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人教A版高中数学必修三第一章1.3算法案例 同步训练（4）
一、单选题
1．下列说法中正确的个数为（ ）
①如果两个正整数互质，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；
②如果两个正整数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数；
③两个正整数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质；
④两个正整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】最小公倍数与算术基本定理的应用；用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】根据最大公约数和最小公倍数的含义，4个结论都正确，
故答案为：D.
【分析】根据题意，掌握辗转相除法及更相减术法计算最大公约数的基本性质，以及最小公倍数的基本性质，即可得出答案。
2．用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（ ）
A．6，6 B．5，6 C．6，5 D．6，12
【答案】A
【知识点】排序问题与算法的多样性
【解析】【解答】改写多项式 ，则需进行6次乘法和6次加法运算，
故答案为：A.
【分析】根据题意，将所给的多项式写成关于x的一次函数，即，即可得出答案。
3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】使用更相减损术有：459﹣357=102；357﹣102=255；
255﹣102=153；153﹣102=51；102﹣51=51，
共作了5次减法．
故答案为：B．
【分析】根据题意，用最大数减去最小数，所得的结果与最小数作差，依次减下去，得到的减数与差相同，即可得出答案。
4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】解：∵294÷84=3…42，
84÷42=2，
∴用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数2．
故选：B．
【分析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．
5．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（ ）
A．4 B．12 C．16 D．8
【答案】A
【知识点】最大公因数
【解析】【解答】由整个操作：
（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），
我们易得12和16的最大公约数是4．
故选A
【分析】本题考查的知识是利用更相减损术求两个数的最大公约数，由整个操作：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），我们易得12和16的最大公约数是4。
6．1 037和425的最大公约数是（ ）
A．51 B．17 C．9 D．3
【答案】B
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.
故答案为：B。
【分析】本题主要考查利用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，用商除以余数，直到整除为止。
7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为（ ）
A．－57 B．220 C．－845 D．3 392
【答案】B
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】根据秦九韶算法可知：
v0＝3，v1＝v0x＋5＝－7，
v2＝v1x＋6＝28＋6＝34，
v3＝v2x＋79＝34×(－4)＋79＝－57，
v4＝v3x－8＝－57·(－4)－8＝220.
故答案为：B.
【分析】根据秦九韶算法的基本方法：，代入数据计算，即可得出答案。
8．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是（ ）
A．134-35=99 B．134=35×3+29
C．先除以2，得到18和67 D．35=25×1+10
【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】按照辗转相除法的含义，先用大数除以小数，
故答案为：B.
【分析】根据辗转相除法的基本方法：第一步，将最大值与最小值作除法，代入数据计算，即可得出答案。
9．用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，当x=x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）
A． ，n，n B．n，2n，n
C．0，2n，n D．0，n，n
【答案】D
【知识点】算法的概念
【解析】【解答】利用秦九韶算法求 的值，不需要算乘方，只需要 次乘法， 次加法，
故答案为：D.
【分析】解决本题时，熟悉掌握秦九韶算法的基本性质，将该多项式表示成一次函数，由内向外数，即可得出答案。
10．数4557、1953、5115的最大公约数是（ ）
A．31 B．93 C．217 D．651
【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】由题意得， ，所以 的最大公约数为 ；
， ， ，所以 的最大公约数为 ．
故答案为：B
【分析】根据题意，由辗转相除法的基本性质计算，最大值比上最小值得到的余数继续与最小值作除法，本题中，先得到4557与1953的公约数，紧接着得到5115与4557的最大公约数，代入数据计算，即可得出答案。
11．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（ ）
A．27 B．11 C．109 D．36
【答案】D
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】将函数式化成f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1
＝109，v5＝109×3＋1＝328.故答案为：D.
【分析】本题主要考查秦九韶算法，先根据秦九韶算法求出每一项，然后代入求解即可。
二、填空题
12．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数时，第二步是 .
【答案】3869=2628×1+1241
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】第一步： ；第二步： ；故答案为 .
【分析】根据辗转相除法的基本方法：首先用最大值减去最小值，接下来，用上一步的差值与上一步的最小值作差，代入数据计算，即可得出答案。
13．用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是
【答案】62
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】∵f（x）=1﹣5x﹣8x2+10x3+6x4+12x5+3x6=（（（（（3x+12）x+6）x+10）x﹣8）x﹣5）x+1，
∴v0=a6=3，x=﹣4时，
v1=v0x+a5=3×（﹣4）+12=0，
v2=v1x+a4=0×（﹣4）+6=6，
v3=v2x+a3=6×（﹣4）+10=﹣14，
v4=v3x+a4=（﹣14）×（﹣4）﹣8=48
∴v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是62；
故答案为：62．
【分析】根据秦九韶算法的基本方法，将多项式表示成一次函数的表示方法（），结合v的表示方法，代入数据计算，即可得出答案。
14．请将以下用“更相减损术”求两个正整数a，b的最大公约数的程序补充完整：
INPUT “a，b=”；a，b
WHILE a<>b
IF a>b THEN
a=a-b
ELSE
END IF
WEND
PRINT a
END
【答案】b=b-a
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】阅读程序知，当 时，做减法 ，当 时，做减法 ，因此应填 ，故答案为 .
