八年级数学上册第十三章《轴对称》单元综合复习与测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上册第十三章《轴对称》单元综合复习与测试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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八年级数学上册 第十三章 单元综合复习与测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，连接、．若的周长为，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在等腰三角形ABD中，，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，相交于两点，过此两点的直线交边于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．9
8．如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．已知：中，，点为边上一点，于点，于点，将，分别沿，折叠．使点、分别落在边、上的点和处，下列结论错误的是（ ）
A．当时．
B．当为等边三角形，且点为中点时．四边形是菱形
C．当时，
D．当四边形为平行四边形时，的值为
10．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
11．如图，已知的周长为14，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长为 ．
12．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿、折叠，此时点C、D落在上的同一点R处，则的大小为 °．
13．已知点的坐标满足等式，且点与关于轴对称，则点的坐标为 ．
14．如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现，，则三角形纸片破损前的周长为 ．
15．如图，等腰的底边的长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交于点E，F．若D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值 ．
三、解答题
16．在中，的平分线与外角的平分线所在的直线交于点．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，把沿翻折，点落在处．
当时，求的度数；
试确定与的数量关系，并说明理由．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小．
18．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．如图，在中，，，且，点D是线段上的一动点(不与点B、C重合)，连接，作，交于点E．
(1)求证：；
(2)当 时，，并说明理由．
20．如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为cm，求的长；
(2)若，求的度数．
21．如图，的坐标分别是．
(1)如图1，画出关于轴对称的图形；
(2)如图2，在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．
22．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________．
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参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长公式，等量代换即可求解．
【详解】是线段的中垂线，是线段的中垂线，
，，
周长为，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
3．B
【分析】直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
4．D
【分析】根据正方形的对称性解答．
【详解】解：正方形有4条对称轴．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
5．D
【分析】在等腰三角形ABD中，，，即可得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，利用即可得到答案．
【详解】解：∵在等腰三角形ABD中，，，
∴，
由作图可知，点E在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
6．A
【分析】由，，可证，于是，可证，所以，，进一步求证，于是，，．可知选项①，②，③正确；由等腰三角形三线合一，得，求证，于是，故选项④正确．
【详解】解：中，，
∴
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴，．
∵，，，
∴
又，，
∴．
∴，．
∴．故选项①，②正确；
．故选项③正确；
中，，H是边的中点，
∴．
∴．
∵，
，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是等腰三角形．故选项④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，等腰三角形三线合一；灵活运用全等三角形求证线段相等、角相等是解题的关键．
7．B
【分析】根据等腰三角形的定义，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，即可解答．
【详解】解：当底边为3，腰长为6时，该三角形三边长为，
∵，
∴能构成三角形，
∴这个三角形周长为，
当底边为6，腰长为3时，该三角形三边长为，
∵，
∴不能构成三角形，
综上：这个三角形周长为15．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8．B
【分析】平角的定义，求出的度数，翻折，得到，等边对等角，得到，三角形内角和定理，得到，再根据列式求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题的关键是理清角度之间的等量关系．
9．C
【分析】对于选项A，可依据平角的定义、三角形内角和、折叠对称性进行判断；对于选项B，可结合P为中点的题设、折叠对称性，利用等边三角形的性质、菱形的判定定理进行判断；对于选项C，结合题干，查找是否存在所求角与已知角的联系即可判断；对于选项D，可依据平行四边形的性质、等边三角形的性质、相关三角函数的计算得出的值，判断是否正确．
【详解】解：当时，则，
由折叠可得：，，
，
，
，故正确，不符合题意；
如图，
为等边三角形，且点为中点，
，，
由折叠可得：，，，
△、△为等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．故正确，不符合题意；
当时，因为未知，所以无法求的度数，故错误，符合题意；
当四边形为平行四边形时，则，，
，，
由折叠可得：，，，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
