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4.5《角的比较与补(余)角》导学案
【学习目标】
1.会比较两个角的大小，能够结合图形实际将一个角写成两个角和、差的形式.
2.了解角平分线的意义，并能够用符号语言表示.
3.了解补角 余角的概念，掌握补角和余角的性质.
【学习重难点】
重点：两个角大小的比较方法，同角或等角的补角和余角的性质.
难点：用几何语言进行简单的说理.
【学法指导】
通过画图操作、观察比较感悟角的大小比较方法，领悟角的有关性质.
【自主学习】
1.怎样比较两个角的大小？
比较两个角的大小的方法通常有两种：叠合法、度量法，请你通过绘图和动手操作后说说什么是叠合法和度量法，21教育网
叠合法：___________________________________________________________________.
度量法：__________________________________________________________________.
2.如图1，说说角的和差，
两个角的和：∠AOC是∠AOB和∠BOC的和，记作__________________________；
两个角的差：∠AOB是∠AOC和∠COB的差，记作___________________________.
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3.什么叫做角的平分线？
________________________________________________________叫做这个角的平分线.
如图2，若OC是∠AOB的平分线，则有：
________________________________________________________________________.
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4.什么叫做互为补角？什么叫做互为余角？
5.在下列图形中试试画一个角的余角和补角？
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6.说说余角的性质和补角的性质？
【课堂学习】
1.小组探究：
锐角，直角，钝角，平角，周角之间有怎样的大小关系？
2.学生互动：
如图，求解下列问题：
（1）比较∠AOC与∠BOC,∠BOD与∠COD的大小；
（2）将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式。
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3.师生共同探究：
借助一个三角板能画出哪些度数的角？用一副三角板你还能画出哪些度数的角？
4.学习探究：
思考: 当∠AOB= 2∠AOC时，∠AOC、∠BOC是什么关系？
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5.合作交流：填表
∠ ∠的余角 ∠的补角
30°
42°
54°
62°23′
x°
6.动手做一做：
（1）已知，如图6-1,请你利用三角板画出∠的余角，
（2）已知，如图6-2,请你利用三角板画出∠的补角.
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7.练一练
（1）若∠=∠,∠的余角是∠1，∠的余角是∠2，则∠1和∠2的大小关系的怎样的？为什么？
（2）若∠=∠,∠的补角是∠1，∠的补角是∠2，则∠1和∠2的大小关系的怎样的？为什么？
【拓展延伸】
1.如图，点A，O，B在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一条直线上，OC是一条射线，OE，OF分别是∠AOC，∠COB的平分线.你能说出∠EOF的度数吗？你是怎样得到的？21世纪教育网版权所有
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2.已知：一个角的补角加上20°后等于这个角的余角的3倍，求这个个角的度数.
3.如图，A，O，B在同一直线上，∠AOC=∠DOE=90°,若∠1=2∠3，求∠2的度数.
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【学习反思】
通过本节课的学习你有哪些收获？
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什么是周角，平角，钝角，直角，锐角？
1周角=3600
1平角=1800
钝角：1800> α>900
1直角=900
锐角:900>α>00
它们之间的大小关系是怎样的呢？
周角>平角>钝角>直角>锐角
你还记得吗？
你还记得怎么样比较两条线段的长短吗？
1.度量法
2.叠合法
怎样比较两个角的大小呢？
1.角的顶点与量角器的中心重合
2.角的一边与量角器的零线重合
3.读出角的另一边所对的度数
∵70°＞30°
∴∠ABC＞∠DEF
D
E
F
C
B
A
70°
30°
1.顶点E,B重合，边ED,BA重合
2.另一边EF,BC落在重合边的同旁
3.当EF落在∠ABC的外部时
∠DEF＞∠ABC
A
C
E
D
F
B
A
C
1.顶点E,B重合，边ED,BA重合
2.另一边EF,BC落在重合边的同旁
3.当EF落在∠ABC的内部时
∠DEF＜∠ABC
B
A
C
F
D
E
1.顶点E,B重合，边ED,BA重合
2.另一边EF,BC落在重合边的同旁
3.当EF和BC重合时
∠DEF=∠ABC
E
D
F
B
A
C
B
C
A
O
∠AOB，∠AOC，∠BOC
之间有什么关系？
∠AOC=∠AOB+∠BOC
∠AOB=∠AOC-∠BOC
∠BOC=∠AOC+∠AOB
例1 如图，求解下列问题：
（1）比较∠AOC与∠BOC,∠BOD与∠COD的大小；
（2）将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式。
A
O
C
B
D
解
（1）由图可以看出：
∠AOC＞∠BOC,（OB在∠AOC内）
∠BOD＞∠COD.（OC在∠BOD内）
（2）
∠AOC=∠AOB+∠BOC
∠AOC=∠AOD-∠DOC
如图，填空：
D
O
B
C
A
∠AOC=（ ）+（ ）
=（ ）- （ ）
∠BOC=（ ）-（ ）
=（ ）- （ ）
∠AOB
∠AOC
∠COD
∠DOB
∠COD
∠AOD
∠BOC
∠AOB
借助一个三角板你能画出哪些度数的角？
借助一副三角板你还能画出哪些度数的角？
这些能用三角板画出的角的度数有什么规律？
用三角板能画出15°的整数倍的角。
和
差
75°
120°
135°
150°
15°
165°
105°
O
A
C
B
思考：
当∠AOB=2∠AOC时，
∠AOC与∠BOC有怎样的数量关系？
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
O
A
C
B
∵射线OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠COB= ∠AOB
或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC
D
A
B
C
思考：
1. 如图，填空：
（1）∠ABC=∠ABD+______;
（2）∠ADB=∠ADC-______.
