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15.4《角的平分线》导学案（1）
【学习目标﹒导思】
能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性。
【学习重难点】
重点：角平分线的尺规作法。
难点：角平分线尺规作法的应用。
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟用尺规作法作角的平分线，同伴合作能利用角平分线的尺规作法解决实际问题。21世纪教育网版权所有
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1.通过折纸可以作出一个角的平分线。
动手操作：在半透明的纸上任意画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线。
【思考】
角是＿＿＿＿＿＿＿＿，角平分线所在的直线是它的＿＿＿＿。
2.可以用＿＿＿＿＿来画一个角的平分线，再折叠观察。
3.用尺规作一个已知角∠AOB的角平分线。
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二、课内学习、合作探究：
探究1：根据作图，你能证明所作射线OP，就是∠AOB的平分线吗？
探究2：当∠AOB的两边成一条直线时（即∠AOB＝180 ），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？www.21-cn-jy.com
通过作图，你会发现：OP＿＿＿AB，请写出理由：__________________________________
____________________________________________________________.
探究3：通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？
（1） “经过一点作已知直线的垂线”，那么这一点一定在直线上吗？＿＿＿＿＿
（2） 这一点可能在什么位置呢？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
① 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：（如下左图）直线AB和AB上一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。21cnjy.com
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② 经过已知直线外的一点作这条直线的垂线。
已知：（如上右图）直线AB和AB外一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ( http: / / www.21cnjy.com )＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。21·cn·jy·com
【思考】
为什么这样作出的直线CP就是所求作的垂线？证一证。
练一练：
尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法：
⑴ 已知一直角边和斜边做直角三角形；
⑵ 已知底边及底边上的高作等腰三角形。
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【达标练习】
1．尺规作图：请在下图上作出一个∠AOC，使其是已知∠AOB的倍。
（要求：保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写出作法和结论。）
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2、如图，已知∠α、∠β，用直尺和圆规作一个∠γ，使得∠γ＝∠α－∠β。
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【拓展练习】
如图，C、D两点在∠AOB的内部。
⑴ 那些点到点C、D的距离相等？请你把符合条件的点画出来；
⑵ 那些点到∠AOB两边的距离相等？请你把符合条件的点画出来；
⑶ 是否存在一点P，既有PC＝PD，又有点P到∠AOB的两边的距离相等？如果存在，请把符合条件的点画出来。21教育网
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【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
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1、通过折纸可以作一个角的角平分线，也可以用＿＿＿＿＿来画一个角的平分线。
量角器
2、角是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿所在的直线是它的对称轴。
轴对称
角平分线
3、经过一点作已知直线的垂线分为经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线和经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线。
直线上的一点
直线外的
一点
已知OC平分∠AOB，点P为OC上一点，点P′、P″为∠AOB内不在OC上的两点。
PD＿＿PE ,P′D′＿＿P′E′ ,P″D″＿＿P″E″
＝
≠
≠
1、角平分线上的点到角两边的距离＿＿＿。
2、角的内部到角两边的距离相等的点在角的＿＿＿＿＿。
相等
平分线上
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想。
猜想：PC＝PD
证明：
∵ OP平分∠AOB（已知）
∴∠AOP＝∠BOP（角平分线定义）
∵ PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
∴ ∠PCO＝∠PDO＝90 （垂直定义）
在△PCO和△PDO中：
∠AOP＝∠BOP（已证）
∠PCO＝∠PDO（已证）
OP＝OP（公共边）
∴ △PCO≌△PDO（AAS）
∴ PC＝PD（全等三角形的对应边相等）
角平分线上的点到角两
边的距离相等。
角平分线性质定理的逆命题是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上
求证：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
题设：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
已知：（如图）点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD。
