人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1
一、单选题
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 （ ）
A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
【答案】D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】由圆x2＋y2－4x＋6y＝0的方程；代入圆心坐标公式 ， 可得； .
故答案为：D.
【分析】用圆一般式方程中圆心坐标公式求圆心坐标.
2．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为 （ ）
A．－2，4，4 B．－2，－4，4 C．2，－4，4 D．2，－4，－4
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】方程 可化为 ，所以 ，解 得 .
故答案为：A.
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程，对比圆心坐标和半径得到a，b，c的方程组求a，b，c的值.
3．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为 （ ）
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆的标准方程为 ，由已知有 ，解得 ，所以圆的标准方程为 ，即 .
故答案为：A.
【分析】设出圆的标准方程，用待定系数法得互关于a，b，r的方程组求得.
4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
故答案为：B.
【分析】将原点坐标代入到圆的方程中，由点和圆的关系判断.
5．（2017高一下·包头期末）若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为 ，则a的值为 （ ）
A．－2或2 B． 或 C．2或0 D．－2或0
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆 ，
化成标准方程为 ，
圆心 到直线的距离 ，
解得 或 ，
故答案为： ．
【分析】利用点到直线的距离公式代入数值即可求出.
6．圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是 （ ）
A．(x－1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝2
C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x＋1)2＋y2＝4
【答案】A
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】圆 的标准方程为 ，所以圆心为（0，1），半径为 ，圆心关于直线 的对称点是（1，0），所以圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是 .
故答案为：A.
【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，求出圆心关于直线的对称点的坐标即是所求圆的圆心，半径不变得到圆的方程.
7．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程；圆的一般方程
【解析】【解答】圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为（a， ），则a<0，b>0.直线y＝ － ，其斜率k＝ >0，在y轴上的截距为－ >0，所以直线不经过第四象限.
故答案为：D．
【分析】由圆的方程求出圆心的坐标，根据圆心所在的象限得a，b的范围，再判断目标直线不经过的象限.
8．在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】把圆的方程化为标准方程得 ，则圆心坐标为 ，半径为 ，根据题意过点 最长的弦为直径 ，最短的弦为过点 与直径 垂直的弦BD，则 ，所以 ，又 ，所以四边形的面积 ．
故答案为: .
【分析】根据圆的性质,过圆内一点的最长弦就是过点的直径,最短弦就是过点的垂径.
9．若点(2a，a－1)在圆x2＋y2－2y－5a2＝0的内部，则a的取值范围是 （ ）
A．(－∞， ] B．(－ ， )
C．(－ ，＋∞) D．( ，＋∞)
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】将圆x2＋y2－2y－5a2＝0化为标准方程为 ，由已知有 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】由点和圆的位置关系，将点坐标代入到圆的方程中求解.
10．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为 （ ）
A． B．5 C．2 D．10
【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的标准方程为 ，圆心 ，所以 ，则 .
故答案为：B.
【分析】当直线平分圆的周长时，直线一定过圆心，得到a，b之间的关系式，再将目标式化为关于a的二次函数求最值.
二、填空题
11．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为 .
【答案】x2＋y2＋6x－8y－48＝0
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】圆的半径 ，
∴圆的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝73，
故答案为:x2＋y2＋6x－8y－48＝0．
【分析】由圆心和点求出半径,再写出圆的方程.
12．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是 .
【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
【知识点】轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】设PA的中点M的坐标为 ， ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为 ，由已知有 ，则 ，又P点在圆上，所以 ，所以 ，故答案为: 。
【分析】先求出圆心坐标,设动点M坐标为(x,y),用中点坐标公式用点M的坐标表示出点P的坐标代入到圆方程中即得点P的轨迹方程.
13．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝ .
【答案】-2
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】经分析知，直线 经过圆C的圆心，而圆C的圆心坐标为 ，所以有 。
故答案为:-2.
【分析】当圆上任一点关于直线的对称点也在圆上时,说明直线过圆心,求出a的值.
14．若实数x、y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则 的最大值是 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆方程的综合应用
【解析】【解答】将方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0化为 ，表示以 为圆心，半径为3的圆， 表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0，0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为 .
