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湘教版八年级数学上册 1.5.1分式方程的概念及解法 同步练习
一、选择题
1．下面是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解方程 时，去分母得（ ）
A． B．
C．(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D．
3．分式方程 =1的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2
4．方程 的根的情况，说法正确的是（ ）
A．0是它的增根 B．－1是它的增根
C．原分式方程无解 D．1是它的根
5．（2018八上·宁城期末）若关于x的方程 有增根，则k的值为（ ）．
A．3 B．1 C．0 D．－1
二、填空题
6．分式方程 的解是 .
7．当x= 时， 的值相等．
8．分式方程 去分母时，两边都乘以 ．
9．若 ，则 = .
三、解答题
10．解下列分式方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
11．解方程：
（1） ;
（2） .
12．已知关于x的分式方程 .
（1）若方程的增根为x＝2，求a的值；
（2）若方程有增根，求a的值；
（3）若方程无解，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】A、不是方程，故本选项不符合题意；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项不符合题意；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项不符合题意；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据分式方程的定义，可得出正确选项。
2．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘(x-1)(x-3)得(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1).
故答案为：C
【分析】去分母找到最简公分母，等式两边同时乘以最简公分母，化成整式方程。
3．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣1．
故答案为：A.
【分析】分式方程，先去分母，然后合并同类项，化x前系数为1，计算出x的值。
4．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得
3(x+1)-6x=7(x-1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解。
故答案为：C.
【分析】分式方程同时乘以最简公分母，解出x的值，经过检验可得知x值为增根，判断方程无解。
5．【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】将方程的两边同时乘以(x-1)可得：3=x-1+k，解得：x=4-k，根据方程有增根可得：x=1，即4-k=1，k=3.
【分析】首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据增根为x=1代入方程的根求出k的值。
6．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：3-a=2，解得：a=1，检验：当a=1时，9-a ≠0。
所以原方程的解是：a=1.
故答案为：a=1.
【分析】分式方程先去分母，然后计算出a的值，经过检验，可得知a的值符合原方程。
7．【答案】-7
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ 的值相等，∴ ，解这个分式方程得：x=-14，经检验x=-7是分式方程 的根. 故答案为-7
【分析】根据题意得到分式方程，找出最简公分母，分式方程两边都乘以最简公分母，求出方程的解，并检验分式方程的解，得到分式方程的解.
8．【答案】(x+2)(x 2)
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘(x+2)(x 2).
故答案为：(x+2)(x 2).
【分析】分式方程的两边同时乘最简公分母，可得出化简结果。
9．【答案】-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解方程 ，得：y=-4，经检验y=-4是方程的解，
所以 =-4+1=-3，
故答案为：-3.
【分析】解出分式方程的y值，可代入多项式求出值。
10．【答案】（1）解：方程两边同乘x(x+1)，得
2（x+1）=3x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x(x+1)≠0，
所以原方程的解为x=2
（2）解：方程两边同乘（2x-1）(2x+1)，得
7（2x-1）=5（2x+1），
解得：x=3，
检验：当x=3时，（2x-1）(2x+1)≠0，
所以原方程的解为x=3
（3）解：方程两边同乘2(x+3)，得
4+3（x+3）=7，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，2(x+3)≠0，
所以原方程的解为x=-2
（4）解：方程两边同乘(x-4)，得
5-x-1=x-4，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x-4=0，x=4是增根，
所以原方程无解
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
（2）分式方程先去分母，再解出x的值，进过检验可确定方程的解。
（3）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
（4）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验，可得知x为增根。
11．【答案】（1）解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得3x(x－2)＋2(x＋2)＝3(x＋2)(x－2)．
化简得－4x＝－16，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解．
所以原方程的解是x＝4
（2）解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，去分母，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x＋1)(x－1)．
解得x＝ .
经检验，x＝ 是原方程的解．
所以原方程的解是x＝
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
（2）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
12．【答案】（1）解：原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2
（2）解：因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2
（3）解：①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.
