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高中数学人教新课标A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 在区间 内有一个零点 ，若用二分法求 的近似值(精确度为 )，则最少需要将区间等分的次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．函数 的零点落在 内，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．关于用二分法求近似解的精确度 的说法，正确的是（ ）
A． 越大，零点的精确度越高 B． 越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与 无关
5．若 在区间 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则不存在实数 ，使得
B．若 ，则存在且只存在一个实数 ，使得
C．若 ，则不存在实数 ，使得
D．若 ，则有可能存在实数 ，使得
6．设函数 的图象与 轴的交点为 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．用二分法求函数 的一个正实数零点时，经计算 ， ， ，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 （ ）
A．0.64 B．0.8 C．0.7 D．0.6
8．已知x0是函数 的一个零点．若 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
9．用二分法求函数 在区间 上零点的近似解，经验证有 .取区间的中点 ，计算得 ，则此时零点 (填区间)．
10．用二分法求方程 在区间 上根的近似值，先取区间中点 ，则下一个含根的区间是 ．
11．用二分法求方程 在区间 内的近似解，经过 次二分后精确度能达到 .
三、解答题
12．利用计算器，求方程 的近似解(精确度 )．
13．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
14．已知函数 .
（1）证明 有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二分法求方程的近似解；函数的零点
【解析】【解答】结合函数 的图象可知，该函数在 左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
故答案为：C.
【分析】能不能用二分法求零点，决定于零点是不是异与零点.C中函数的零点明显是同号零点，故不能用二分法求其零点.
2．【答案】A
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】易知 ， ，由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次， ，区间长度为 ，分二次， ，区间长度为 ，分三次， ，区间长度为 ，所以最少分三次可以使 的近似值达到精确度 .
故答案为：A.
【分析】根据二分法，结合精确度的要求，每一次将区间长度减半，得到结果.
3．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意知
故答案为：B.
【分析】易知函数是单调递增的，由零点存在定理可求m的范围.
4．【答案】B
【知识点】二分法的定义
【解析】【解答】由精确度 的定义知， 越大，零点的精确度越低．
故答案为：B.
【分析】二分法中精确度ε 是控制的高低的， ε 越大，零点的精确度越低．
5．【答案】D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“ 在区间 上满足 ，但其存在三个零点： 1，0，1”推翻；选项C可通过反例“ 在区间 上满足 ，但其存在两个零点： 1，1”推翻，故选D.
故答案为：D.
【分析】由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B和C.可通过反例判断；仅D正确.
6．【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 函数 为单调增函数且其图象为连续的曲线，且 ，
故答案为:C.
【分析】函数是连续递增的,由零点存在定理即可得到零点所在区间.
7．【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为 ， ，所以零点在区间 内，又精确度为 ，所以为 .
故答案为：C.
【分析】由零点存在定理，结合精确度即可.
8．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ，f(x)由两部分组成， 在 上单调递增， 在 上单调递增，∴ 在 上单调递增．∵ ，∴ ，又∵ ，∴ .
故答案为：B.
【分析】由于函数是由两个递增函数相加构成，则函数是递增函数，由零点存在定理即可得到正确选项.
9．【答案】(2， 3)
【知识点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【解答】∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2，3)．
故答案为:(2,3).
【分析】用二分法结合零点存在定理即可得到零点所在区间.
10．【答案】
【知识点】二分法求方程的近似解；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令f(x)＝lnx 2＋x，∵f(1)＝ 1<0，f(2)＝ln2>0， ，
∴下一个含根的区间是 .
故答案为：( ， 2 ) .
【分析】由方程构造函数f(x)，由二分法结合零点存在定理得到.
11．【答案】7
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】区间 的长度为1，当7次二分后区间长度为 .
故答案为:7.
【分析】二分法求方程的近似解时,每一次将区间减半,从而由精确度得到次数.
12．【答案】解：作出y＝lg x，y＝2 x的图象可以发现，方程lg x＝2 x有唯一解，设为 ，
设f(x)＝lg x＋x 2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0 ∈(1，2)；
f(1.5)<0，f(2)>0 ∈(1.5，2)； f(1.75)<0，f(2)>0 ∈(1.75，2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0 ∈(1.75，1.875)； f(1.75)<0，f(1.812 5)>0 ∈(1.75，1.812 5)．
因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，所以方程的近似解可取为1.812 5
【知识点】二分法求方程的近似解；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】先作出两个函数的图象,结合图象观察有一个交点,构造函数,计算函数值f(1),f(2)由于异与可知函数零点在区间(1,2)中,再用二分法结合精确度求解.
13．【答案】解：如图所示，
首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了
【知识点】二分法的定义
【解析】【分析】这是二分法在实际问题中的应用.由精确度得到次数.
14．【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x 6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2 2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取 ， ，
∴ .∴ 的零点 ．取 ，
则 .
