封闭区域的面积，所以 ，故选C.
【分析】画图，由定积分的几何意义求解。
5．【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】画出曲线y＝x2和直线y＝2x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组 得 或 ∴A(2，4)．
∴ .故选C.
【分析】先画出图象，结合定积分的几何意义，易得到求法。
6．【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 .
【分析】画图根据定积分的几何意义求解。
7．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】根据题意作图如下，
可得曲线 ， 的交点为（0，1），
∴所求面积为 .
【分析】作出图象，确定积分区间，再利用几何意义即可求。
8．【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于
，故选D.
【分析】作出图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求。
9．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】令 ，整理得 ，表示椭圆的上半部分，其面积为 ，即定积分 .
【分析】作出图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求得答案。
10．【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以 ．
【分析】由题先解出定积分再用左右对比列出方程组求解。
11．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由定积分的几何意义知曲边形的面积为
.故答案为 ．
【分析】根据图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求得答案。
12．【答案】解：由题设知t0=0，v(0)=0，s(0)=0，∴v(t)= .
∴s(5)= =(50t2 t4) =
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】由定积分物理意义列出定积分式子求解。
13．【答案】（1）解：设 ，则
所以 ，
（2）解： 或 .
【知识点】导数的四则运算；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）设二次函数解析式 f ( x ) = a x2 + b x + c ( a ≠ 0 )，求导用待定系数法求得答案。
（2）先画出图象求出两个曲线交点，,结合定积分的几何意义可求出答案。
14．【答案】（1）解：由 得 . ，由 得 ，
∴ ，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为 ，从而得 ，∴
（2）解：由（1）知 . 的取值变化情况如下：
2
单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增
又 ，所以①当 时, ；
②当 时,
综上可知：当 时, ；
当 时,
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】先由f(0)=0， f ′(0)=0求出b,c，再由定积分几何意义求出a，得到答案。
（2）利用导函数求出函数的单调性得到函数最值。
1 / 1高中数学人教版选修2-2（理科） 第一章导数及其应用 1.7定积分的简单应用（包括1.7.1定积分在几何中的应用，1.7.2定积分在物理中的应用）
一、选择题
1．由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】曲线 与直线 的交点为 ，故所求图形面积为 . A、B、C不符合，故选D.
【分析】本题主要考查定积分的应用，通过解方程组确定交点坐标，再由交点坐标确定积分区间。
2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为（ ）
A．46 m B．46.5 m C．87 m D．47 m
【答案】B
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 ＝ ＝(54＋12)－ ＝46.5(m)．故选B.
【分析】此题考查了定积分在物理中的应用，利用定积分的物理意义直接求解即可.
3．由y＝ ，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为（ ）
A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2
【答案】A
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】画出曲线y＝ (x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．∴ ＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A.
【分析】画图，本题主要考查定积分的应用，在求图形的面积上的应用。
4． （ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】定积分；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由定积分的几何意义可知，该积分式表示圆 在第一象限部分与坐标轴所围成的封闭区域的面积，所以 ，故选C.
【分析】画图，由定积分的几何意义求解。
5．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】画出曲线y＝x2和直线y＝2x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组 得 或 ∴A(2，4)．
∴ .故选C.
【分析】先画出图象，结合定积分的几何意义，易得到求法。
6．由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】 .
【分析】画图根据定积分的几何意义求解。
7．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】根据题意作图如下，
可得曲线 ， 的交点为（0，1），
∴所求面积为 .
【分析】作出图象，确定积分区间，再利用几何意义即可求。
8．如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于
，故选D.
【分析】作出图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求。
二、填空题
9．计算： .
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】令 ，整理得 ，表示椭圆的上半部分，其面积为 ，即定积分 .
【分析】作出图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求得答案。
10．若 ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以 ．
【分析】由题先解出定积分再用左右对比列出方程组求解。
11．以曲线 为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为 ．
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】由定积分的几何意义知曲边形的面积为
.故答案为 ．
【分析】根据图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求得答案。
三、解答题
12．模型火箭自静止开始铅直向上发射，设起动时就有最大加速度.以此时为起点，加速度满足 ，求火箭前5 s内的位移.
【答案】解：由题设知t0=0，v(0)=0，s(0)=0，∴v(t)= .
∴s(5)= =(50t2 t4) =
【知识点】定积分的简单应用
【解析】【分析】由定积分物理意义列出定积分式子求解。
13．已知 是二次函数，方程 有两个相等的实根，且 .
（1）求 的解析式．
（2）求曲线 与曲线 所围成的图形的面积.
【答案】（1）解：设 ，则
所以 ，
（2）解： 或 .
【知识点】导数的四则运算；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】（1）设二次函数解析式 f ( x ) = a x2 + b x + c ( a ≠ 0 )，求导用待定系数法求得答案。
（2）先画出图象求出两个曲线交点，,结合定积分的几何意义可求出答案。
14．已知函数 的图象如图，直线 在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为 .
（1）求 的解析式；
（2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.
【答案】（1）解：由 得 . ，由 得 ，
∴ ，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为 ，从而得 ，∴
（2）解：由（1）知 . 的取值变化情况如下：
2
单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增
又 ，所以①当 时, ；
②当 时,
综上可知：当 时, ；
当 时,
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【分析】先由f(0)=0， f ′(0)=0求出b,c，再由定积分几何意义求出a，得到答案。
（2）利用导函数求出函数的单调性得到函数最值。
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