2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.2 直角三角形 课时2
一、填空题
1．如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,下面四个结论:①∠ABE=∠BAD;②△CEB≌△ADC;③AB=CE;④AD-BE=DE.其中正确的是 (将你认为正确结论的序号都写上).
2．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=
3．判定三角形全等的方法有4种，分别是 ， ， ， ；判定直角三角形全等的方法有5种，分别是 ， ， ， ， 。
二、选择题
4．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，则能够说明△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．HL
5．如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD
6．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPO=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于点D，BD=BC，若AC=6 cm，则AE+DE等于（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB=AC；③∠B=∠C；④AD是△ABC的角平分线.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，下列条件不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
11．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列条件中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的个数为（ ）
①AC=A'B'，∠A=∠A'；②AC=A'C'，AB=A'B'；
③AC=A'C'，BC=B'C'； ④AB=A'B'，∠A=∠A'.
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，已知∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：①EM=FN；
②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
三、解答题
14．如图,D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.求证:∠B=∠C.
15．如图,在△ABC中,∠BAC=∠ABC,点P在AB上,如果AD⊥CP,BE⊥CP的延长线,垂足分别为D,E,且BE=CD.
（1）试探求这个图形中还有哪些相等的线段,并给出证明;
（2）试确定△ABC的形状.
16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
17．如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF.
答案解析部分
1．【答案】①②④
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：
∵BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D ，
∴ ∠BEF=∠ADF=90°，
又∵∠BFE=∠AFD
∴∠ABE=∠BAD ;故 ① 正确
∵∠1+∠2=90° ，∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD ，
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴△CEB≌△ADC (AAS), 故 ②正确
∴CE=AD，BE=CD
∴AD-BE=DE ， 故 ④ 正确;
而③不能证明，
故答案为 :①、②、④
【分析】根据垂直的定义得出∠BEF=∠ADF=90° ，根据等顶角相等及三角形的内角和得出∠ABE=∠BAD ;故 ① 正确 ；根据同角的余角相等得出∠1=∠CAD ，从而利用AQAS判断出△CEB≌△ADC ，故 ②正确；根据全等三角形对应边相等得出CE=AD，BE=CD ，根据等式的性质得出AD-BE=DE ， 故 ④ 正确; 从而得出答案。
2．【答案】7
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ：∵，MN∥PQ，AB⊥PQ ，
∴AB⊥MN ，
∴ ∠DAE=EBC=90° ，
在Rt△DAE与Rt△EBC中，
∵ ，
∴ Rt△DAE≌Rt△EBC （HL）
∴ BC=AE ，
∵AD+BC=7 ，
∴AE+BE=7 ，即AB=7 .
故答案为 ：7 .
【分析】根据平行线的性质及垂直的定义得出∠DAE=EBC=90° ， 然后由HL判断出Rt△DAE≌Rt△EBC，根据三角形全等的性质得出BC=AE ，根据线段的和差及等量代换得出AE+BE=7 ，即AB=7 .
3．【答案】SSS；SAS；ASA；AAS；HL；SSS；SAS；ASA；AAS
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解 ：（1）SSS ，SAS， ASA ，AAS， （2）HL ，SSS ，SAS， ASA ，AAS .
故答案为 ：（1）SSS ，SAS， ASA ，AAS， （2）HL ，SSS ，SAS， ASA ，AAS .
【分析】（1）根据三边对应相等的两个三角形全等；两边及夹角对应相等的两个三角形全等 ；两角及夹边对应相等得两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等得两个三角形全等；
（2）根据一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等；根据三边对应相等的两个三角形全等；两边及夹角对应相等的两个三角形全等 ；两角及夹边对应相等得两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等得两个三角形全等 。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC的理由是“HL”．
故应选：D 。
【分析】根据这两个直角三角形中一条直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，得出全等的理由。
5．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解 ：Rt△ABC与Rt△ABD中，斜边AB=AB，要使用HL判定它们全等的话，只需要添加AC=AD，或BC=BD，从而得出只有A符合题意；
故应选 ：A .
