1.1 等腰三角形 同步训练（含解析）北师大版八年级数学下册

1.1等腰三角形(题型同步训练)
北师大新版八年级下册
一．选择题（共15小题）
1．已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为（　　）
A．6cm B．7cm C．13cm D．12cm
2．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，下列说法不正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠BAC B．AD＝BC
C．∠B＝∠C D．AD⊥BC
3．如图．△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交AB于D，∠ABC的平分线BE交CD于E，则∠BEC的大小是（　　）
A．135°﹣ B．135°+ C．90°+ D．180°﹣
4．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条（相邻钢条首位相接）来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1．照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条（　　）
A．7条 B．6条 C．5条 D．4条
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC＝BD＝DE＝EA，则∠A的度数为（　　）
A．36° B． C．30° D．24°
6．如图，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠CDE＝（　　）
A．α B．α C．α D．α
7．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（　　）
A．70° B．110° C．140° D．150°
8．已知等腰三角形的一边长为3cm，另一边的长为6cm，则它的周长为（　　）
A．15cm B．12cm C．9cm D．12cm或15cm
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，且AB＝BD，则∠DAC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，若以点A为圆心，AC长为半径画弧，交腰BC于点D，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠CAD B．BD＝DC C．AD＝BD D．∠BAD＝∠CAD
11．如果等腰三角形的底边长4cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞2cm B．2cm＜x＜4cm C．4cm＜x＜8cm D．x＞4cm
12．等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．10
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）
A．+1 B．+3 C．+1 D．4
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠2＝40°，则∠1的度数是（　　）
A．130° B．135° C．140° D．145°
15．取一张等腰三角形纸片，在该纸片上取一点，然后沿过该点的某一条直线剪一刀将纸片一分为二．若在被剪开的两张纸片中有一张纸片的形状恰好为等腰三角形，则这样的直线最多有（　　）
A．3条 B．5条 C．7条 D．9条
二．填空题（共6小题）
16．已知在等腰△ABC中，∠B＝70°，则∠A＝　 　．
17．如图，AB∥CD，点E在AB上，且DC＝DE，∠AEC＝70°，则∠D的度数是　 　．
18．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为　 　．
19．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC．过点A，C分别作AB，AC的垂线交于点D，AD与BC相交于点E．若BE＝4，AD＝6，则AB的长为　 　．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上运动，连接AD．若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　 　．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AD，BC＝BE，则∠DCE＝　 　（度）．
三．解答题（共3小题）
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
23．证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
求证：BD＝CE．
24．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OB，AB∥CD，求证：∠C＝∠D．
1.1等腰三角形
北师大新版八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为（　　）
A．6cm B．7cm C．13cm D．12cm
【答案】C
【解答】解：分两种情况考虑：
若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，13cm，6+6＜13，不符合题意，舍去；
若13cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，13cm，13cm，符合题意，
则第三条边的长是13cm．
故选：C．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，下列说法不正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠BAC B．AD＝BC
C．∠B＝∠C D．AD⊥BC
【答案】B
【解答】解：A、∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠BAC，故本选项错误；
B、AD、BC的大小关系无法确定，故本选项正确；
C、∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，故本选项错误；
D、∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，故本选项错误．
故选：B．
3．如图．△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交AB于D，∠ABC的平分线BE交CD于E，则∠BEC的大小是（　　）
A．135°﹣ B．135°+ C．90°+ D．180°﹣
【答案】A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠ABC＝45°﹣∠A．
∵∠BEC是△BED的外角，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDE+∠DBE＝90°+45°﹣∠A＝135°﹣∠A．
故选：A．
4．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条（相邻钢条首位相接）来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B1C1和B1C2，且B1C1＝B1C2＝AC1．照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条（　　）
A．7条 B．6条 C．5条 D．4条
【答案】C
【解答】解：如图，
∵B1C1＝AC1，
∴∠A＝∠1＝15°，
∴∠2＝30°，
∵C2B1＝B1C2，
∴∠3＝∠2＝30°，
∴∠C1B1C2＝120°，
…
易知∠6＝∠7＝60°，∠8＝∠9＝75°，
∴∠B2C3B3＝30°，
∴∠C2C3B3＝90°，
∴∠B3C3M＝90°，
那么第6个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形内角和定理，故只能焊5根．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC＝BD＝DE＝EA，则∠A的度数为（　　）
A．36° B． C．30° D．24°
【答案】B
【解答】解：∵AE＝ED，
∴∠ADE＝∠A，
∴∠DEB＝∠A+∠ADE＝2∠A，
∵BD＝ED，
∴∠ABD＝∠DEB＝2∠A，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠A，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝3∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，
∴7∠A＝180°，
∴∠A＝．
故选：B．
6．如图，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠CDE＝（　　）
A．α B．α C．α D．α
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AE＝AD，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，
在△CDE中，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠ADC＝（∠C+∠CDE）+∠CDE＝∠C+2∠CDE，
∴∠B+∠BAD＝∠C+2∠CDE，
