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高中数学人教新课标A版必修3 第一章 算法初步 1.3算法案例
一、选择题
1．下列关于算法的说法正确的有（ ）
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；
④算法执行后一定产生明确的结果．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．1 037和425的最大公约数是（ ）
A．51 B．17 C．9 D．3
4．把67化为二进制数为（ ）
A．1 100 001(2) B．1 000 011(2)
C．110 000(2) D．1 000 111(2)
5．如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于（ ）
A．2 450 B．2 500 C．2 550 D．2 652
6．如图所示，程序的输出结果为S＝132，则判断框中应填（ ）
A．i≥10 B．i≥11 C．i≤11 D．i≥12
二、单选题
7．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（ ）
A．27 B．11 C．109 D．36
8．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于（ ）
A．7或4 B．－7 C．4 D．都不对
三、填空题
9．三进制数2 022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝ ．
10．324，243，135三个数的最大公约数是 ．
11．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝ ．
12．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装 克溶液
四、解答题
13．已知175(r)＝125(10)，求在这种进制里的数76(r)应记成十进制的什么数？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】算法的概念；算法的特点
【解析】【解答】根据算法的定义知，②③④三种说法正确．
故答案为：C
【分析】本题主要考查算法的概念问题，由算法的概念可知，算法是不唯一的，有限步，结果要明确，每一步骤也是明确的，因此①、②、③、④中①是错误的，所以选C。
2．【答案】C
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】由于294和84都是偶数，所以用2约简：294÷2＝147，84÷2＝42，
又147不是偶数，所以147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，
42－21＝21，故需做4次减法，故答案为：C.
【分析】本题主要考查“更相减损术”的简单应用，所以首先要了解“更相减损术”的方法，主要是利用减法进行求解，一直求到减数和差是一样的为止。
3．【答案】B
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.
故答案为：B。
【分析】本题主要考查利用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，用商除以余数，直到整除为止。
4．【答案】B
【知识点】进位制
【解析】【解答】如图：
所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故答案为：B.
【分析】本题主要考查十进制和r进制数之间的转化，把十进制转化为二进制，即依次除以2，一直除到余数为0为止。
5．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】题中程序框图含有循环结构．第1次循环为k＝1＋1＝2，1≤50；S＝0
＋2×1，
第2次循环为k＝2＋1＝3；2≤50；S＝2＋2×2，……
第50次循环为k＝51；50≤50；S＝2＋4＋…＋100＝2 550.
故答案为：C
【分析】本题主要考查程序框图中的循环结构，根据程序框图依次计算，直到满足条件输出为止。
6．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】可以逐个验证各选项，当判断框中填写i≥10？时，输出结果为S＝1 320；当判断框中填写i≥11？时，输出结果为S＝132；当判断框中填写i≤11？时，输出结果为S＝1；当判断框中填写i≥12？时，输出结果为S＝12.故答案为：B.
【分析】本题主要考查循环结构，根据题意依次计算，直到输出的结果为132，观察共进行了多少次计算来选择不等式。
7．【答案】D
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】将函数式化成f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1
＝109，v5＝109×3＋1＝328.故答案为：D.
【分析】本题主要考查秦九韶算法，先根据秦九韶算法求出每一项，然后代入求解即可。
8．【答案】C
【知识点】进位制
【解析】【解答】132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，
解得k＝4或k＝－7(舍去)．故答案为：C.
【分析】本题主要考查进制数之间的互化，根据r进制数转化为十进制数的方法列出方程式，然后求解k即可，注意：k进制数只能为正数，不能为负数。
9．【答案】7
【知识点】进位制
【解析】【解答】2 022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
则三进制数2 022(3)化为六进制数为142(6)，∴a＋b＋c＝7.
【分析】本题主要考查进制数之间的转化 ，先把r进制转化为十进制，然后转化为六进制数。
10．【答案】27
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】324＝243×1＋81，243＝81×3，所以243与324的最大公约数是81.
又135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，
所以135与81的最大公约数是27，所以三个数的最大公约数是27.
【分析】本题主要考查求三个数的最大公约数的问题，先用辗转相除法求两个数的最大公约数，然后再用最大公约数和第三个数求解最大公约数即可。
11．【答案】756
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.
【分析】本题主要考查利用秦九韶算法求解多项式的值的问题，所以要正确理解秦九韶算法，把多项式转化即可求解。
12．【答案】7
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】先求147与343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，
147－49＝98，98－49＝49. 所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数.133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，
35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147，343，133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g.