【分析】Rt△ABC与Rt△ABD中，斜边是公共边，要使用HL判定它们全等的话，只需要添加一条直角边对应相等即可。
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB ，
∴ ∠OCP＝∠ODP ，
∵ OP为∠AOB的角平分线 ，
∴ ∠AOP=∠BOP ，
又∵OP=OP ，
∴ △OCP≌△OCP (AAS） ，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD， PC=PD ；
不能得出∠CPD=∠DOP， B不符合题意，
故答案为 ：B 。
【分析】根据垂直的定义得出∠OCP＝∠ODP ，根据角平分线的定义得出 ∠AOP=∠BOP，然后利用AAS判断出△OCP≌△OCP ，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等，得出∠CPO=∠DPO，OC=OD， PC=PD ；不能得出∠CPD=∠DOP ，从而得出答案。
7．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ED⊥AB，
∴ ∠ECB=∠EDB=90°，
又∵ EB=EB，BD=BC ，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB (HL)，
∴EC=ED，
∴AE+DE=AE+EC=AC=6．
故应选：C 。
【分析】根据垂直的定义得出∠ECB=∠EDB=90°，然后利用HL判断出Rt△ECB≌Rt△EDB ，利用全等三角形对应边相等得出EC=ED ，利用线段的和差得出AE+DE=AE+EC=AC=6．
8．【答案】D
【知识点】垂线；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵D为BC的中点 ，
∴ BD=CD ，
又∵AD=AD
∴△ABD≌△ACD （SAS）
∴AB=AC ，∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD ，
∴AD是△ABC的角平分线．
故应选：D 。
【分析】根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，根据中点的定义得出BD=CD ，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACD ，根据全等三角形对应角相等，对应边相等，从而得出AB=AC ，∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD ，根据角平分线的定义得出AD是△ABC的角平分线．
9．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEH=∠ADB=90°
∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE
∴∠HBD=∠EAH
又∵DH=DC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD，BH=AC ；从而得出①③符合题意；
②：∵BC=AC
∴∠BAC=∠ABC
∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD
∴∠ABC=45°
∴∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°
②不符合题意；
解④：∵CE=CD ，∠ACB=∠ACB，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC
④不符合题意；
故应选：B．
【分析】根据垂直的定义得出∠AEH=∠ADB=90°，根据等顶角相等及等角的余角相等得出∠HBD=∠EAH，又DH=DC，从而利用AAS判断出△BDH≌△ADC，根据全等三角形对应边相等得出BD=AD，BH=AC ；根据等边对等角得出∠BAC=∠ABC，由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=45°，根据等量代换得出∠BAC=45°，根据三角形的内角和得出∠ACB=90°，又∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，从而得出②不符合题意；由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，而要得出CE=CD，必须△BEC≌△ADC，故④不符合题意。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），A不符合题意；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），B不符合题意；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），C不符合题意；
D、由∠B=∠C，AD=AD，BD=CD不能推出△ABD≌△ACD，D符合题意；
故应选：D 。
【分析】根据三角形全等的条件，①三边对应相等；②两角及夹边对应相等；③两边及夹角对应相等；④两角及其中一角的对边对应相等；一一判断即可。
11．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解 ：①在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，则AB与A'B'是两直角三角形的直角边，要想使两三角形全等的话，它们应该是对应边，而AC=A'B'，不是对应边相等，故不能判定两三角形全等，①不符合题意；②给出了一条直角边和斜边对应相等，故可以利用HL判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C' ；②符合题意 ；③给出了两直角边对应相等可以利用SAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C ，③符合题意； ④ 给出了斜边对应相等且一个锐角对应相等，'可以用AAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C， ④符合题意；符合题意的有3个。
故应选 ：C 。
【分析】在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，则AB与A'B'是两直角三角形的直角边，要想使他们全等的话，它们应该是对应边，①中AC=A'B'，是Rt△ABC与Rt△A'B'C'的直角边与斜边相等，显然两个三角形不是一样的大小，故不可能全等；②中AC=A'C'，AB=A'B'；，可以利用HL判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C' ；③中AC=A'C'，BC=B'C，可以利用SAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C ； ④ 中AB=A'B'，∠A=∠A'可以用AAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C；从而得出答案。
12．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABE和△ACF中
∵
∴△ABE≌△ACF（AAS)
∴BE=CF CA=BA ∠BAE=∠CAF
∴∠EAM＝∠FAN
在△CAN和△BAM中
∵
∴△CAN全等于△BAM（ASA) ，
在△EAM，与△FAN中， ，
∴ △EAM≌△FAN（ASA） ，
∴EM=FN .
