3.2勾股定理的逆定理 课件（共30张PPT）

第3章 · 勾股定理
3.2　勾股定理的逆定理
学习目标
1. 探究并证明勾股定理逆定理，体会“数”与“形”的内在联系；
2. 会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形；
3. 知道“勾股数”的意义.
问题情境
上节课我们学习了：
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，
如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
操作与思考
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
B
3
4
C
A
5
B
5
12
C
A
13
B
8
15
C
A
17
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
操作与思考
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
82+152=172
32+42=52
52+122=132
a2+b2=c2
思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？
操作与思考
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
你能证明这个猜想吗？
A
b
a
C
B
c
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
操作与思考
A
b
a
C
B
c
A′
b
a
C′
B′
∟
证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因为 AB2= a2+b2，
根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
新知归纳
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
b
a
C
B
c
符号语言：
在△ABC中，
∵a?+b?=c?，
∴△ABC为直角三角形.
作用：判定一个三角形是否是直角三角形.
这个结论与勾股定理有什么关系呢？
哪个角是直角
最长边所对应的角为直角，∠C=90°.
新知归纳
勾股定理与其逆定理对比：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
勾股定理
勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2 + b2 = c2
∠C=90°
数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
新知应用
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，
∴ 82＋152＝172.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，
∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
新知巩固
(1) a=7，b=25，c=24；
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，
∴ 72＋242＝252.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)设a=3k、b=4k、c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
新知归纳
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
1.找：确定三角形的最长边;
2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;
3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等;
4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不
是直角三角形.
例题讲解
例1 像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}a
3
5
7
9
11
…
2n+1
b
4
12
24
40
　60
…
2n(n＋1)
c
5
13
25
　41
61
…
2n(n＋1)＋1
①从上面2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数的性质
例题讲解
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股数可以构造直角三角形.
知识窗
美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”(plimpton322)的古巴比伦泥板. 泥板上的一些神秘符号揭示了什么奥秘呢？
翻译图
经过专家的潜心研究，发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长，只要再添加一列数(如图左边的一列)，那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．这些数组都是勾股数组. 人们经过研究发现：勾股数有无数多组.
新知巩固
例2 如图是由边长为1的小正方形组成的网格.
(1) 你能判断AD与CD的位置关系吗？说出你的理由.
(2) 求四边形ABCD的面积.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}























A
B
C
D
解：(1)
∵ AD2=1+4=5，CD2=4+16=20 ，AC= 5
连接AC.
∴ AD2+CD2＝25，AC2＝25
∴ AD2+CD2＝AC2
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°.
∴ AD⊥CD
(2) S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC
=????????×5×2+????????×5×3=????????????
?
1. 下列是直角三角形的有（?? ? ）个
①△ABC中a?=c?-b?；
②△ABC的三内角之比为3：4：7；
③ △ABC的三边平方之比为1：2：3；
④ 三角形三边之比为3：4：5
A．１　 B．2　　 C．3　　 D．4
D
新知巩固
归纳总结
用角判断：
1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形；
2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；
用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理(a?+b?=c?)进行判断.
判断三角形是直角三角形的方法：
新知巩固
2.下列各组数中,是勾股数的为（　 ）
A. ????????、????????、???????? B. 0.6、0.8、1.0
C. 1、2、3 D. 3k、4k、5k(k为正整数)
?
D
判断三个数是不是勾股数的“三步法”:
(1)判断三个数是否都为正整数;
(2)确定最大数;
(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方.
3. △ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．
问：△ABC是直角三角形吗？证明你的结论.
解：∵AB?+BC?=(n?-1)?+(2n)?
=n4 -2n?+1+4n?
=n4 +2n?+1
=(n?+1)?
=AC?，
∴ 由勾股定理的逆定理得△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
新知巩固
4.如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由.
C
A
B
D
∟
新知巩固
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.
在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20.
∵AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25.
∴AC2+AB2=BC2.
∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.
1
2
4
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容
应用
勾股数
a2+b2=c2
直角三角形且∠C=90°
判定一个三角形为直角三角形
满足a2+b2=c2的三个正整数
注意：最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
当堂检测
1.下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（　 ） A．3，4，5 　 B．10，6，8
C．4，5，6 　 D．12，13，5
C
2.下列各组数是勾股数的是 （　 ）
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
当堂检测
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A=∠C=∠B
B. ????????=(????+????)(?????????)
C. ∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D. a : b : c=5 : 4 : 3
?
C
当堂检测
4.如图所示正方形网格中的△ABC，若小方的格边长为1，则△ABC的形状为 （　　）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
A
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A
C
B
当堂检测
5. △ABC的三边分别是a、b、c且满足|a-8 |+(b-6)2=0，则当c2=_______时，△ABC是直角三角形.
100或28
4．若一个三角形的三边长满足a2－b2＝c2，则这个三角形一定是 ________三角形．
直角
当堂检测
解：
∴ 根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形.
172＝289，
∵152+82＝289，
∴ S=????????×????????×????=60cm2.
?
6．若一个三角形的三边长分别为8 cm，15 cm，17 cm，求该三角形的面积及最长边上的高．
令斜边上的高为x cm，则有17x＝8×15，
∴ x＝????????????????????cm，∴最长边上的高为????????????????????cm.
?
7. 在△ABC中，D为BC边上的点.已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长.
A
B
C
D
解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴ AB2=AD2+BD2.
∴ 由勾股定理的逆定理得：△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.
∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2.
∵AD=12，AC=15,
∴DC2=AC2-AD2=152-122=92.
∴ DC=9.
当堂检测
当堂检测
8．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b＝________，c＝________；
(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值；
180
181
解：通过观察知c－b＝1，
∵(2n＋1)2＋b2＝c2，∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2，∴b＋c＝(2n＋1)2.又∵c＝b＋1，
∴2b＋1＝(2n＋1)2，∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1.
当堂检测
(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
解：不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数，当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．