故答案为： +3.
【分析】由目标式的几何意义是表示点到原点的距离，结合圆的性质求解.
三、解答题
15．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.
【答案】解：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ |m－2|
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【分析】将圆的一般式方程化为标准方程,得到圆心坐标及表示圆的条件.
16．求过点A(－1，0)、B(3，0)和C(0，1)的圆的方程.
【答案】解：线段AB的中点坐标为 ，即 ，且线段AB的斜率为0，所以其中垂线的斜率不存在，则中垂线方程为x＝1，线段AC的中点坐标为 ，即 ，斜率为 ，所以中垂线的斜率为-1，中垂线方程为 ，即x＋y＝0，由 ，得圆心坐标为M(1，－1)，半径r＝|MA|＝ ，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5
【知识点】圆的一般方程
【解析】【分析】求过三点的圆的方程，即三角形的外接圆，由中垂线的交点为圆心，再嫠半径得方程.
17．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
【答案】解：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．因为A、B在圆上，所以x ＋y ＝4，x ＋y ＝4，两式相减得x －x ＋y －y ＝0，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)· ＝0，①并且 ②将②代入①并整理得x2＋(y－ )2＝ .③当x1＝x2时，点A、B的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足③.所以点P的轨迹方程为x2＋(y－ )2＝ .
【知识点】轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】求动弦中点轨迹方程用点差法.
18．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆的半径r的取值范围；
（3）求圆心C的轨迹方程．
【答案】（1）解：x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0
（2）解：
（3）解：设圆心的坐标为（x,y）,则
m=x-3代入 得
因为 ，即轨迹为抛物线的一段
所以圆心的轨迹方程为 ，（ ）
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【分析】(1)将圆的方程化为标准方程得到表示圆的条件;
(2)将圆的半径表示为m的函数式,求范围;
(3)将圆心坐标表示为参数方程化为普通方程即可.
1 / 1人教新课标A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程同步训练1
一、单选题
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 （ ）
A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为 （ ）
A．－2，4，4 B．－2，－4，4 C．2，－4，4 D．2，－4，－4
3．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为 （ ）
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
5．（2017高一下·包头期末）若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为 ，则a的值为 （ ）
A．－2或2 B． 或 C．2或0 D．－2或0
6．圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是 （ ）
A．(x－1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝2
C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x＋1)2＋y2＝4
7．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．若点(2a，a－1)在圆x2＋y2－2y－5a2＝0的内部，则a的取值范围是 （ ）
A．(－∞， ] B．(－ ， )
C．(－ ，＋∞) D．( ，＋∞)
10．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为 （ ）
A． B．5 C．2 D．10
二、填空题
11．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为 .
12．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是 .
13．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝ .
14．若实数x、y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则 的最大值是 .
三、解答题
15．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.
16．求过点A(－1，0)、B(3，0)和C(0，1)的圆的方程.
17．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
18．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆的半径r的取值范围；
（3）求圆心C的轨迹方程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】由圆x2＋y2－4x＋6y＝0的方程；代入圆心坐标公式 ， 可得； .
故答案为：D.
【分析】用圆一般式方程中圆心坐标公式求圆心坐标.
2．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】方程 可化为 ，所以 ，解 得 .
故答案为：A.
【分析】将圆的一般式方程化为标准方程，对比圆心坐标和半径得到a，b，c的方程组求a，b，c的值.
3．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆的标准方程为 ，由已知有 ，解得 ，所以圆的标准方程为 ，即 .
故答案为：A.
【分析】设出圆的标准方程，用待定系数法得互关于a，b，r的方程组求得.
4．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
故答案为：B.
【分析】将原点坐标代入到圆的方程中，由点和圆的关系判断.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆 ，
化成标准方程为 ，
圆心 到直线的距离 ，
解得 或 ，
故答案为： ．
【分析】利用点到直线的距离公式代入数值即可求出.
6．【答案】A
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】圆 的标准方程为 ，所以圆心为（0，1），半径为 ，圆心关于直线 的对称点是（1，0），所以圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是 .