①③④是对的 .
故应选 ：C 。
【分析】首先根据AAS判断出△ABE≌△ACF ，根据全等三角形的性质得出BE=CF CA=BA ∠BAE=∠CAF ，进而得出∠EAM＝∠FAN ，然后根据ASA判断出△CAN全等于△BAM ；再根据ASA判断出 △EAM≌△FAN ，根据全等三角形的性质得出EM=FN .从而得出结论。
13．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（ 1 ）AB=DE，则在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，A不符合题意；
（ 2 ）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，B不符合题意；
（ 3 ）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；C不符合题意；
（ 4 ）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠C=∠F，则△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，D不符合题意；
故应选 ：C .
【分析】根据平行线的性质可以得出∠A=∠D，又已知条件中给出了AC=DF，已经具有一边一角，要判断两三角形全等，只需要再给出一个角，或者是夹着个角的另一条边即可，A，答案给出了AB=DE，能由SAS判断出△ABC≌△DEF ；B，答案给出了∠B=∠E，能由AAS判断出△ABC≌△DEF ；C，答案给出了EF=BC，无法判断出△ABC≌△DEF ；D，答案给出了EF∥BC，加上AB∥DE，能得出∠C=∠F ，能由AAS判断出△ABC≌△DEF ；从而得出答案。
14．【答案】证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠DFB=∠DEC=90°.∵点D是BC的中点,∴BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE中,∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).∴∠B=∠C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠DFB=∠DEC=90°，根据中点的定义得出BD=CD，根据HL判断出Rt△BDF≌Rt△CDE ，根据全等三角形对应角相等得出∠B=∠C 。
15．【答案】（1）解:图中相等的线段还有AC=BC,CE=AD.证明:∵∠BAC=∠ABC,∴AC=BC.∵AD⊥CP,BE⊥CP,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵BE=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL).
∴CE=AD 。
（2）解：△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：∵△BCE≌△CAD,
∴∠EBC=∠ACD.
∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°.又AC=BC ，
∴△ABC为等腰直角三角形 。
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】 （1）图中相等的线段还有AC=BC,CE=AD. 根据等角对等边得出AC=BC，根据垂直的定义得出∠ADC=∠BEC=90°，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△CAD ，根据全等三角形对应边相等得出CE=AD ；
（2）△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：根据全等三角形对应角相等得出∠EBC=∠ACD ，根据直角三角形两锐角互余得出∠EBC+∠BCE=90°,根据等量代换得出∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°，又AC=BC ，从而得出结论△ABC为等腰直角三角形 。
16．【答案】（1）解：由题图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等 .
（2）解：(答案不唯一)选择∠DAG=∠AED，证明如下：由正方形ABCD得∠DAB=∠B=90°，AD=AB.
在Rt△DAE与Rt△ABF中，
∴Rt△DAE≌Rt△ABF(HL).
∴∠ADE=∠BAF.
∵∠DAG+∠BAF=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠DAG=∠AED
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可以得出∠DAB=∠B=90°，AD=AB，然后利用HL判断出Rt△DAE≌Rt△ABF，根据全等三角形对应角相等得出∠ADE=∠BAF ，∠DEA=∠AFB ，然后根据等角的余角相等得出∠DAG=∠AED ，根据同角的余角相等得出∠CDG=∠DAG，从而利用等量代换得出∠CDG=∠AED ；
（2）此题是一道开放性的命题，一般选择自己十拿九稳的结论进行证明：根据正方形的性质可以得出∠DAB=∠B=90°，AD=AB，然后利用HL判断出Rt△DAE≌Rt△ABF，根据全等三角形对应角相等得出∠ADE=∠BAF ，然后根据等角的余角相等得出∠DAG=∠AED 。
17．【答案】证明:∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴∠CBA=∠DAB.∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠CEB=∠DFA=90°.在△BCE和△ADF中,∴△BCE≌△ADF(AAS).∴CE=DF
【知识点】垂线；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠ACB=∠ADB=90°，∠CEB=∠DFA=90° ，然后利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△BAD ，根据全等三角形对应角相等得出∠CBA=∠DAB，然后根据AAS判断出△BCE≌△ADF ，然后根据全等三角形对应边相等得出CE=DF 。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.2 直角三角形 课时2
一、填空题
1．如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,下面四个结论:①∠ABE=∠BAD;②△CEB≌△ADC;③AB=CE;④AD-BE=DE.其中正确的是 (将你认为正确结论的序号都写上).
