第2章 3.1 函数的单调性 同步练习（含解析）

第2章 3.1 函数的单调性
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
3．函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是
(　　)
A．(0，＋∞) B．
C． D．
4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a<3
C．a≤－3 D．a≥－3
6．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋.
7．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有(　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．f(x1)>f(x2)
二、填空题
8．如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．
9．已知函数f(x)为定义在区间(－1,1)上的减函数，则满足f(x)>f(0)的实数x的取值范围为________．
10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
12．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
三、解答题
13．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
14．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．
15．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f ＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f ≤2.
第2章 3.1 函数的单调性
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
A　[因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.]
2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B　[函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．]
3．函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是
(　　)
A．(0，＋∞) B．
C． D．
D　[当k＝0时，f(x)＝－2x－5在R上单调递减，不符合题意．当k≠0时，因为函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，
所以解得k≥，
综上所述，k的取值范围是.]
4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C　[由已知条件得：>1，不等式等价于 ，解得－15．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a<3
C．a≤－3 D．a≥－3
C　[y＝＝1＋，
由题意知 ，解得a≤－3.]
6．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋.
CD　[A.y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；B.y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；C.y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；D.y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．]
7．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有(　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．f(x1)>f(x2)
AB　[由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于C、D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．]
二、填空题
8．如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．
[－2,1]，[3,5]　[－5，－2]，[1,3]　[观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1,3]，单调递减区间为[－2,1]，[3,5]．]
9．已知函数f(x)为定义在区间(－1,1)上的减函数，则满足f(x)>f(0)的实数x的取值范围为________．
(－1,0)　[由题设得，解得－1＜x<0.]
10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)(－2,0)　[∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图．
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2,0)．]
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
(0,2]　[依题意得实数a满足解得012．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
　[由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，
∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.]
三、解答题
13．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
[解]　f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
14．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．
[解]　在定义域内任取x1，x2，且使x1则f(x2)－f(x1)＝－＝
＝.
∵a>b>0，x10.
只有当x1当x1∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．
15．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f ＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f ≤2.
[解]　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，
所以f(x1)(2)因为f ＝f(x)－f(y)，
所以f(y)＋f ＝f(x)．
在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)，
因为f(2)＝1，所以f(4)＝2.
于是不等式f(x)－f ≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数，
所以解得－1≤x<3或3所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．
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