解得∠CDE＝∠BAD，
∵∠BAD＝α，
∴∠CDE＝α．
故选：C．
7．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（　　）
A．70° B．110° C．140° D．150°
【答案】D
【解答】解：根据四边形的内角和定理可得：
∠DAB+∠DCB＝220°，
∵OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OAB+∠OCB＝70°，
∴∠DAO+∠DCO＝220°﹣70°＝150度．
故选：D．
8．已知等腰三角形的一边长为3cm，另一边的长为6cm，则它的周长为（　　）
A．15cm B．12cm C．9cm D．12cm或15cm
【答案】A
【解答】解：①当3cm是腰长，6cm是底边长时，三边分别为3cm、3cm、6cm，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
②当3cm是底边，6cm是腰长时，三边分别为3cm、6cm、6cm，
此时能组成三角形，
周长＝3+6+6＝15．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，且AB＝BD，则∠DAC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，若以点A为圆心，AC长为半径画弧，交腰BC于点D，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠CAD B．BD＝DC C．AD＝BD D．∠BAD＝∠CAD
【答案】A
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交腰BC于点D，
∴AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠BAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠CAD，
故选：A．
11．如果等腰三角形的底边长4cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（　　）
A．x＞2cm B．2cm＜x＜4cm C．4cm＜x＜8cm D．x＞4cm
【答案】A
【解答】解：∵等腰三角形的底边长4cm，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边
∴2x＞4cm
∴x＞2cm
故选：A．
12．等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（　　）
A．2 B．8 C．2或8 D．10
【答案】B
【解答】解：如图：
在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，BD是AC边上的中线，
∴AD＝DC＝AC，
∴AD＝DC＝AC，
分两种情况：
当（AB+AD）﹣（BC+CD）＝3时，
∴AB﹣BC＝3，
∴AB＝8，
当（BC+CD）﹣（AB+AD）＝3时，
∴BC﹣AB＝3，
∴AB＝2，
∴2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，
综上所述：腰长为8，
故选：B．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）
A．+1 B．+3 C．+1 D．4
【答案】C
【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，
故选：C．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠2＝40°，则∠1的度数是（　　）
A．130° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝＝75°，
∵a∥b，∠2＝40°，
∴∠AED＝∠2+∠ACB＝40°+75°＝115°，
在△ADE中，∠1＝∠A+∠AED＝30°+115°＝145°，
故选：D．
15．取一张等腰三角形纸片，在该纸片上取一点，然后沿过该点的某一条直线剪一刀将纸片一分为二．若在被剪开的两张纸片中有一张纸片的形状恰好为等腰三角形，则这样的直线最多有（　　）
A．3条 B．5条 C．7条 D．9条
【答案】D
【解答】解：①如图，与三边平行，一共3种，
②如图，与BC相等，底角为底角，一共2种，
③如图，与BC相等，底角为顶角，一共2种，
④如图，腰的垂直平分线与另一条腰的交点为顶点，一共2种，
3+2+2+2＝9（种）
故这样的直线最多有9条．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
16．已知在等腰△ABC中，∠B＝70°，则∠A＝　70°或55°或40°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①若∠B是顶角，则∠A＝（180°﹣70°）＝55°；
②∠B是底角，∠A是顶角，则∠A＝180°﹣2×70°＝40°；
③若∠B是底角，∠A也是底角，则∠A＝70°．
故填∠A＝55°、40°、70°．
17．如图，AB∥CD，点E在AB上，且DC＝DE，∠AEC＝70°，则∠D的度数是　40°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝70°，
∴∠C＝∠AEC＝70°，
∵DC＝DE，
∴∠C＝∠DEC＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
18．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为　8　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC．
∵AB+AC+BC＝32，
即AB+BD+CD+AC＝32，
∴AC+DC＝16
∴AC+DC+AD＝24
∴AD＝8．
故填8．
19．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC．过点A，C分别作AB，AC的垂线交于点D，AD与BC相交于点E．若BE＝4，AD＝6，则AB的长为　4　．
【答案】4．
【解答】解：过点B作BM⊥AB，在BM上截取BN＝CD，
∵DC⊥AC，BM⊥AB，
∴∠ABN＝∠ACD＝90°，
在△ABN和△ACD中，
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴BN＝CD，AN＝AD＝6，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠AEB＝90°，∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠DCE，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠CED＝∠DCE，
∴CD＝DE，
在Rt△ABN中，
AB2＝AN2﹣BN2＝36﹣BN2，
在Rt△ABE中，
AB2＝BE2﹣AE2＝﹣（6﹣DE）2＝48﹣36+12DE﹣DE2＝12+12BN﹣BN2，
∴36﹣BN2＝12+12BN﹣BN2，
∴BN＝2，
∴AB＝＝＝＝4，
故答案为：4．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上运动，连接AD．若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　120°或90°　．
【答案】120°或90°．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
如图1，当∠BAD＝90°时，则∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝120°，
如图2，当∠ADB＝90°时，则
∠ADC＝90°．
综上所述，∠ADC的度数是120°或90°．
故答案为：120°或90°．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AD，BC＝BE，则∠DCE＝　45　（度）．
【答案】45．
【解答】解：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴设∠ACD＝∠ADC＝α，∠BCE＝∠BEC＝β，
∴∠DCE＝180°﹣（α+β），
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2α，∠B＝180°﹣∠BCE﹣∠BEC＝180°﹣2β，
∴∠A+∠B＝360°﹣2（α+β），
∴α+β＝135°，
∴∠DCE＝180°﹣（α+β）＝45°，
故答案为：45．
三．解答题（共3小题）
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠BAD．
23．证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
求证：BD＝CE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图所示，
∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BD＝CE．
24．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OB，AB∥CD，求证：∠C＝∠D．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴∠A＝∠B，
又∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠C＝∠D．