【分析】本题主要考查最大公约数的求法，利用更相减损术求解三个数的最大公约数，先求两个数的最大公约数，再用此最大公约数与第三个数求最大公约数，逐次去减，直到减数和差相等为止。
13．【答案】解：∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴76(r)＝76(8)＝7×81＋6×80＝62(10)
【知识点】进位制
【解析】【分析】本题主要考查进位制的应用，r进制转化为十进制的方法是：各个数位上的数×该数位的幂，然后累加即可。
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高中数学人教新课标A版必修3 第一章 算法初步 1.3算法案例
一、选择题
1．下列关于算法的说法正确的有（ ）
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；
④算法执行后一定产生明确的结果．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】算法的概念；算法的特点
【解析】【解答】根据算法的定义知，②③④三种说法正确．
故答案为：C
【分析】本题主要考查算法的概念问题，由算法的概念可知，算法是不唯一的，有限步，结果要明确，每一步骤也是明确的，因此①、②、③、④中①是错误的，所以选C。
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】由于294和84都是偶数，所以用2约简：294÷2＝147，84÷2＝42，
又147不是偶数，所以147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，
42－21＝21，故需做4次减法，故答案为：C.
【分析】本题主要考查“更相减损术”的简单应用，所以首先要了解“更相减损术”的方法，主要是利用减法进行求解，一直求到减数和差是一样的为止。
3．1 037和425的最大公约数是（ ）
A．51 B．17 C．9 D．3
【答案】B
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.
故答案为：B。
【分析】本题主要考查利用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，用商除以余数，直到整除为止。
4．把67化为二进制数为（ ）
A．1 100 001(2) B．1 000 011(2)
C．110 000(2) D．1 000 111(2)
【答案】B
【知识点】进位制
【解析】【解答】如图：
所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故答案为：B.
【分析】本题主要考查十进制和r进制数之间的转化，把十进制转化为二进制，即依次除以2，一直除到余数为0为止。
5．如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于（ ）
A．2 450 B．2 500 C．2 550 D．2 652
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】题中程序框图含有循环结构．第1次循环为k＝1＋1＝2，1≤50；S＝0
＋2×1，
第2次循环为k＝2＋1＝3；2≤50；S＝2＋2×2，……
第50次循环为k＝51；50≤50；S＝2＋4＋…＋100＝2 550.
故答案为：C
【分析】本题主要考查程序框图中的循环结构，根据程序框图依次计算，直到满足条件输出为止。
6．如图所示，程序的输出结果为S＝132，则判断框中应填（ ）
A．i≥10 B．i≥11 C．i≤11 D．i≥12
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】可以逐个验证各选项，当判断框中填写i≥10？时，输出结果为S＝1 320；当判断框中填写i≥11？时，输出结果为S＝132；当判断框中填写i≤11？时，输出结果为S＝1；当判断框中填写i≥12？时，输出结果为S＝12.故答案为：B.
【分析】本题主要考查循环结构，根据题意依次计算，直到输出的结果为132，观察共进行了多少次计算来选择不等式。
二、单选题
7．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（ ）
A．27 B．11 C．109 D．36
【答案】D
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】将函数式化成f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1
＝109，v5＝109×3＋1＝328.故答案为：D.
【分析】本题主要考查秦九韶算法，先根据秦九韶算法求出每一项，然后代入求解即可。
8．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于（ ）
A．7或4 B．－7 C．4 D．都不对
【答案】C
【知识点】进位制
【解析】【解答】132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，
解得k＝4或k＝－7(舍去)．故答案为：C.
【分析】本题主要考查进制数之间的互化，根据r进制数转化为十进制数的方法列出方程式，然后求解k即可，注意：k进制数只能为正数，不能为负数。
三、填空题
9．三进制数2 022(3)化为六进制数为abc(6)，则a＋b＋c＝ ．
【答案】7
【知识点】进位制
【解析】【解答】2 022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
则三进制数2 022(3)化为六进制数为142(6)，∴a＋b＋c＝7.
【分析】本题主要考查进制数之间的转化 ，先把r进制转化为十进制，然后转化为六进制数。
10．324，243，135三个数的最大公约数是 ．
【答案】27
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】324＝243×1＋81，243＝81×3，所以243与324的最大公约数是81.
又135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，
所以135与81的最大公约数是27，所以三个数的最大公约数是27.
【分析】本题主要考查求三个数的最大公约数的问题，先用辗转相除法求两个数的最大公约数，然后再用最大公约数和第三个数求解最大公约数即可。
11．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝ ．
【答案】756
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.
【分析】本题主要考查利用秦九韶算法求解多项式的值的问题，所以要正确理解秦九韶算法，把多项式转化即可求解。
12．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装 克溶液
【答案】7
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】先求147与343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，
147－49＝98，98－49＝49. 所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数.133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，
35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147，343，133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g.
【分析】本题主要考查最大公约数的求法，利用更相减损术求解三个数的最大公约数，先求两个数的最大公约数，再用此最大公约数与第三个数求最大公约数，逐次去减，直到减数和差相等为止。
四、解答题
13．已知175(r)＝125(10)，求在这种进制里的数76(r)应记成十进制的什么数？
【答案】解：∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴76(r)＝76(8)＝7×81＋6×80＝62(10)
【知识点】进位制
【解析】【分析】本题主要考查进位制的应用，r进制转化为十进制的方法是：各个数位上的数×该数位的幂，然后累加即可。
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