高中数学人教新课标A版必修1第三章3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数
2．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．四人赛跑，假设他们跑过的路程 和时间 的函数关系分别是 ， ， ， ，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在 年内增加了 ，若按此规律，设 年的森林面积为 ，从 年起，经过 年后森林面积 与 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知镭经过 年剩留原来质量的 ，设质量为 的镭经过 年后的剩留量为 ，则 ， 之间的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中在某个区间 内随 增大而增大速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
7．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的
C．对任意的
D．不一定存在 ，当 时，总有
8．三个变量 ， ， 随着变量 的变化情况如下表：
则关于 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
二、填空题
9．某种病毒经 分钟繁殖为原来的 倍，且知病毒的繁殖规律为 (其中 为常数， 表示时间，单位：小时， 表示病毒个数)，则 ，经过 小时， 个病毒能繁殖为 个．
10．某工厂生产某种产品的月产量 与月份 之间满足关系 .现已知该厂今年 月份、 月份生产该产品分别为 万件、 万件．则此工厂 月份该产品的产量为 万件．
11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 关于时间 的函数关系式分别为 ， ， ， ，有以下结论：
①当 时，甲走在最前面；
②当 时，乙走在最前面；
③当 时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．
三、解答题
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量(千件) 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数 或 ( 为常数，且 )来模拟这种电脑元件的月产量 千件与月份 的关系．请问：用以上哪个函数模拟较好？说明理由．
13．函数 ， ， 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以 ， ， ， ， ， 为分界点)．
14．某地西红柿从 月 日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本 (就是每 公斤西红柿的种植成本，单位：元)与上市时间 (单位：天)的数据如下表：
上市时间 50 110 250
种植成本 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间 的变化关系： ； ； ； ，并求出函数解析式；
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，
故选 D．
【分析】由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
2．【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】结合 ， 及 的图象易知，当 时， . 故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
3．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ， 故答案为：D.
【分析】结合指数函数的单调性即可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设平均每年增加 ，则 ，可知，经过x年后森林面积 与 的函数关系式为 . 故答案为：C
【分析】根据题意利用已知条件即可得出函数的解析式。
5．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】特殊值法，将 代入各选项. 故答案为：A
【分析】根据题意结合已知条件即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当自变量 大于某个数 时，指数的增长是“爆炸式”的，且底数越大，增长越快，又 ，故函数 随 增大而增大的速度最快. 故答案为：C
【分析】根据题意结合幂函数的增减性即可推导出结论。
7．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当 时，显然不成立；当 ， 时，一定存在 ，使得当 时，总有 ，但若去掉限制条件“ ， ”，则结论不成立． 故答案为：D.
【分析】根据题意结合幂函数的性质利用函数的增长幅度即可得出结论。
8．【答案】C
【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 随 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快， 随 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， 随 的变化符合此规律， 故答案为：C.
【分析】根据题意结合图表的数值利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
9．【答案】；
【知识点】函数的值
【解析】【解答】当 时， ，∴5＝ ，
∴ .∴ .当 时， .
【分析】根据题意代入数值求出结果即可。
10．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由已知得 解得 ∴ .当 时， .
【分析】利用待定系数法求出a、b的值进而得到f(x)的解析式，代入数值求出结果即可。
11．【答案】③④⑤
【知识点】函数的值；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】路程 关于时间 的函数关系式是 ， ， ， ，
它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．
当 时， ,∴命题①不正确；
当 时， ，∴命题②不正确；
对数型函数的变化是先快后慢，当 时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当 时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面，命题③正确；指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．
【分析】根据题意利用指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型代入数值求出结果即可。
12．【答案】解：选 较好.理由如下：将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或 解得 (两方程组的解相同)．
∴两函数分别为 或 .
当 时，对于 有 ；
当 时，对于 有 .
由于56与53.9的误差较大，∴选 较好．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】根据题意利用待定系数法求出函数的解析式，代入数值求出结果即可进行比较，即可得出结论。
13．【答案】解：由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可得出曲线 对应的函数是
，曲线 对应的函数是 ，曲线 对应的函数是 .由图象可得：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】根据题意结合函数的图象结合幂函数的增减性即可得出结论。
14．【答案】（1）解：由提供的数据知道，描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数 ， ， 中的任意一个进行描述时都应有 ，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数 进行描述．
将表格所提供的三组数据分别代入 ，得到
解方程组得
所以描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为：
（2）解：当 时，西红柿种植成本最低为： (元)
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)根据题意结合已知列出函数的解析式即可。(2)结合同意代入数值求出结果即可。
1 / 1高中数学人教新课标A版必修1第三章3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数
【答案】D
【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，
故选 D．
【分析】由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
2．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】结合 ， 及 的图象易知，当 时， . 故答案为：A
【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
3．四人赛跑，假设他们跑过的路程 和时间 的函数关系分别是 ， ， ， ，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ， 故答案为：D.
