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真题卷11 不等式（选择题、填空题）
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
1．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
4．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．（2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
6．（2019·全国·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
6．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
7．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
8．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．A
【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
9．（2018·全国·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
9．B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
10．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
10．C
【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
11．（2006·上海·高考真题）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
11．C
【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
12．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
13．（2020·浙江·统考高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
13．C
【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，设，则的零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
14．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
14．C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程 曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识 基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
15．（2010·重庆·高考真题）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A．3 B．4 C． D．
15．B
【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，
二、多选题
16．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
16．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
17．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
17．ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
三、填空题
18．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为 ．
18．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
19．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
19．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
20．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是 ．
20．
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
21．（2019·天津·高考真题）设，则的最小值为 .
21．
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
22．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 .
22．.
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
23．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 .
23．
【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
【详解】由可知，
且：，因为对于任意，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
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真题卷11 不等式（选择题、填空题）
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2019·全国·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
7．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018·全国·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
10．（2012·浙江·高考真题）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
11．（2006·上海·高考真题）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
12．（2020·山东·统考高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·浙江·统考高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
14．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
15．（2010·重庆·高考真题）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A．3 B．4 C． D．
二、多选题
16．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
18．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为 ．
19．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
20．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是 ．
21．（2019·天津·高考真题）设，则的最小值为 .
22．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 .
23．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 .
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试卷第1页，共1页
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