【答案】①②④
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：
∵BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D ，
∴ ∠BEF=∠ADF=90°，
又∵∠BFE=∠AFD
∴∠ABE=∠BAD ;故 ① 正确
∵∠1+∠2=90° ，∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD ，
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴△CEB≌△ADC (AAS), 故 ②正确
∴CE=AD，BE=CD
∴AD-BE=DE ， 故 ④ 正确;
而③不能证明，
故答案为 :①、②、④
【分析】根据垂直的定义得出∠BEF=∠ADF=90° ，根据等顶角相等及三角形的内角和得出∠ABE=∠BAD ;故 ① 正确 ；根据同角的余角相等得出∠1=∠CAD ，从而利用AQAS判断出△CEB≌△ADC ，故 ②正确；根据全等三角形对应边相等得出CE=AD，BE=CD ，根据等式的性质得出AD-BE=DE ， 故 ④ 正确; 从而得出答案。
2．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=
【答案】7
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ：∵，MN∥PQ，AB⊥PQ ，
∴AB⊥MN ，
∴ ∠DAE=EBC=90° ，
在Rt△DAE与Rt△EBC中，
∵ ，
∴ Rt△DAE≌Rt△EBC （HL）
∴ BC=AE ，
∵AD+BC=7 ，
∴AE+BE=7 ，即AB=7 .
故答案为 ：7 .
【分析】根据平行线的性质及垂直的定义得出∠DAE=EBC=90° ， 然后由HL判断出Rt△DAE≌Rt△EBC，根据三角形全等的性质得出BC=AE ，根据线段的和差及等量代换得出AE+BE=7 ，即AB=7 .
3．判定三角形全等的方法有4种，分别是 ， ， ， ；判定直角三角形全等的方法有5种，分别是 ， ， ， ， 。
【答案】SSS；SAS；ASA；AAS；HL；SSS；SAS；ASA；AAS
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解 ：（1）SSS ，SAS， ASA ，AAS， （2）HL ，SSS ，SAS， ASA ，AAS .
故答案为 ：（1）SSS ，SAS， ASA ，AAS， （2）HL ，SSS ，SAS， ASA ，AAS .
【分析】（1）根据三边对应相等的两个三角形全等；两边及夹角对应相等的两个三角形全等 ；两角及夹边对应相等得两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等得两个三角形全等；
（2）根据一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等；根据三边对应相等的两个三角形全等；两边及夹角对应相等的两个三角形全等 ；两角及夹边对应相等得两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等得两个三角形全等 。
二、选择题
4．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，则能够说明△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．HL
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC的理由是“HL”．
故应选：D 。
【分析】根据这两个直角三角形中一条直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，得出全等的理由。
5．如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解 ：Rt△ABC与Rt△ABD中，斜边AB=AB，要使用HL判定它们全等的话，只需要添加AC=AD，或BC=BD，从而得出只有A符合题意；
故应选 ：A .