∴ .∴ ．
∵ ，∴满足题意的区间为
【知识点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
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高中数学人教新课标A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程的近似解；函数的零点
【解析】【解答】结合函数 的图象可知，该函数在 左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
故答案为：C.
【分析】能不能用二分法求零点，决定于零点是不是异与零点.C中函数的零点明显是同号零点，故不能用二分法求其零点.
2．已知 在区间 内有一个零点 ，若用二分法求 的近似值(精确度为 )，则最少需要将区间等分的次数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】易知 ， ，由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次， ，区间长度为 ，分二次， ，区间长度为 ，分三次， ，区间长度为 ，所以最少分三次可以使 的近似值达到精确度 .
故答案为：A.
【分析】根据二分法，结合精确度的要求，每一次将区间长度减半，得到结果.
3．函数 的零点落在 内，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意知
故答案为：B.
【分析】易知函数是单调递增的，由零点存在定理可求m的范围.
4．关于用二分法求近似解的精确度 的说法，正确的是（ ）
A． 越大，零点的精确度越高 B． 越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与 无关
【答案】B
【知识点】二分法的定义
【解析】【解答】由精确度 的定义知， 越大，零点的精确度越低．
故答案为：B.
【分析】二分法中精确度ε 是控制的高低的， ε 越大，零点的精确度越低．
5．若 在区间 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则不存在实数 ，使得
B．若 ，则存在且只存在一个实数 ，使得
C．若 ，则不存在实数 ，使得
D．若 ，则有可能存在实数 ，使得
【答案】D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“ 在区间 上满足 ，但其存在三个零点： 1，0，1”推翻；选项C可通过反例“ 在区间 上满足 ，但其存在两个零点： 1，1”推翻，故选D.
故答案为：D.
【分析】由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B和C.可通过反例判断；仅D正确.
6．设函数 的图象与 轴的交点为 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 函数 为单调增函数且其图象为连续的曲线，且 ，
故答案为:C.
【分析】函数是连续递增的,由零点存在定理即可得到零点所在区间.
7．用二分法求函数 的一个正实数零点时，经计算 ， ， ，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 （ ）
A．0.64 B．0.8 C．0.7 D．0.6
【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为 ， ，所以零点在区间 内，又精确度为 ，所以为 .
故答案为：C.
【分析】由零点存在定理，结合精确度即可.
8．已知x0是函数 的一个零点．若 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 ，f(x)由两部分组成， 在 上单调递增， 在 上单调递增，∴ 在 上单调递增．∵ ，∴ ，又∵ ，∴ .
故答案为：B.
【分析】由于函数是由两个递增函数相加构成，则函数是递增函数，由零点存在定理即可得到正确选项.
二、填空题
9．用二分法求函数 在区间 上零点的近似解，经验证有 .取区间的中点 ，计算得 ，则此时零点 (填区间)．
【答案】(2， 3)
【知识点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【解答】∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2，3)．
故答案为:(2,3).
【分析】用二分法结合零点存在定理即可得到零点所在区间.
10．用二分法求方程 在区间 上根的近似值，先取区间中点 ，则下一个含根的区间是 ．
【答案】
【知识点】二分法求方程的近似解；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令f(x)＝lnx 2＋x，∵f(1)＝ 1<0，f(2)＝ln2>0， ，
∴下一个含根的区间是 .
故答案为：( ， 2 ) .
【分析】由方程构造函数f(x)，由二分法结合零点存在定理得到.
11．用二分法求方程 在区间 内的近似解，经过 次二分后精确度能达到 .
【答案】7
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】区间 的长度为1，当7次二分后区间长度为 .
故答案为:7.
【分析】二分法求方程的近似解时,每一次将区间减半,从而由精确度得到次数.
三、解答题
12．利用计算器，求方程 的近似解(精确度 )．
【答案】解：作出y＝lg x，y＝2 x的图象可以发现，方程lg x＝2 x有唯一解，设为 ，
设f(x)＝lg x＋x 2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0 ∈(1，2)；
f(1.5)<0，f(2)>0 ∈(1.5，2)； f(1.75)<0，f(2)>0 ∈(1.75，2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0 ∈(1.75，1.875)； f(1.75)<0，f(1.812 5)>0 ∈(1.75，1.812 5)．
因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，所以方程的近似解可取为1.812 5
【知识点】二分法求方程的近似解；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】先作出两个函数的图象,结合图象观察有一个交点,构造函数,计算函数值f(1),f(2)由于异与可知函数零点在区间(1,2)中,再用二分法结合精确度求解.
13．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.
【答案】解：如图所示，
首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m左右，查7次就可以了
【知识点】二分法的定义
【解析】【分析】这是二分法在实际问题中的应用.由精确度得到次数.
14．已知函数 .
（1）证明 有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 .
【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x 6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2 2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取 ， ，
∴ .∴ 的零点 ．取 ，
则 .
∴ .∴ ．
∵ ，∴满足题意的区间为
【知识点】二分法求方程的近似解；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间.
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