【精品解析】高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习

高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习
一、选择题
1．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，且 ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． 与 相交 D． 与 异面
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】因为 ，所以 所在向量分别是 的法向量，又 ，所以 ， 故答案为：A.
【分析】根据题意利用线面垂直的性质定理得出结论即可。
2．如图，在长方体 中， ， ，则下列结论中正确的是（　　）
A． ∥ B． ∥平面
C． D． 平面
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接BD，∵ 为长方体，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥ ，∵BD∩ =D，∴AC⊥平面 ，∵ 平面 ，∴AC⊥ . 故答案为：C
【分析】利用长方体的特性可得证AC⊥平面 B D D1，再由线面垂直的性质定理可得出AC⊥ B D1即可。
3．如图所示，平面四边形 中， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列说法中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】取BD中点M，连接 ，显然 ，又 ，所以 ，所以 ， .因为 ， ，所以 ，所以 . 故答案为：D
【分析】利用折叠问题可得出A M ⊥ C D 进而得到 C D ⊥ 面 A B D ，然后得出面面垂直再由此得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出结果。
4．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③ ，则 ；
④若 ，则 .
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于①可以有 ，故不成立；关于③可以有 ，所以不成立， 故答案为：D.
【分析】利用性质定理得出每一项的反例即可得到结论。
5．已知三条不重合的直线 和两个不重合的平面 ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，且 ，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】A选项，可能有 ；B选项，若 ，则 ，无条件 ，直线 与平面 位置关系不确定；C选项，在空间中， 与 可能平行，可能异面，可能相交， 故答案为： ．
【分析】结合线面的性质和定理逐一对选项进行判断即可得出结论。
6．如图，四棱锥 的底面为正方形， ⊥底面 ，则下列结论中不正确的是（　　）
A．
B． ∥平面
C． 与 所成的角等于 与 所成的角
D． 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为SD⊥底面ABCD，所以 ，又ABCD为正方形，所以 ，所以 ，所以AC⊥SB，A正确；因为 ，所以AB∥平面SCD，故B正确；AB与SC所成的角为 ，DC与SA所成的角为 ，故不相等；很明显SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角相等. 故答案为：C
【分析】根据题意结合线面垂直的性质以及定理即可得到A正确再由线面平行的判定定理得出B正确，再利用异面直线所成角以及线面所成角的定义得出结论。
二、单选题
7．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是 （　　）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】画出图形，如图所示，
则BC∥DF，又DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由题意可得AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，则DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF 平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立． 故答案为：C
【分析】根据题意利用棱长都相等的四面体的性质可得出BC∥平面PDF，再由D、E、F分别是AB、BC、CA的中点可得出AE⊥BC，PE⊥BC再由平行关系得出DF⊥AE，DF⊥PE，利用线面垂直的判定定理可得到DF⊥平面PAE，借助面面垂直的判定定理可得证平面ABC⊥平面PAE。
8．如图，在四面体 中，若 ， ， 是 的中点，则下列正确的是（　　）
A．平面 平面
B．平面 平面
C．平面 平面 ，且平面 平面
D．平面 平面 ，且平面 平面
【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】因为 ， ， 是 的中点 ， 平面 ，由面面垂直判定定理可得平面 平面 ，平面 平面 ， 故答案为：C.
【分析】根据题意利用正四面体的性质结合面垂直判定定理可得平面 A B C ⊥ 平面 B D E ，平面 A D C ⊥ 平面 B D E即可。
三、填空题
9．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝ ，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝　 　.
【答案】7
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】取AB的中点E，连接PE，CE，
∵PA＝PB，∴PE⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥CE.∵∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝ ，PE＝ ，CE＝ ＝ ，∴PC＝ ＝7.
【分析】根据已知可得PE⊥平面ABC再利用直角三角形计算出PE、CE、PC的值即可。
10．如图，在长方体 中，给出以下四个结论：
① ∥平面 ； ② 与平面 相交；
③AD⊥平面 ； ④平面 ⊥平面 ．
其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①④
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于①，因为平面 ∥平面 ， 平面 ，故 与平面 没有公共点，所以 ∥平面 ，故①正确；对于②，因为 ∥ ，所以 平面 ，所以②错误；对于③， 与 不垂直，所以③错误；对于④，在长方体 中，容易知道 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，所以④正确.故应填①④.
【分析】根据题意在长方体中结合线面平行、面面平行的性质以及线面垂直、线面垂直的性质即可得出结论。
11．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，则平面PAB，平面PAD，平面PCD，平面PBC，平面ABCD中，互相垂直的平面有　 　对.
【答案】5
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】 ，又
，同理，平面 平面 ，平面 平面 ，所以互相垂直的平面共有5对.