【分析】解决本题时，掌握更相减损术的基本算法（大值减去小值所得结果与小值继续作差，依次进行，直到减数与结果相同），结合题意，即可得出答案。
15．已知a=333，b=24，则使得a=bq+r(q，r均为自然数，且0≤r【答案】13，21
【知识点】带余除法
【解析】【解答】用 除以 ，商即为 ，余数就是 ，故答案为 .
【分析】根据带余除法的基本算术性质，即可得出答案。
16．用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的值，给出如下数据：
①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143
其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有 (只填序号).
【答案】②③④⑤
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】将多项式写成 ，其中 ， ， ， ， ，由以上可知答案为②③④⑤
【分析】根据秦九韶算法，将该多项式表示成一次函数的表达式，将x=4代入，即可得出答案。
17．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液
【答案】解： 先求147与343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，
147－49＝98，98－49＝49. 所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数.133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，
35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147，343，133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g.
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【分析】结合更相减损术的基本算法（大值减去小值得到的差值与小值继续相减，直到减数与结果相同），分别算出147和343之间的最大公约数及133与前两者最大公约数之间的最大公约数，即可得出答案。
三、解答题
18．用辗转相除法求294，84的最大公约数.
【答案】解： ；84=42×2，所以 与 的最大公约数是 .
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【分析】根据辗转相除法的基本性质：最大值比上最小值得到的余数，最小值比上余数，直到最后能整除，即可得出答案。
19．用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.
【答案】解： 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： ，而 ，所以有 ，
， ， ， ，
， ， ，所以当 时，多项式的值为 .
【知识点】秦九韶算法
【解析】【分析】根据秦九韶算法的基本性质：将多项式写成一次函数的表达式，将x=2代入其中计算，即可得出答案。
20．分别用辗转相除法和更相减损术求1734，816的最大公约数.
【答案】解： 辗转相除法： ， (余0)，所以 与 的最大公约数是 .
更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数.
， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 与 的最大公约数是 .
【知识点】用辗转相除计算最大公约数；辗转相除法与更相减损术
【解析】【分析】根据题意，结合辗转相除法的基本性质：最大值比上最小值得到的余数，用最小值比上余数，依次进行，直到可以整除，即可得出答案。
同时，由更相减损术，最大值减去最小值得到的差值与最小值继续作差，直到减数与结果相等，代入数据计算，即可得出答案。
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人教A版高中数学必修三第一章1.3算法案例 同步训练（4）
一、单选题
1．下列说法中正确的个数为（ ）
①如果两个正整数互质，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；
②如果两个正整数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数；
③两个正整数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质；
④两个正整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（ ）
A．6，6 B．5，6 C．6，5 D．6，12
3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（ ）
A．4 B．12 C．16 D．8
6．1 037和425的最大公约数是（ ）
A．51 B．17 C．9 D．3
7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为（ ）
A．－57 B．220 C．－845 D．3 392
8．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是（ ）
A．134-35=99 B．134=35×3+29
C．先除以2，得到18和67 D．35=25×1+10
9．用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，当x=x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）
A． ，n，n B．n，2n，n
C．0，2n，n D．0，n，n
10．数4557、1953、5115的最大公约数是（ ）
A．31 B．93 C．217 D．651
11．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（ ）
A．27 B．11 C．109 D．36
二、填空题
12．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数时，第二步是 .
13．用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是
14．请将以下用“更相减损术”求两个正整数a，b的最大公约数的程序补充完整：
INPUT “a，b=”；a，b
WHILE a<>b
IF a>b THEN
a=a-b
ELSE
END IF
WEND
PRINT a
END
15．已知a=333，b=24，则使得a=bq+r(q，r均为自然数，且0≤r16．用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的值，给出如下数据：
①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143
其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有 (只填序号).
17．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液
三、解答题
18．用辗转相除法求294，84的最大公约数.
19．用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.
20．分别用辗转相除法和更相减损术求1734，816的最大公约数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最小公倍数与算术基本定理的应用；用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】根据最大公约数和最小公倍数的含义，4个结论都正确，
故答案为：D.
【分析】根据题意，掌握辗转相除法及更相减术法计算最大公约数的基本性质，以及最小公倍数的基本性质，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】排序问题与算法的多样性
【解析】【解答】改写多项式 ，则需进行6次乘法和6次加法运算，
故答案为：A.
【分析】根据题意，将所给的多项式写成关于x的一次函数，即，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】使用更相减损术有：459﹣357=102；357﹣102=255；
255﹣102=153；153﹣102=51；102﹣51=51，
共作了5次减法．
故答案为：B．
【分析】根据题意，用最大数减去最小数，所得的结果与最小数作差，依次减下去，得到的减数与差相同，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】解：∵294÷84=3…42，
84÷42=2，
∴用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数2．
故选：B．
【分析】用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，又得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数，从而得到需要做除法的次数．
5．【答案】A
【知识点】最大公因数
【解析】【解答】由整个操作：
（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），
我们易得12和16的最大公约数是4．
故选A
【分析】本题考查的知识是利用更相减损术求两个数的最大公约数，由整个操作：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），我们易得12和16的最大公约数是4。
6．【答案】B
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.
