23.1.1 旋转的概念和性质 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
23.1.1 旋转的概念和性质
人教版九年级上册
知识回顾
我们已经学习过哪些图形的变换？他们都有什么性质？
平移
轴对称
教学目标
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.
2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
新知导入
请欣赏下面几幅图案
在数学中，旋转是图形变化的方法之一，应该怎样描述它呢？它又有什么性质呢？本章将解答这些问题.
让我们一起来探索旋转的奥秘吧！
新知探究
知识点1
如图1，钟表的指针在不停的转动，从3时到5时，时针转动了多少度？
如图2，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
图1
图2
以上这些现象有什么共同特点呢？
新知探究
知识点1
在平面内，将一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
点O叫做旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
初中阶段研究的平移、轴对称和旋转都是针对平面内的图形变换,它们是平面图形的全等变换.描述旋转时不能忽略“平面内”.旋转的角度一般小于360°.
新知探究
知识点1
1.旋转中心在旋转的过程中是静止不动的，旋转中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部，还可以在图形上．
2.将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，意味着图形上每一个点同时按相同方向旋转相同的角度．
3.旋转的三要素：旋转中心，旋转角，旋转方向．
新知探究
知识点1
一个图形由一个位置旋转到另一个位置，固定不动的点就是旋转中心，互换位置的点是对应点，互换位置的边是对应边，对应边的夹角是旋转角．
图1
图2
新知练习
如图，A，B，C三点共线，△ACD和△BCE都是等边三角形，△ACE旋转后到达△DCB的位置.
(1) 旋转中心是哪一点
(2) 旋转角是多少度
(1) 点C是在△ACE旋转过程中不动的点，所以点C是旋转中心.
(2) △ACE旋转后到达△DCB的位置，AC绕点C转过的角即∠ACD就是旋转角.因为△ACD是等边三角形，所以∠ACD =60°，即旋转角是60°.
新知探究
知识点2
如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△ ），移开硬纸板.
△ 是由△ABC绕点O旋转得到的.线
段OA与OA′有什么关系？∠AOA′与∠BOB′有什么关系？
△ABC与△ 的形状和大小有什么关系？
A
B
C
B′
C′
O
A
B
C
·
A′
B′
C′
旋转前、后的图形全等，即对应角相等,对应边相等.
对应点到旋转中心的距离相等.
新知探究
新知探究
知识点2
B'
A'
C'
A
B
C
O
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
观察下图，你能得到什么结论？
新知探究
知识点2
(1) 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；
(2) 旋转时，图形上的每一点都绕旋转中心旋转相同的角度；
(3) 旋转的性质中所说的“对应点”是指“任意一对对应点”，并且对应点到旋转中心的距离相等.
新知探究
知识点2
旋转中心的确定
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
新知练习
如图，将△ABC 绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C 和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= .
解：将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，点 C 和点 E 是对应点，
所以 AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，
所以 BD=．
新知练习
如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′ ，则点P的坐标是( )
A.(1，1) B.(1，2)
C.(1，3) D.(1，4)
B
解：∵将△ABC以点P为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，
作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为(1，2)，
∴点P的坐标为(1，2)．
P
新知练习
如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.若AB=1，∠B=60° ，则CD的长为( )
A.0.5 B.1.5
C. D.1
D
解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，∴BC=2AB=2，
∵Rt△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上，
∴AD=AB，
而∠B=60°，∴△ABD 为等边三角形，
∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1．
新知练习
如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C' 的位置，使得 CC′ //AB，则∠BAB′ 的度数是( )
A.30° B.35°
C.40° D.50°
A
解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C，C′ 为对应点，点 A 为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′ 为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．
课堂总结
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
课堂练习
如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1,正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. B. C. D.不能确定
A
解：∵四边形 ABCD 和四边形 EFGO 都是正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，
∴∠BON=∠COM．
在△OBN 与△OCM 中，
∴△OBN≌△OCM(ASA)，∴S△OBN=S△OCM，
∴S四边形OMBN=S△OBC=S正方形ABCD= ×1×1= ．
课堂练习
解：∵∠ABO=90°，∠A=30°，∴∠AOB=60°，
①若是顺时针旋150°，如图（1），点 A′ 在 y 轴负半轴，
则 OA′=OA=4，
所以，点 A′ 的坐标为(0，-4)；
如图，在△AOB中，AB⊥OB，∠A=30° ，OA=4 ，将△OAB绕点O旋转150°得△OA'B'，则点A'的坐标为 .
课堂练习
如图，在△AOB中，AB⊥OB，∠A=30° ，OA=4 ，将△OAB绕点O旋转150°得△OA'B'，则点A'的坐标为 .
(0,-4)或(-2,-2)
解：②若是逆时针旋转150°，如图（2），
∵旋转角为150°，∴OA′ 与 x 轴负半轴夹角为30°，
过点 A′ 作A′C⊥x 轴于点C，则 A′C=OA′= ×4=2，
由勾股定理得，OC===2，
所以，点 A′ 的坐标为(-2，-2)，
综上所述，点 A′ 的坐标为(0，-4)或(-2，-2)．
课堂练习
如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA=4， OB=3，OC=5.求∠AOB的度数.
解：将△BOA绕点B顺时针旋转60°得△BPC，连接OP，如图，
由旋转的性质得BP=BO，∠OBP=60°.
∴△OBP 为等边三角形，
∴OP=OB=3.
由旋转的性质得PC=OA=4.
∵在△OPC 中，OP2+PC2=32+42 =OC2.
∴∠OPC=90°，∴∠CPB=∠OPB+∠OPC=60°+90°=150°，
∵旋转后的图形与旋转前的图形全等，∴∠AOB=∠CPB=150°.
谢谢
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