【分析】Rt△ABC与Rt△ABD中，斜边是公共边，要使用HL判定它们全等的话，只需要添加一条直角边对应相等即可。
6．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPO=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB ，
∴ ∠OCP＝∠ODP ，
∵ OP为∠AOB的角平分线 ，
∴ ∠AOP=∠BOP ，
又∵OP=OP ，
∴ △OCP≌△OCP (AAS） ，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD， PC=PD ；
不能得出∠CPD=∠DOP， B不符合题意，
故答案为 ：B 。
【分析】根据垂直的定义得出∠OCP＝∠ODP ，根据角平分线的定义得出 ∠AOP=∠BOP，然后利用AAS判断出△OCP≌△OCP ，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等，得出∠CPO=∠DPO，OC=OD， PC=PD ；不能得出∠CPD=∠DOP ，从而得出答案。
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于点D，BD=BC，若AC=6 cm，则AE+DE等于（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ED⊥AB，
∴ ∠ECB=∠EDB=90°，
又∵ EB=EB，BD=BC ，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB (HL)，
∴EC=ED，
∴AE+DE=AE+EC=AC=6．
故应选：C 。
【分析】根据垂直的定义得出∠ECB=∠EDB=90°，然后利用HL判断出Rt△ECB≌Rt△EDB ，利用全等三角形对应边相等得出EC=ED ，利用线段的和差得出AE+DE=AE+EC=AC=6．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB=AC；③∠B=∠C；④AD是△ABC的角平分线.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵D为BC的中点 ，
∴ BD=CD ，
又∵AD=AD
∴△ABD≌△ACD （SAS）
∴AB=AC ，∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD ，
∴AD是△ABC的角平分线．
故应选：D 。
【分析】根据垂直的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，根据中点的定义得出BD=CD ，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACD ，根据全等三角形对应角相等，对应边相等，从而得出AB=AC ，∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD ，根据角平分线的定义得出AD是△ABC的角平分线．
9．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEH=∠ADB=90°
∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE
∴∠HBD=∠EAH
又∵DH=DC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD，BH=AC ；从而得出①③符合题意；
②：∵BC=AC
∴∠BAC=∠ABC
∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD
∴∠ABC=45°
∴∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°
②不符合题意；
解④：∵CE=CD ，∠ACB=∠ACB，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC
④不符合题意；
故应选：B．
【分析】根据垂直的定义得出∠AEH=∠ADB=90°，根据等顶角相等及等角的余角相等得出∠HBD=∠EAH，又DH=DC，从而利用AAS判断出△BDH≌△ADC，根据全等三角形对应边相等得出BD=AD，BH=AC ；根据等边对等角得出∠BAC=∠ABC，由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=45°，根据等量代换得出∠BAC=45°，根据三角形的内角和得出∠ACB=90°，又∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°，从而得出②不符合题意；由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，而要得出CE=CD，必须△BEC≌△ADC，故④不符合题意。
10．如图，下列条件不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），A不符合题意；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），B不符合题意；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），C不符合题意；
D、由∠B=∠C，AD=AD，BD=CD不能推出△ABD≌△ACD，D符合题意；
故应选：D 。
【分析】根据三角形全等的条件，①三边对应相等；②两角及夹边对应相等；③两边及夹角对应相等；④两角及其中一角的对边对应相等；一一判断即可。
11．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列条件中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的个数为（ ）
①AC=A'B'，∠A=∠A'；②AC=A'C'，AB=A'B'；
③AC=A'C'，BC=B'C'； ④AB=A'B'，∠A=∠A'.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解 ：①在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，则AB与A'B'是两直角三角形的直角边，要想使两三角形全等的话，它们应该是对应边，而AC=A'B'，不是对应边相等，故不能判定两三角形全等，①不符合题意；②给出了一条直角边和斜边对应相等，故可以利用HL判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C' ；②符合题意 ；③给出了两直角边对应相等可以利用SAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C ，③符合题意； ④ 给出了斜边对应相等且一个锐角对应相等，'可以用AAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C， ④符合题意；符合题意的有3个。
故应选 ：C 。
【分析】在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，则AB与A'B'是两直角三角形的直角边，要想使他们全等的话，它们应该是对应边，①中AC=A'B'，是Rt△ABC与Rt△A'B'C'的直角边与斜边相等，显然两个三角形不是一样的大小，故不可能全等；②中AC=A'C'，AB=A'B'；，可以利用HL判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C' ；③中AC=A'C'，BC=B'C，可以利用SAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C ； ④ 中AB=A'B'，∠A=∠A'可以用AAS判断Rt△ABC≌Rt△A'B'C；从而得出答案。
12．如图，已知∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：①EM=FN；
②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在△ABE和△ACF中
∵
∴△ABE≌△ACF（AAS)
∴BE=CF CA=BA ∠BAE=∠CAF
∴∠EAM＝∠FAN
在△CAN和△BAM中
∵
∴△CAN全等于△BAM（ASA) ，
在△EAM，与△FAN中， ，
∴ △EAM≌△FAN（ASA） ，
∴EM=FN .
①③④是对的 .
故应选 ：C 。
【分析】首先根据AAS判断出△ABE≌△ACF ，根据全等三角形的性质得出BE=CF CA=BA ∠BAE=∠CAF ，进而得出∠EAM＝∠FAN ，然后根据ASA判断出△CAN全等于△BAM ；再根据ASA判断出 △EAM≌△FAN ，根据全等三角形的性质得出EM=FN .从而得出结论。
13．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（ 1 ）AB=DE，则在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，A不符合题意；
（ 2 ）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，B不符合题意；
（ 3 ）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；C不符合题意；
（ 4 ）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠C=∠F，则△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF，D不符合题意；
故应选 ：C .