故答案为：A.
【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，求出圆心关于直线的对称点的坐标即是所求圆的圆心，半径不变得到圆的方程.
7．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程；圆的一般方程
【解析】【解答】圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为（a， ），则a<0，b>0.直线y＝ － ，其斜率k＝ >0，在y轴上的截距为－ >0，所以直线不经过第四象限.
故答案为：D．
【分析】由圆的方程求出圆心的坐标，根据圆心所在的象限得a，b的范围，再判断目标直线不经过的象限.
8．【答案】B
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】把圆的方程化为标准方程得 ，则圆心坐标为 ，半径为 ，根据题意过点 最长的弦为直径 ，最短的弦为过点 与直径 垂直的弦BD，则 ，所以 ，又 ，所以四边形的面积 ．
故答案为: .
【分析】根据圆的性质,过圆内一点的最长弦就是过点的直径,最短弦就是过点的垂径.
9．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】将圆x2＋y2－2y－5a2＝0化为标准方程为 ，由已知有 ，解得 .
故答案为：D.
【分析】由点和圆的位置关系，将点坐标代入到圆的方程中求解.
10．【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的标准方程为 ，圆心 ，所以 ，则 .
故答案为：B.
【分析】当直线平分圆的周长时，直线一定过圆心，得到a，b之间的关系式，再将目标式化为关于a的二次函数求最值.
11．【答案】x2＋y2＋6x－8y－48＝0
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】圆的半径 ，
∴圆的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝73，
故答案为:x2＋y2＋6x－8y－48＝0．
【分析】由圆心和点求出半径,再写出圆的方程.
12．【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
【知识点】轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】设PA的中点M的坐标为 ， ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为 ，由已知有 ，则 ，又P点在圆上，所以 ，所以 ，故答案为: 。
【分析】先求出圆心坐标,设动点M坐标为(x,y),用中点坐标公式用点M的坐标表示出点P的坐标代入到圆方程中即得点P的轨迹方程.
13．【答案】-2
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】经分析知，直线 经过圆C的圆心，而圆C的圆心坐标为 ，所以有 。
故答案为:-2.
【分析】当圆上任一点关于直线的对称点也在圆上时,说明直线过圆心,求出a的值.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆方程的综合应用
【解析】【解答】将方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0化为 ，表示以 为圆心，半径为3的圆， 表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0，0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为 .
故答案为： +3.
【分析】由目标式的几何意义是表示点到原点的距离，结合圆的性质求解.
15．【答案】解：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ |m－2|
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【分析】将圆的一般式方程化为标准方程,得到圆心坐标及表示圆的条件.
16．【答案】解：线段AB的中点坐标为 ，即 ，且线段AB的斜率为0，所以其中垂线的斜率不存在，则中垂线方程为x＝1，线段AC的中点坐标为 ，即 ，斜率为 ，所以中垂线的斜率为-1，中垂线方程为 ，即x＋y＝0，由 ，得圆心坐标为M(1，－1)，半径r＝|MA|＝ ，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5
【知识点】圆的一般方程
【解析】【分析】求过三点的圆的方程，即三角形的外接圆，由中垂线的交点为圆心，再嫠半径得方程.
17．【答案】解：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．因为A、B在圆上，所以x ＋y ＝4，x ＋y ＝4，两式相减得x －x ＋y －y ＝0，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)· ＝0，①并且 ②将②代入①并整理得x2＋(y－ )2＝ .③当x1＝x2时，点A、B的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足③.所以点P的轨迹方程为x2＋(y－ )2＝ .
【知识点】轨迹方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】求动弦中点轨迹方程用点差法.
18．【答案】（1）解：x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0
（2）解：
（3）解：设圆心的坐标为（x,y）,则
m=x-3代入 得
因为 ，即轨迹为抛物线的一段
所以圆心的轨迹方程为 ，（ ）
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【分析】(1)将圆的方程化为标准方程得到表示圆的条件;
(2)将圆的半径表示为m的函数式,求范围;
(3)将圆心坐标表示为参数方程化为普通方程即可.
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