在中，，
，故正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的对称性，等边三角形、菱形、平行四边形的性质，解直角三角形等多个知识点，解题的关键是熟知相关的性质和定理，并能灵活应用．
10．B
【分析】由作图知，可得，然后根据含直角三角形的性质求出即可得出答案．
【详解】解：由作图知，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作垂线，含直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
11．9
【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，据此知，结合的周长为14，，得，继而由的周长为求解可得答案．
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为14，，
∴，
则的周长为
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质．
12．30
【分析】由折叠的性质可得，，，，，，由平角的性质可得，，可证，由平行线的性质可得，即可求解；
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
13．
【分析】根据平方数，绝对值的非负性可求出的值，根据的符号与象限的特点，点关于轴对称的特点即可求解．
【详解】解：，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵点与关于轴对称，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方数、绝对值的非负性，象限中符号的特点，点关于轴对称的特点等知识，掌握平面直角坐标系中点的对称是解题的关键．
14．30
【分析】延长、相交于E，由三我助攻内角和定理得出，则为等边三角形，则，即可求解．
【详解】解；延长、相交于E，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长，
即三角形纸片破损前的周长为，
故答案为：30．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
15．8
【分析】连接，根据中垂线的性质，得到关于对称，得到，进而得到的最小值为，根据的周长为，为定值，进而得到的周长的最小值为，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴关于对称，
∴，
∴当三点共线时，的最小值为，
∵的周长为，为定值，
∴的周长的最小值为，
∵等腰的底边的长为4，面积是12，D为底边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．(1)
(2)①当时，；②与的数量关系是：
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质进行代换可以得出，已知，可求的度数；
（2）①根据折叠，可得，可以计算出的度数，再利用平角的意义，可求出，进而得出的度数；②设为任意角度，通过折叠、外角、角平分线，平角等代换，得出与的数量关系，即与互补的结论．
【详解】（1）解：平分，
∴，
是外角的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：根据折叠得：，
当时，即；，
，
，
∵平分，
∴
，
∴当时，；
设，则，
，
，
，即：，
∴与的数量关系是：．
【点睛】考查角平分线、周角、平角、三角形内角和等知识，适当的等量代换是解决问题的关键，设未知数，用任意角度代换从而得出一般性的结论．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出A，B，C三点关于l的对称点，依次连接这三个点即可；
（2）连接交直线l于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）∵的周长，
∴当点B，P，三点共线时，的周长最小
∴如图，连接交直线l于点P，点P即为所求；
【点睛】本题考查了作轴对称图形，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，可得，从而可得结论；
（2）求解，结合的平分线交于点D，可得，由（1）知．
【详解】（1）证明：在中，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
由（1）知，
故的度数为．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上基础的几何知识是解本题的关键．
19．(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，然后根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）先求出的长，可得到，根据即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：当时，,理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．(1)15cm
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据的周长即可求解．
（2）根据三角形内角和定理求出的值，再求出的值，根据等边对等角可得，然后运用三角形的内角和定理进行计算．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，
，
的周长，
的周长为cm，
cm；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理．运用整体思想是解题的关键．
21．(1)作图见详解
(2)点的坐标为
【分析】（1）根据图形关于轴对称的作法即可求解；
（2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点的位置，根据图形与坐标即可求解．
【详解】（1）解：关于轴对称的图形，如图所示，
∴即为所求图形．
（2）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，对称—最短路径的知识，掌握图像关于轴对称的作法，最短路径的计算方法是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①12；②2
【分析】（1）根据模型作出图形；
（2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
（2）①如图2，
作法：（Ⅰ）作关于的对称点，
（Ⅱ）作点关于的对称点，
（Ⅲ）连接，分别交于点，交于，
则的周长最小，
连接、，
点和点关于对称，
，，
同理可得，，，
，
，
为等边三角形，
，
的周长；
②如图3，
作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点，
（Ⅱ）连接交于，交于，
（Ⅲ）连接、，
，
，
此时的值最小，最小值为，
，，，，
，，
，
为等边三角形，
，即 的值最小为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