（3）若BD是∠ABC的平分线，
则有
∠ABD=__________________;
______________=2∠DBC.
∠DBC
∠DBC
∠BDC
∠ABC
或 ∠ABC
2.如图，点A,O,B在同一条直线上，OC是一条射线，OE,OF分别是∠AOC,∠COB的平分线。你能说出∠EOF的度数吗？你是怎样得到的？
A
F
E
C
B
O
A
F
E
C
B
O
解 ∠EOF=90°
∵OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC
∴∠EOC= ∠AOC,∠FOC= ∠BOC
∴∠EOC+∠FOC= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC)
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC= ×180°=90°
想一想
如图，∠AOB是直角，则∠AOC与∠BOC有怎样的关系？
O
C
B
A
∠AOC+∠BOC=90°
你还能举出一些具有这样关系的角吗？
若∠1=30°,∠2=60°,则∠1+∠2=90°.
若∠α=25°,∠β=65°,则∠α+∠β=90°.
如果两个角的和等于一个直角(90°),那么我们就称这两个角互为余角，简称互余。
α
β
直角
如
图
∠α+∠β=90°，
∠α叫做∠β的余角，
∠β也叫做∠α的余角，
∠α与∠β互余。
想一想
如图，点A，O，B
在同一条直线上，则∠AOC与∠BOC有怎样的关系？
∠AOC+∠BOC=180°
你还能举出一些具有这样关系的角吗？
若∠1=40°，∠2=140°，则∠1+∠2=180°.
若∠α=65°，∠β=115°，则∠α+∠β=180°.
C
A
O
B
如果两个角的和等于一个平角(180°),那么我们就称这两个角互为补角，简称互补。
1
2
平角
如图，
∠1+∠2=180°，
∠1叫做∠2的补角，
∠2也叫做∠1的补角，
∠1与∠2互补。
看谁答得又对又快
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
30°
45°
60°30′
72°18′39″
x°
90°-x°
180°-x°
107°41′21″
17°41′21″
119°30′
29°30′
135°
45°
150°
60°
思考
（1）直角有余角，补角吗？钝角呢？
（2）锐角的余角与补角有怎样的关系？
做一做
已知：一个角的补角加上20°等 于这个角的余角的3倍。
求：这个角的度数。
解
设这个角为x°,
由题意得：
（180-x）+20=3（90-x）
解得:
x=35
答：这个角为35°。
（1）动手画一画：已知，如图，∠α，
请利用三角板画∠α的补角。
图中∠α的补角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？
∵∠1=180°-∠α
∠2=180°-∠α
∴∠1=∠2
这一结论用文字怎么叙述？
同角的补角相等
α
1
2
图中∠α的补角为∠1，∠2。
∵∠1=180°-∠α
∠2=180°-∠β
∴∠1=∠2
这一结论用文字又怎么叙述？
等角的补角相等
如图，∠α=∠β，∠α的补角∠1，∠β的补角∠2的大小有什么关系？为什么？
β
α
2
1
又∵∠α=∠β
（1）动手画一画：已知，如图，∠α，
请利用三角板画∠α的余角。
图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？
∵∠1=90°-∠α
∠2=90°-∠α
∴∠1=∠2
这一结论用文字又怎么叙述？
同角的余角相等
α
1
2
图中∠α的余角为∠1，∠2。
∵∠1=90°-∠α
∠2=90°-∠β
∴∠1=∠2
这一结论用文字又怎么叙述？
等角的余角相等
如图，∠α=∠β，∠α的余角∠1，∠β的余角∠2的大小有什么关系？为什么？
β
α
2
1
又∵∠α=∠β
A
D
C
O
E
B
1.如图，点A,O,B在同一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°，找出图中相等的角，互余的角，互补的角。
解 相等的角有：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠AOD=∠COE，∠DOC=∠BOE；
互余的角 有：
∠AOD和∠DOC，∠AOD和∠BOE，
∠COE和∠DOE，∠COE和∠BOE；
互补的角 有：
∠AOD和∠DOB，∠AOE和∠BOE，
∠COE和∠DOB，∠AOE和∠DOC.
C
A
D
O
E
B
2.如图，点A,O,B在同一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°，若∠1=2∠3，求∠2的度数。
试一试
A
D
C
O
E
B
1
3
2
解
设∠3=x°，则∠1=2x°
∵∠1+∠DOE+∠3=180°
∴2x°+90°+x°=180°
解得 x°=30° 即∠3=30°
又∵∠2+∠DOE=90°∠3+∠DOE=90°
∴∠2=∠3
∴∠2=30°
答：∠2为30°。
（同角的余角相等）
C
A
D
O
E
B
1
2
3
小结
1.角的大小比较方法
2.角的和差
3.三角板可拼出的角
4.角的平分线
5.补角和余角及其性质
作业：P149~150 练习1,2
