2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.4 角平分线 课时2 三角形的角平分线
一、填空题
1．三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到 相等.
【答案】三边距离
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解 ：三边距离；
故答案为 ：三边距离。
【分析】根据三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等，即可得出答案。
2．如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD PE PF.
【答案】=；=
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD=PE，
同理可得PD=PF，
∴PD=PE=PF．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出PD=PE，同理可得PD=PF，从而得出PD=PE=PF．
3．如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗 他会怎样做 答: .他这样做的理由是什么 答: .
【答案】有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解 ：他的说法有道理，根据三角形的三条角平分线交于一点可过C、O作线段并延长交AB于一点F，CF就是∠C的角平分线。
故答案为 ：有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点；
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点即可即可得出答案。
二、选择题
4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1=∠2
C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解 ；∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于O ，
∴ AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2 。
故答案为 ：B .
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出AO是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得出∠1=∠2 。
5．如图是尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF是△ABC的内角平分线 B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．点O到△ABC三边的距离相等 D．AO=BO=CO
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：A、AE、BF是△ABC的内角平分线，此选项正确，故A不合题意；
B、CG也是△ABC的一条内角平分线，此选项正确，故B不合题意；
C、点O到△ABC三边的距离相等，此选项正确，故C不合题意；
D、无法得到AO=BO=CO，此选项错误，故D符合题意．
故应选：D．
【分析】根据图示可知，此题中AE、BF是△ABC的内角平分线，根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出第三个内角的平分线一定过AE，BF的交点，从而得出CG也是△ABC的一条内角平分线，根据三角形的内心到三边的距离相等得出点O到△ABC三边的距离相等，从而得出答案。
6．已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A与∠B的平分线的交点
B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵P到∠A两边的距离相等 ∴点P应该在∠A的角平分线上；
∵PA=PB ∴点P应该在AB的中垂线上；
∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
∴ 应选 ：B。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离是相等的得出点P应该在∠A的角平分线上，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等得出点P应该在AB的中垂线上，要同时满足这些条件的点肯定就是它们的交点。
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（ ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OD⊥AC于点D，
∵OA，OB，OC分别是△ABC三内角的角平分线，
∴OE=OF=OD ，
∵S△ABO=AB·OE =10OE， S△BCO=BC·OF=15OF ，S△CAO=AC·OD=20OD，
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=10OE∶15OF∶20OD=2∶3∶4
故应选：C．
【分析】根据角平方线上的点到角两边的距离相等得出OE=OF=OD ，根据三角形的面积法，得出S△ABO=AB·OE =10OE， S△BCO=BC·OF=15OF ，S△CAO=AC·OD=20OD，从而得出答案S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=10OE∶15OF∶20OD=2∶3∶4 。
8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线的交点P，
∴点P是△ABC的内心，
∴AD是顶角的平分线，
∴∠BAD=∠CAD ，
又∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC ，
又∵AD=AD
∴△ADB≌△ADC，
∴AB=AC．
∴△ABC一定是等腰三角形．
故应选：C.
【分析】根据角平分线的性质得出点P是△ABC的内心，进而得出AD是顶角的平分线，根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD ，根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC ，然后利用ASA判断出△ADB≌△ADC，根据全等三角形对应边相等得出AB=AC，从而得出结论。
三、解答题
9．如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,且相交于点P.求证:点P在∠BAC的平分线上.
【答案】证明:过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；
.∵BP,CP分别是△ABC的外角平分线,
∴PE=PG,PG=PF,
则PE=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PE=PG,PG=PF,进而得到PE=PF.根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠BAC的平分线上.
10．如图,OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的中垂线(即垂直平分线),∠OBC,∠OCB的平分线相交于点I,试判断OI与BC的位置关系,并给出证明.
【答案】解:OI⊥BC.理由如下 ：证明:如图,连接AO,延长OI交BC于点M.∵OE,OF分别为AB,AC的中垂线,∴OA=OB,OA=OC.∴OB=OC.又∵BI,CI分别为∠OBC,∠OCB的平分线,∴点I必在∠BOC的平分线上.∴∠BOI=∠COI.∵OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的中垂线 ，∴OA=OB,OA=OC;∴ OB=OC在△BOM和△COM中,∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.又∵∠BMO+∠CMO=180°,∴∠BMO=∠CMO=90°，∴OI⊥BC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】OI⊥BC.理由如下 ：如图,连接AO,延长OI交BC于点M.根据角平分线的性质得出点I必在∠BOC的平分线上，根据角平分线的定义得出∠BOI=∠COI.根据中垂线的性质得出OA=OB,OA=OC;根据等量代换得出 OB=OC，从而利用SAS判断出△BOM≌△COM，根据全等三角形对应角相等得出∠BMO=∠CMO.根据平角的定义得出∠BMO+∠CMO=180°,从而得出∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC 。
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一、填空题
1．三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到 相等.