【分析】由面面垂直垂直、线面垂直的性质和定理即可得出结论。
四、解答题
12．如图， 是正方形 的中心， 底面 ， 是 的中点．
求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【答案】（1）证明：如图，
连接 ，因为 分别是 的中点，所以 ，又因为 ，所以 平面 .
（2）证明： 底面 ， ，又 ，∴ ，
又因为 ，所以平面 平面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质可得出 O E ∥ P A结合线面平行的判定定理即可得出结论。(2)根据题意由已知可得到PO⊥BD结合线面垂直的判定定理可得出 B D ⊥ 平 面 P A C ，再由面面垂直的判定定理即可得出结论。
13．如图，正三棱柱 中， 是 的中点.
（1）求证：平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明：∵ 是正三棱柱，∴ 平面 ，又 平面 ，∴ .∵ 是正三角形， 是 中点，
∴ ，又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面
（2）解 ： 正三棱柱 中， ，因为 是 中点，
∴ ，
∴ .
在直角 中， ，
∵ 平面 ，
平面 ，∴ ，
∴ .
设点 到面 的距离为 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)由题意结合正三棱柱的性质可知A A1 ⊥ 平面 A B C进而得到 B E ⊥ A A1，由 Δ A B C 是正三角形 E 是 A C 中点，可得B E ⊥ A C 再由线面垂直的判定定理可得出B E ⊥ 平面 A C C1 A1，进而得到面面垂直。(2)根据题意可知点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作出，则可证CH垂直于平面BEC1，故CH为点 C到平面 B E C1的距离即为点 A 到平面 B E C1的距离.
14．在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ， 平面 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明：因为四边形 为等腰梯形， ， ，所以 ．又 ，所以 ，因此 ， ，又 ，且 ，
平面 ，所以 平面
（2）解：取 的中点 ，连接CG，FG，因为 ，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 ．
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，
故 ．所以 为二面角 的平面角．
在等腰三角形 中，由于 ，因此 ，又 ，所以 ，故 ，
因此，二面角 的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题意可得证A D ⊥ B D 、 A E ⊥ B D再由线面垂直的判定定理可得证B D ⊥ 平面 A E D。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面BDE和平面DBC的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。
1 / 1高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习
一、选择题
1．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，且 ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． 与 相交 D． 与 异面
2．如图，在长方体 中， ， ，则下列结论中正确的是（　　）
A． ∥ B． ∥平面
C． D． 平面
3．如图所示，平面四边形 中， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列说法中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③ ，则 ；
④若 ，则 .
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
5．已知三条不重合的直线 和两个不重合的平面 ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，且 ，则
6．如图，四棱锥 的底面为正方形， ⊥底面 ，则下列结论中不正确的是（　　）
A．
B． ∥平面
C． 与 所成的角等于 与 所成的角
D． 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角
二、单选题
7．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是 （　　）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
8．如图，在四面体 中，若 ， ， 是 的中点，则下列正确的是（　　）
A．平面 平面
B．平面 平面
C．平面 平面 ，且平面 平面
D．平面 平面 ，且平面 平面
三、填空题
9．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝ ，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝　 　.
10．如图，在长方体 中，给出以下四个结论：
① ∥平面 ； ② 与平面 相交；
③AD⊥平面 ； ④平面 ⊥平面 ．
其中正确结论的序号是　 　．
11．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，则平面PAB，平面PAD，平面PCD，平面PBC，平面ABCD中，互相垂直的平面有　 　对.
四、解答题
12．如图， 是正方形 的中心， 底面 ， 是 的中点．
求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
13．如图，正三棱柱 中， 是 的中点.
（1）求证：平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
14．在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ， 平面 ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】因为 ，所以 所在向量分别是 的法向量，又 ，所以 ， 故答案为：A.
【分析】根据题意利用线面垂直的性质定理得出结论即可。
2．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接BD，∵ 为长方体，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥ ，∵BD∩ =D，∴AC⊥平面 ，∵ 平面 ，∴AC⊥ . 故答案为：C
【分析】利用长方体的特性可得证AC⊥平面 B D D1，再由线面垂直的性质定理可得出AC⊥ B D1即可。
3．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】取BD中点M，连接 ，显然 ，又 ，所以 ，所以 ， .因为 ， ，所以 ，所以 . 故答案为：D
【分析】利用折叠问题可得出A M ⊥ C D 进而得到 C D ⊥ 面 A B D ，然后得出面面垂直再由此得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出结果。
4．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于①可以有 ，故不成立；关于③可以有 ，所以不成立， 故答案为：D.