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八年级数学上册 第十三章 单元综合复习与测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，连接、．若的周长为，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在等腰三角形ABD中，，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，相交于两点，过此两点的直线交边于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．9
8．如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．已知：中，，点为边上一点，于点，于点，将，分别沿，折叠．使点、分别落在边、上的点和处，下列结论错误的是（ ）
A．当时．
B．当为等边三角形，且点为中点时．四边形是菱形
C．当时，
D．当四边形为平行四边形时，的值为
10．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
11．如图，已知的周长为14，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的周长为 ．
12．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点Q处．折痕为；再将，分别沿、折叠，此时点C、D落在上的同一点R处，则的大小为 °．
13．已知点的坐标满足等式，且点与关于轴对称，则点的坐标为 ．
14．如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现，，则三角形纸片破损前的周长为 ．
15．如图，等腰的底边的长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交于点E，F．若D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值 ．
三、解答题
16．在中，的平分线与外角的平分线所在的直线交于点．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，把沿翻折，点落在处．
当时，求的度数；
试确定与的数量关系，并说明理由．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)在直线l上找一点P，使得的周长最小．
18．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．如图，在中，，，且，点D是线段上的一动点(不与点B、C重合)，连接，作，交于点E．
(1)求证：；
(2)当 时，，并说明理由．
20．如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为cm，求的长；
(2)若，求的度数．
21．如图，的坐标分别是．
(1)如图1，画出关于轴对称的图形；
(2)如图2，在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．
22．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．
(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
(2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________．
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参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长公式，等量代换即可求解．
【详解】是线段的中垂线，是线段的中垂线，
，，
周长为，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
3．B
【分析】直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
4．D
【分析】根据正方形的对称性解答．
【详解】解：正方形有4条对称轴．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
5．D
【分析】在等腰三角形ABD中，，，即可得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，利用即可得到答案．
【详解】解：∵在等腰三角形ABD中，，，
∴，
由作图可知，点E在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
6．A
【分析】由，，可证，于是，可证，所以，，进一步求证，于是，，．可知选项①，②，③正确；由等腰三角形三线合一，得，求证，于是，故选项④正确．
【详解】解：中，，
∴
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴，．
∵，，，
∴
又，，
∴．
∴，．
∴．故选项①，②正确；
．故选项③正确；
中，，H是边的中点，
∴．
∴．
∵，
，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是等腰三角形．故选项④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，等腰三角形三线合一；灵活运用全等三角形求证线段相等、角相等是解题的关键．
7．B
【分析】根据等腰三角形的定义，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，即可解答．
【详解】解：当底边为3，腰长为6时，该三角形三边长为，
∵，
∴能构成三角形，
∴这个三角形周长为，
当底边为6，腰长为3时，该三角形三边长为，
∵，
∴不能构成三角形，
综上：这个三角形周长为15．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8．B
【分析】平角的定义，求出的度数，翻折，得到，等边对等角，得到，三角形内角和定理，得到，再根据列式求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题的关键是理清角度之间的等量关系．
9．C
【分析】对于选项A，可依据平角的定义、三角形内角和、折叠对称性进行判断；对于选项B，可结合P为中点的题设、折叠对称性，利用等边三角形的性质、菱形的判定定理进行判断；对于选项C，结合题干，查找是否存在所求角与已知角的联系即可判断；对于选项D，可依据平行四边形的性质、等边三角形的性质、相关三角函数的计算得出的值，判断是否正确．
【详解】解：当时，则，
由折叠可得：，，
，
，
，故正确，不符合题意；
如图，
为等边三角形，且点为中点，
，，
由折叠可得：，，，
△、△为等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．故正确，不符合题意；
当时，因为未知，所以无法求的度数，故错误，符合题意；
当四边形为平行四边形时，则，，
，，
由折叠可得：，，，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
在中，，