【分析】根据平行线的性质可以得出∠A=∠D，又已知条件中给出了AC=DF，已经具有一边一角，要判断两三角形全等，只需要再给出一个角，或者是夹着个角的另一条边即可，A，答案给出了AB=DE，能由SAS判断出△ABC≌△DEF ；B，答案给出了∠B=∠E，能由AAS判断出△ABC≌△DEF ；C，答案给出了EF=BC，无法判断出△ABC≌△DEF ；D，答案给出了EF∥BC，加上AB∥DE，能得出∠C=∠F ，能由AAS判断出△ABC≌△DEF ；从而得出答案。
三、解答题
14．如图,D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.求证:∠B=∠C.
【答案】证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠DFB=∠DEC=90°.∵点D是BC的中点,∴BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE中,∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).∴∠B=∠C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠DFB=∠DEC=90°，根据中点的定义得出BD=CD，根据HL判断出Rt△BDF≌Rt△CDE ，根据全等三角形对应角相等得出∠B=∠C 。
15．如图,在△ABC中,∠BAC=∠ABC,点P在AB上,如果AD⊥CP,BE⊥CP的延长线,垂足分别为D,E,且BE=CD.
（1）试探求这个图形中还有哪些相等的线段,并给出证明;
（2）试确定△ABC的形状.
【答案】（1）解:图中相等的线段还有AC=BC,CE=AD.证明:∵∠BAC=∠ABC,∴AC=BC.∵AD⊥CP,BE⊥CP,
∴∠ADC=∠BEC=90°.
又∵BE=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL).
∴CE=AD 。
（2）解：△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：∵△BCE≌△CAD,
∴∠EBC=∠ACD.
∵∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°.又AC=BC ，
∴△ABC为等腰直角三角形 。
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】 （1）图中相等的线段还有AC=BC,CE=AD. 根据等角对等边得出AC=BC，根据垂直的定义得出∠ADC=∠BEC=90°，然后利用HL判断出Rt△BCE≌Rt△CAD ，根据全等三角形对应边相等得出CE=AD ；
（2）△ABC为等腰直角三角形，理由如下 ：根据全等三角形对应角相等得出∠EBC=∠ACD ，根据直角三角形两锐角互余得出∠EBC+∠BCE=90°,根据等量代换得出∠ACD+∠BCE=90°,即∠ACB=90°，又AC=BC ，从而得出结论△ABC为等腰直角三角形 。
16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
【答案】（1）解：由题图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等 .
（2）解：(答案不唯一)选择∠DAG=∠AED，证明如下：由正方形ABCD得∠DAB=∠B=90°，AD=AB.
在Rt△DAE与Rt△ABF中，
∴Rt△DAE≌Rt△ABF(HL).
∴∠ADE=∠BAF.
∵∠DAG+∠BAF=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠DAG=∠AED
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可以得出∠DAB=∠B=90°，AD=AB，然后利用HL判断出Rt△DAE≌Rt△ABF，根据全等三角形对应角相等得出∠ADE=∠BAF ，∠DEA=∠AFB ，然后根据等角的余角相等得出∠DAG=∠AED ，根据同角的余角相等得出∠CDG=∠DAG，从而利用等量代换得出∠CDG=∠AED ；
（2）此题是一道开放性的命题，一般选择自己十拿九稳的结论进行证明：根据正方形的性质可以得出∠DAB=∠B=90°，AD=AB，然后利用HL判断出Rt△DAE≌Rt△ABF，根据全等三角形对应角相等得出∠ADE=∠BAF ，然后根据等角的余角相等得出∠DAG=∠AED 。
17．如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF.
【答案】证明:∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴∠CBA=∠DAB.∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠CEB=∠DFA=90°.在△BCE和△ADF中,∴△BCE≌△ADF(AAS).∴CE=DF
【知识点】垂线；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠ACB=∠ADB=90°，∠CEB=∠DFA=90° ，然后利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△BAD ，根据全等三角形对应角相等得出∠CBA=∠DAB，然后根据AAS判断出△BCE≌△ADF ，然后根据全等三角形对应边相等得出CE=DF 。
1 / 1