2．如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD PE PF.
3．如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗 他会怎样做 答: .他这样做的理由是什么 答: .
二、选择题
4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1=∠2
C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
5．如图是尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF是△ABC的内角平分线 B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．点O到△ABC三边的距离相等 D．AO=BO=CO
6．已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A与∠B的平分线的交点
B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（ ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
8．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
三、解答题
9．如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,且相交于点P.求证:点P在∠BAC的平分线上.
10．如图,OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的中垂线(即垂直平分线),∠OBC,∠OCB的平分线相交于点I,试判断OI与BC的位置关系,并给出证明.
答案解析部分
1．【答案】三边距离
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解 ：三边距离；
故答案为 ：三边距离。
【分析】根据三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等，即可得出答案。
2．【答案】=；=
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD=PE，
同理可得PD=PF，
∴PD=PE=PF．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出PD=PE，同理可得PD=PF，从而得出PD=PE=PF．
3．【答案】有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解 ：他的说法有道理，根据三角形的三条角平分线交于一点可过C、O作线段并延长交AB于一点F，CF就是∠C的角平分线。
故答案为 ：有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点；
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点即可即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解 ；∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于O ，
∴ AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2 。
故答案为 ：B .
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出AO是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得出∠1=∠2 。
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：A、AE、BF是△ABC的内角平分线，此选项正确，故A不合题意；
B、CG也是△ABC的一条内角平分线，此选项正确，故B不合题意；
C、点O到△ABC三边的距离相等，此选项正确，故C不合题意；
D、无法得到AO=BO=CO，此选项错误，故D符合题意．
故应选：D．
【分析】根据图示可知，此题中AE、BF是△ABC的内角平分线，根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出第三个内角的平分线一定过AE，BF的交点，从而得出CG也是△ABC的一条内角平分线，根据三角形的内心到三边的距离相等得出点O到△ABC三边的距离相等，从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵P到∠A两边的距离相等 ∴点P应该在∠A的角平分线上；
∵PA=PB ∴点P应该在AB的中垂线上；
∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
∴ 应选 ：B。
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离是相等的得出点P应该在∠A的角平分线上，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等得出点P应该在AB的中垂线上，要同时满足这些条件的点肯定就是它们的交点。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OD⊥AC于点D，
∵OA，OB，OC分别是△ABC三内角的角平分线，
∴OE=OF=OD ，
∵S△ABO=AB·OE =10OE， S△BCO=BC·OF=15OF ，S△CAO=AC·OD=20OD，
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=10OE∶15OF∶20OD=2∶3∶4
故应选：C．
【分析】根据角平方线上的点到角两边的距离相等得出OE=OF=OD ，根据三角形的面积法，得出S△ABO=AB·OE =10OE， S△BCO=BC·OF=15OF ，S△CAO=AC·OD=20OD，从而得出答案S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=10OE∶15OF∶20OD=2∶3∶4 。
8．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线的交点P，
∴点P是△ABC的内心，
∴AD是顶角的平分线，
∴∠BAD=∠CAD ，
又∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC ，
又∵AD=AD
∴△ADB≌△ADC，
∴AB=AC．
∴△ABC一定是等腰三角形．
故应选：C.
【分析】根据角平分线的性质得出点P是△ABC的内心，进而得出AD是顶角的平分线，根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD ，根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC ，然后利用ASA判断出△ADB≌△ADC，根据全等三角形对应边相等得出AB=AC，从而得出结论。
9．【答案】证明:过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；
.∵BP,CP分别是△ABC的外角平分线,
∴PE=PG,PG=PF,
则PE=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PE=PG,PG=PF,进而得到PE=PF.根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠BAC的平分线上.
10．【答案】解:OI⊥BC.理由如下 ：证明:如图,连接AO,延长OI交BC于点M.∵OE,OF分别为AB,AC的中垂线,∴OA=OB,OA=OC.∴OB=OC.又∵BI,CI分别为∠OBC,∠OCB的平分线,∴点I必在∠BOC的平分线上.∴∠BOI=∠COI.∵OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的中垂线 ，∴OA=OB,OA=OC;∴ OB=OC在△BOM和△COM中,∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.又∵∠BMO+∠CMO=180°,∴∠BMO=∠CMO=90°，∴OI⊥BC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】OI⊥BC.理由如下 ：如图,连接AO,延长OI交BC于点M.根据角平分线的性质得出点I必在∠BOC的平分线上，根据角平分线的定义得出∠BOI=∠COI.根据中垂线的性质得出OA=OB,OA=OC;根据等量代换得出 OB=OC，从而利用SAS判断出△BOM≌△COM，根据全等三角形对应角相等得出∠BMO=∠CMO.根据平角的定义得出∠BMO+∠CMO=180°,从而得出∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC 。
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