综上所述，a的值为3或－2.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）根据题意，将增根代入方程，可求出a的值。
（2）根据题意，方程有增根，可解出a的值。
（3）根据方程无解的情况，可计算a的取值。
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湘教版八年级数学上册 1.5.1分式方程的概念及解法 同步练习
一、选择题
1．下面是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】A、不是方程，故本选项不符合题意；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项不符合题意；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项不符合题意；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据分式方程的定义，可得出正确选项。
2．解方程 时，去分母得（ ）
A． B．
C．(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘(x-1)(x-3)得(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1).
故答案为：C
【分析】去分母找到最简公分母，等式两边同时乘以最简公分母，化成整式方程。
3．分式方程 =1的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣1．
故答案为：A.
【分析】分式方程，先去分母，然后合并同类项，化x前系数为1，计算出x的值。
4．方程 的根的情况，说法正确的是（ ）
A．0是它的增根 B．－1是它的增根
C．原分式方程无解 D．1是它的根
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得
3(x+1)-6x=7(x-1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解。
故答案为：C.
【分析】分式方程同时乘以最简公分母，解出x的值，经过检验可得知x值为增根，判断方程无解。
5．（2018八上·宁城期末）若关于x的方程 有增根，则k的值为（ ）．
A．3 B．1 C．0 D．－1
【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】将方程的两边同时乘以(x-1)可得：3=x-1+k，解得：x=4-k，根据方程有增根可得：x=1，即4-k=1，k=3.
【分析】首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据增根为x=1代入方程的根求出k的值。
二、填空题
6．分式方程 的解是 .
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：3-a=2，解得：a=1，检验：当a=1时，9-a ≠0。
所以原方程的解是：a=1.
故答案为：a=1.
【分析】分式方程先去分母，然后计算出a的值，经过检验，可得知a的值符合原方程。
7．当x= 时， 的值相等．
【答案】-7
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ 的值相等，∴ ，解这个分式方程得：x=-14，经检验x=-7是分式方程 的根. 故答案为-7
【分析】根据题意得到分式方程，找出最简公分母，分式方程两边都乘以最简公分母，求出方程的解，并检验分式方程的解，得到分式方程的解.
8．分式方程 去分母时，两边都乘以 ．
【答案】(x+2)(x 2)
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘(x+2)(x 2).
故答案为：(x+2)(x 2).
【分析】分式方程的两边同时乘最简公分母，可得出化简结果。
9．若 ，则 = .
【答案】-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解方程 ，得：y=-4，经检验y=-4是方程的解，
所以 =-4+1=-3，
故答案为：-3.
【分析】解出分式方程的y值，可代入多项式求出值。
三、解答题
10．解下列分式方程．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解：方程两边同乘x(x+1)，得
2（x+1）=3x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x(x+1)≠0，
所以原方程的解为x=2
（2）解：方程两边同乘（2x-1）(2x+1)，得
7（2x-1）=5（2x+1），
解得：x=3，
检验：当x=3时，（2x-1）(2x+1)≠0，
所以原方程的解为x=3
（3）解：方程两边同乘2(x+3)，得
4+3（x+3）=7，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，2(x+3)≠0，
所以原方程的解为x=-2
（4）解：方程两边同乘(x-4)，得
5-x-1=x-4，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x-4=0，x=4是增根，
所以原方程无解
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
（2）分式方程先去分母，再解出x的值，进过检验可确定方程的解。
（3）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
（4）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验，可得知x为增根。
11．解方程：
（1） ;
（2） .
【答案】（1）解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得3x(x－2)＋2(x＋2)＝3(x＋2)(x－2)．
化简得－4x＝－16，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解．
所以原方程的解是x＝4
（2）解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，去分母，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x＋1)(x－1)．
解得x＝ .
经检验，x＝ 是原方程的解．
所以原方程的解是x＝
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】（1）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
（2）通过方程两边同时乘以最简公分母，化简为x的一次方程，求解出x的值，经过检验确定方程的解。
12．已知关于x的分式方程 .
（1）若方程的增根为x＝2，求a的值；
（2）若方程有增根，求a的值；
（3）若方程无解，求a的值．
【答案】（1）解：原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2
（2）解：因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2
（3）解：①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.
综上所述，a的值为3或－2.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）根据题意，将增根代入方程，可求出a的值。
（2）根据题意，方程有增根，可解出a的值。
（3）根据方程无解的情况，可计算a的取值。
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