【分析】结合指数函数的单调性即可得出结论。
4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在 年内增加了 ，若按此规律，设 年的森林面积为 ，从 年起，经过 年后森林面积 与 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设平均每年增加 ，则 ，可知，经过x年后森林面积 与 的函数关系式为 . 故答案为：C
【分析】根据题意利用已知条件即可得出函数的解析式。
5．已知镭经过 年剩留原来质量的 ，设质量为 的镭经过 年后的剩留量为 ，则 ， 之间的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】特殊值法，将 代入各选项. 故答案为：A
【分析】根据题意结合已知条件即可得出结论。
6．下列函数中在某个区间 内随 增大而增大速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当自变量 大于某个数 时，指数的增长是“爆炸式”的，且底数越大，增长越快，又 ，故函数 随 增大而增大的速度最快. 故答案为：C
【分析】根据题意结合幂函数的增减性即可推导出结论。
7．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的
C．对任意的
D．不一定存在 ，当 时，总有
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当 时，显然不成立；当 ， 时，一定存在 ，使得当 时，总有 ，但若去掉限制条件“ ， ”，则结论不成立． 故答案为：D.
【分析】根据题意结合幂函数的性质利用函数的增长幅度即可得出结论。
8．三个变量 ， ， 随着变量 的变化情况如下表：
则关于 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量 随 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快， 随 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， 随 的变化符合此规律， 故答案为：C.
【分析】根据题意结合图表的数值利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。
二、填空题
9．某种病毒经 分钟繁殖为原来的 倍，且知病毒的繁殖规律为 (其中 为常数， 表示时间，单位：小时， 表示病毒个数)，则 ，经过 小时， 个病毒能繁殖为 个．
【答案】；
【知识点】函数的值
【解析】【解答】当 时， ，∴5＝ ，
∴ .∴ .当 时， .
【分析】根据题意代入数值求出结果即可。
10．某工厂生产某种产品的月产量 与月份 之间满足关系 .现已知该厂今年 月份、 月份生产该产品分别为 万件、 万件．则此工厂 月份该产品的产量为 万件．
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由已知得 解得 ∴ .当 时， .
【分析】利用待定系数法求出a、b的值进而得到f(x)的解析式，代入数值求出结果即可。
11．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 关于时间 的函数关系式分别为 ， ， ， ，有以下结论：
①当 时，甲走在最前面；
②当 时，乙走在最前面；
③当 时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．
【答案】③④⑤
【知识点】函数的值；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】路程 关于时间 的函数关系式是 ， ， ， ，
它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．
当 时， ,∴命题①不正确；
当 时， ，∴命题②不正确；
对数型函数的变化是先快后慢，当 时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当 时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面，命题③正确；指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．
【分析】根据题意利用指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型代入数值求出结果即可。
三、解答题
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
月份 1 2 3
产量(千件) 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数 或 ( 为常数，且 )来模拟这种电脑元件的月产量 千件与月份 的关系．请问：用以上哪个函数模拟较好？说明理由．
【答案】解：选 较好.理由如下：将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或 解得 (两方程组的解相同)．
∴两函数分别为 或 .
当 时，对于 有 ；
当 时，对于 有 .
由于56与53.9的误差较大，∴选 较好．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】根据题意利用待定系数法求出函数的解析式，代入数值求出结果即可进行比较，即可得出结论。
13．函数 ， ， 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以 ， ， ， ， ， 为分界点)．
【答案】解：由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间，可得出曲线 对应的函数是
，曲线 对应的函数是 ，曲线 对应的函数是 .由图象可得：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】根据题意结合函数的图象结合幂函数的增减性即可得出结论。
14．某地西红柿从 月 日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本 (就是每 公斤西红柿的种植成本，单位：元)与上市时间 (单位：天)的数据如下表：
上市时间 50 110 250
种植成本 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间 的变化关系： ； ； ； ，并求出函数解析式；
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【答案】（1）解：由提供的数据知道，描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数 ， ， 中的任意一个进行描述时都应有 ，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数 进行描述．
将表格所提供的三组数据分别代入 ，得到
解方程组得
所以描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为：
（2）解：当 时，西红柿种植成本最低为： (元)
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)根据题意结合已知列出函数的解析式即可。(2)结合同意代入数值求出结果即可。
1 / 1