【分析】利用性质定理得出每一项的反例即可得到结论。
5．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】A选项，可能有 ；B选项，若 ，则 ，无条件 ，直线 与平面 位置关系不确定；C选项，在空间中， 与 可能平行，可能异面，可能相交， 故答案为： ．
【分析】结合线面的性质和定理逐一对选项进行判断即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为SD⊥底面ABCD，所以 ，又ABCD为正方形，所以 ，所以 ，所以AC⊥SB，A正确；因为 ，所以AB∥平面SCD，故B正确；AB与SC所成的角为 ，DC与SA所成的角为 ，故不相等；很明显SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角相等. 故答案为：C
【分析】根据题意结合线面垂直的性质以及定理即可得到A正确再由线面平行的判定定理得出B正确，再利用异面直线所成角以及线面所成角的定义得出结论。
7．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】画出图形，如图所示，
则BC∥DF，又DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由题意可得AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，则DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF 平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立． 故答案为：C
【分析】根据题意利用棱长都相等的四面体的性质可得出BC∥平面PDF，再由D、E、F分别是AB、BC、CA的中点可得出AE⊥BC，PE⊥BC再由平行关系得出DF⊥AE，DF⊥PE，利用线面垂直的判定定理可得到DF⊥平面PAE，借助面面垂直的判定定理可得证平面ABC⊥平面PAE。
8．【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】因为 ， ， 是 的中点 ， 平面 ，由面面垂直判定定理可得平面 平面 ，平面 平面 ， 故答案为：C.
【分析】根据题意利用正四面体的性质结合面垂直判定定理可得平面 A B C ⊥ 平面 B D E ，平面 A D C ⊥ 平面 B D E即可。
9．【答案】7
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】取AB的中点E，连接PE，CE，
∵PA＝PB，∴PE⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥CE.∵∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝ ，PE＝ ，CE＝ ＝ ，∴PC＝ ＝7.
【分析】根据已知可得PE⊥平面ABC再利用直角三角形计算出PE、CE、PC的值即可。
10．【答案】①④
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于①，因为平面 ∥平面 ， 平面 ，故 与平面 没有公共点，所以 ∥平面 ，故①正确；对于②，因为 ∥ ，所以 平面 ，所以②错误；对于③， 与 不垂直，所以③错误；对于④，在长方体 中，容易知道 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，所以④正确.故应填①④.
【分析】根据题意在长方体中结合线面平行、面面平行的性质以及线面垂直、线面垂直的性质即可得出结论。
11．【答案】5
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】 ，又
，同理，平面 平面 ，平面 平面 ，所以互相垂直的平面共有5对.
【分析】由面面垂直垂直、线面垂直的性质和定理即可得出结论。
12．【答案】（1）证明：如图，
连接 ，因为 分别是 的中点，所以 ，又因为 ，所以 平面 .
（2）证明： 底面 ， ，又 ，∴ ，
又因为 ，所以平面 平面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质可得出 O E ∥ P A结合线面平行的判定定理即可得出结论。(2)根据题意由已知可得到PO⊥BD结合线面垂直的判定定理可得出 B D ⊥ 平 面 P A C ，再由面面垂直的判定定理即可得出结论。
13．【答案】（1）证明：∵ 是正三棱柱，∴ 平面 ，又 平面 ，∴ .∵ 是正三角形， 是 中点，
∴ ，又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面
（2）解 ： 正三棱柱 中， ，因为 是 中点，
∴ ，
∴ .
在直角 中， ，
∵ 平面 ，
平面 ，∴ ，
∴ .
设点 到面 的距离为 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)由题意结合正三棱柱的性质可知A A1 ⊥ 平面 A B C进而得到 B E ⊥ A A1，由 Δ A B C 是正三角形 E 是 A C 中点，可得B E ⊥ A C 再由线面垂直的判定定理可得出B E ⊥ 平面 A C C1 A1，进而得到面面垂直。(2)根据题意可知点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作出，则可证CH垂直于平面BEC1，故CH为点 C到平面 B E C1的距离即为点 A 到平面 B E C1的距离.
14．【答案】（1）证明：因为四边形 为等腰梯形， ， ，所以 ．又 ，所以 ，因此 ， ，又 ，且 ，
平面 ，所以 平面
（2）解：取 的中点 ，连接CG，FG，因为 ，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 ．
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，
故 ．所以 为二面角 的平面角．
在等腰三角形 中，由于 ，因此 ，又 ，所以 ，故 ，
因此，二面角 的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)由题意可得证A D ⊥ B D 、 A E ⊥ B D再由线面垂直的判定定理可得证B D ⊥ 平面 A E D。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面BDE和平面DBC的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。
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