，故正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的对称性，等边三角形、菱形、平行四边形的性质，解直角三角形等多个知识点，解题的关键是熟知相关的性质和定理，并能灵活应用．
10．B
【分析】由作图知，可得，然后根据含直角三角形的性质求出即可得出答案．
【详解】解：由作图知，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作垂线，含直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
11．9
【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，据此知，结合的周长为14，，得，继而由的周长为求解可得答案．
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为14，，
∴，
则的周长为
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和中垂线的性质．
12．30
【分析】由折叠的性质可得，，，，，，由平角的性质可得，，可证，由平行线的性质可得，即可求解；
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
13．
【分析】根据平方数，绝对值的非负性可求出的值，根据的符号与象限的特点，点关于轴对称的特点即可求解．
【详解】解：，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵点与关于轴对称，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方数、绝对值的非负性，象限中符号的特点，点关于轴对称的特点等知识，掌握平面直角坐标系中点的对称是解题的关键．
14．30
【分析】延长、相交于E，由三我助攻内角和定理得出，则为等边三角形，则，即可求解．
【详解】解；延长、相交于E，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长，
即三角形纸片破损前的周长为，
故答案为：30．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
15．8
【分析】连接，根据中垂线的性质，得到关于对称，得到，进而得到的最小值为，根据的周长为，为定值，进而得到的周长的最小值为，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴关于对称，
∴，
∴当三点共线时，的最小值为，
∵的周长为，为定值，
∴的周长的最小值为，
∵等腰的底边的长为4，面积是12，D为底边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．(1)
(2)①当时，；②与的数量关系是：
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质进行代换可以得出，已知，可求的度数；
（2）①根据折叠，可得，可以计算出的度数，再利用平角的意义，可求出，进而得出的度数；②设为任意角度，通过折叠、外角、角平分线，平角等代换，得出与的数量关系，即与互补的结论．
【详解】（1）解：平分，
∴，
是外角的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：根据折叠得：，
当时，即；，
，
，
∵平分，
∴
，
∴当时，；
设，则，
，
，
，即：，
∴与的数量关系是：．
【点睛】考查角平分线、周角、平角、三角形内角和等知识，适当的等量代换是解决问题的关键，设未知数，用任意角度代换从而得出一般性的结论．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出A，B，C三点关于l的对称点，依次连接这三个点即可；
（2）连接交直线l于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）∵的周长，
∴当点B，P，三点共线时，的周长最小
∴如图，连接交直线l于点P，点P即为所求；
【点睛】本题考查了作轴对称图形，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，可得，从而可得结论；
（2）求解，结合的平分线交于点D，可得，由（1）知．
【详解】（1）证明：在中，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
由（1）知，
故的度数为．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上基础的几何知识是解本题的关键．
19．(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，然后根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）先求出的长，可得到，根据即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：当时，,理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．(1)15cm
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据的周长即可求解．
（2）根据三角形内角和定理求出的值，再求出的值，根据等边对等角可得，然后运用三角形的内角和定理进行计算．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，
，
的周长，
的周长为cm，
cm；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理．运用整体思想是解题的关键．
21．(1)作图见详解
(2)点的坐标为
【分析】（1）根据图形关于轴对称的作法即可求解；
（2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点的位置，根据图形与坐标即可求解．
【详解】（1）解：关于轴对称的图形，如图所示，
∴即为所求图形．
（2）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，对称—最短路径的知识，掌握图像关于轴对称的作法，最短路径的计算方法是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①12；②2
【分析】（1）根据模型作出图形；
（2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
（2）①如图2，
作法：（Ⅰ）作关于的对称点，
（Ⅱ）作点关于的对称点，
（Ⅲ）连接，分别交于点，交于，
则的周长最小，
连接、，
点和点关于对称，
，，
同理可得，，，
，
，
为等边三角形，
，
的周长；
②如图3，
作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点，
（Ⅱ）连接交于，交于，
（Ⅲ）连接、，
，
，
此时的值最小，最小值为，
，，，，
，，
，
为等边三角形，
，即 的值最小为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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