故答案为：B。
【分析】本题主要考查利用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，用商除以余数，直到整除为止。
7．【答案】B
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】根据秦九韶算法可知：
v0＝3，v1＝v0x＋5＝－7，
v2＝v1x＋6＝28＋6＝34，
v3＝v2x＋79＝34×(－4)＋79＝－57，
v4＝v3x－8＝－57·(－4)－8＝220.
故答案为：B.
【分析】根据秦九韶算法的基本方法：，代入数据计算，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】按照辗转相除法的含义，先用大数除以小数，
故答案为：B.
【分析】根据辗转相除法的基本方法：第一步，将最大值与最小值作除法，代入数据计算，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】算法的概念
【解析】【解答】利用秦九韶算法求 的值，不需要算乘方，只需要 次乘法， 次加法，
故答案为：D.
【分析】解决本题时，熟悉掌握秦九韶算法的基本性质，将该多项式表示成一次函数，由内向外数，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】由题意得， ，所以 的最大公约数为 ；
， ， ，所以 的最大公约数为 ．
故答案为：B
【分析】根据题意，由辗转相除法的基本性质计算，最大值比上最小值得到的余数继续与最小值作除法，本题中，先得到4557与1953的公约数，紧接着得到5115与4557的最大公约数，代入数据计算，即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】将函数式化成f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1
＝109，v5＝109×3＋1＝328.故答案为：D.
【分析】本题主要考查秦九韶算法，先根据秦九韶算法求出每一项，然后代入求解即可。
12．【答案】3869=2628×1+1241
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【解答】第一步： ；第二步： ；故答案为 .
【分析】根据辗转相除法的基本方法：首先用最大值减去最小值，接下来，用上一步的差值与上一步的最小值作差，代入数据计算，即可得出答案。
13．【答案】62
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】∵f（x）=1﹣5x﹣8x2+10x3+6x4+12x5+3x6=（（（（（3x+12）x+6）x+10）x﹣8）x﹣5）x+1，
∴v0=a6=3，x=﹣4时，
v1=v0x+a5=3×（﹣4）+12=0，
v2=v1x+a4=0×（﹣4）+6=6，
v3=v2x+a3=6×（﹣4）+10=﹣14，
v4=v3x+a4=（﹣14）×（﹣4）﹣8=48
∴v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是62；
故答案为：62．
【分析】根据秦九韶算法的基本方法，将多项式表示成一次函数的表示方法（），结合v的表示方法，代入数据计算，即可得出答案。
14．【答案】b=b-a
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【解答】阅读程序知，当 时，做减法 ，当 时，做减法 ，因此应填 ，故答案为 .
【分析】解决本题时，掌握更相减损术的基本算法（大值减去小值所得结果与小值继续作差，依次进行，直到减数与结果相同），结合题意，即可得出答案。
15．【答案】13，21
【知识点】带余除法
【解析】【解答】用 除以 ，商即为 ，余数就是 ，故答案为 .
【分析】根据带余除法的基本算术性质，即可得出答案。
16．【答案】②③④⑤
【知识点】秦九韶算法
【解析】【解答】将多项式写成 ，其中 ， ， ， ， ，由以上可知答案为②③④⑤
【分析】根据秦九韶算法，将该多项式表示成一次函数的表达式，将x=4代入，即可得出答案。
17．【答案】解： 先求147与343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，
147－49＝98，98－49＝49. 所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数.133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，
35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147，343，133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7 g.
【知识点】辗转相除法与更相减损术
【解析】【分析】结合更相减损术的基本算法（大值减去小值得到的差值与小值继续相减，直到减数与结果相同），分别算出147和343之间的最大公约数及133与前两者最大公约数之间的最大公约数，即可得出答案。
18．【答案】解： ；84=42×2，所以 与 的最大公约数是 .
【知识点】用辗转相除计算最大公约数
【解析】【分析】根据辗转相除法的基本性质：最大值比上最小值得到的余数，最小值比上余数，直到最后能整除，即可得出答案。
19．【答案】解： 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： ，而 ，所以有 ，
， ， ， ，
， ， ，所以当 时，多项式的值为 .
【知识点】秦九韶算法
【解析】【分析】根据秦九韶算法的基本性质：将多项式写成一次函数的表达式，将x=2代入其中计算，即可得出答案。
20．【答案】解： 辗转相除法： ， (余0)，所以 与 的最大公约数是 .
更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数.
， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 与 的最大公约数是 .
【知识点】用辗转相除计算最大公约数；辗转相除法与更相减损术
【解析】【分析】根据题意，结合辗转相除法的基本性质：最大值比上最小值得到的余数，用最小值比上余数，依次进行，直到可以整除，即可得出答案。
同时，由更相减损术，最大值减去最小值得到的差值与最小值继续作差，直到减数与结果相等，代入数据计算，即可得出答案。
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