2.1 函数概念 同步练习（含解析）

第2章 2.1 函数概念
一、选择题
1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
2．下列各组函数中表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝，g(x)＝x＋1
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝·，g(x)＝
3．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[2,3) B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
4．设f(x)＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
5．若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
6．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有
(　　)
A．10个 B．9个
C．8个 D．4个
二、填空题
8．函数y＝＋的定义域为________．
9．函数f(x)＝x2－2x，x∈{－1,0,1}的值域为________.
10．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是________．
11．(一题两空)已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，则
f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________.
12．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的值为________．
三、解答题
13．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f 的值；
(3)当a>0，求f(a)，f(a－1)的值．
14．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f 的值；
(2)求证：f(x)＋f 是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(9)＋f ＋f(10)＋f 的值．
第2章 2.1 函数概念
一、选择题
1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
C　[A中，x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中，x＝1时|x－1|＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．]
2．下列各组函数中表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝，g(x)＝x＋1
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝·，g(x)＝
C　[对于A选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，∴不是同一函数．
对于B选项，f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，∴不是同一函数．
对于C选项，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数．
对于D选项，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴不是同一函数．故选C.]
3．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[2,3) B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
C　[由解得x≥2，且x≠3.故函数f(x)的定义域为[2,3)∪(3，
＋∞)．]
4．设f(x)＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
B　[∵f(2)＝＝，f ＝＝－，
∴＝－1.]
5．若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
A　[∵f(4x)＝＝x，∴4x2－4x＋1＝0，∴x＝.]
6．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
ABD　[在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．]
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有
(　　)
A．10个 B．9个
C．8个 D．4个
B　[由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
二、填空题
8．函数y＝＋的定义域为________．
[2，＋∞)　[要使函数式有意义，需所以x≥2.]
9．函数f(x)＝x2－2x，x∈{－1,0,1}的值域为________.
{3,0，－1}　[因为f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，f(0)＝02－2×0＝0，f(1)＝12－2×1＝－1，所以f(x)的值域为{3,0，－1}．]
10．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是________．
(－∞，3]　[由题可知，g(x)的定义域为{x|x11．(一题两空)已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，则
f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________.
－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1　[由题意知解得
所以f(x)＝x2－x－1，
故f(－1)＝1.
f(f(－1))＝－1，f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.]
12．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的值为________．
0　[函数y＝的定义域是使k2x2＋3kx＋1≠0成立的实数x的集合．
由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此，k＝0符合题意；
当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，又Δ＝9k2－4k2＝5k2>0，不存在满足条件的k值．
综上可知，实数k的值为0.]
三、解答题
13．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f 的值；
(3)当a>0，求f(a)，f(a－1)的值．
[解]　(1)要使函数有意义，则
即x≥－3，且x≠－2，
故函数的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝0－1＝－1.
f ＝＋＝＋＝＋.
(3)因为a>0，所以f(a)，f(a－1)有意义，
所以f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
14．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
[解]　(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，
f(g(x))＝＝＝(x≠0)．
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f 的值；
(2)求证：f(x)＋f 是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(9)＋f ＋f(10)＋f 的值．
[解]　(1)因为f(x)＝，所以f(2)＋f ＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f ＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f ＝1，
所以f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f ＝1，
f(3)＋f ＝1，
f(4)＋f ＝1，
…
f(10)＋f ＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(9)＋f ＋f(10)＋f ＝10.
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