求证：OP平分∠AOB。
角的内部到角两边距离相等的点
这个点在角的平分线上
角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上。
1、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。判断下列正确的是：
⑴ DE＝DF ﹙ ﹚
⑵ BD＝CD ﹙ ﹚
⑶ AD上任一点到AB、
AC的距离相等 ﹙ ﹚
⑷ AD上任一点到点B、
C的距离相等 ﹙ ﹚
√
√
√
√
2、如图，△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是＿＿＿＿＿。
3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长度是＿＿＿。
5
3
已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P。
求证：AP平分∠BAC。
三角形三条内角平分线
相交于一点，这点到三角形
三边的距离相等。
1、下列各点到三角形各边的距离相等的是【 】
A、三角形三条角平分线的交点
B、三角形三条高线的交点
C、三角形三条垂直平分线的交点
D、三角形三条中线的交点
2、三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是【 】
A、等腰三角形 B、等腰直角三角形
C、非等腰三角形 D、等边三角形
A
D
1、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为＿＿＿。
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB间的距离为＿＿＿。
4
4
3、如图，AB、AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC的内部建一个物流中心。设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000m。
⑴ 若要以 1:50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
⑵ 在图中画出物流中心的位置P。
4、在学习“角平分线”时，老师画了这样一幅图，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，BD是∠ABC的平分线。小明看到这里，忽然想到了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在AB上取点E，使BE＝BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线。有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请说明理由。
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
3、三角形的三条角平分线的性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
1、课本第144-145页练习第2题。
课本第146页练习第1、2题。
2、课本第146页“习题15.4”第2、
3、4题。(共17张PPT)
通过折纸可以作出一个角的平分线。
角是轴对称图形，角平分线所在的
直线是它的对称轴。
证明：（如图）连接PM、PN。
在△POM和△PON中：
OM＝ON（作图）
PM＝PN（作图）
OP＝OP（公共边）
∴ △POM≌△PON（SSS）
∴∠POM＝∠PON（全等三角形的对应边相等）
当∠AOB的两边成一条直线时（即∠AOB＝180 ），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
∵ OP平分∠AOB 且∠AOB＝180
∴ ∠AOP＝∠BOP＝90
∴ OP⊥AB
通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？
⑴ “经过一点作已知直线的垂线”，那么这一点一定在直线上吗？＿＿＿＿＿
不一定
⑵ 这一点可能在什么位置呢？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
① 点在直线上
② 点在直线外
已知：（如图）直线AB和AB上一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：
作平角∠ACB的平分线CP。
直线CP就是所求作的垂线。
已知：（如图）直线AB和AB外一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：
⑴ 任取一点K，使K和C在AB的两旁；
⑵ 以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
⑷ 作直线CP。
直线CP就是所求作的垂线。
证明：（如图）连接CD、CE、PD、PE。
∵ CD＝CE、PD＝PE（作图）
∴ 点C 、点P都在线段DE的垂直平分线上
∴ CP⊥DE
即：CP⊥AB
尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法：
⑴ 已知一直角边和斜边做直角三角形；
Rt△ABC就是所求作的三角形
⑵ 已知底边及底边上的高作等腰三角形。
△ABC就是所求作的三角形
如图，C、D两点在∠AOB的内部。
⑴ 那些点到点C、D的距离相等？请你把符合条件的点
画出来；
⑵ 那些点到∠AOB两边的距离相等？请你把符合条件
的点画出来；
⑶ 是否存在一点P,既有PC＝PD,又有点P到∠AOB的两边
的距离相等？如果存在,请把符合条件的点画出来.
拓展练习
1、利用尺规法作一个已知角的平分线，并能正确它的正确性。
2、利用尺规法作“经过一点作已知直线的垂线”。
1、课本第143页练习第1、2题。
2、课本第146页“习题15.4”第1题。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.4《角的平分线》导学案（2）
【学习目标﹒导思】
1、会阐述角平分线的性质定理及其逆定理。
2、会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等。
【学习重难点】
重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
难点：理解并能证明角平分线的性质定理及其逆定理。
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟角平分线的性质，同伴合作能利用角平分线的性质及逆定理解答有关问题。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1．通过折纸可以作一个角的角平分线，也可以用＿＿＿＿＿来画一个角的平分线。
2．角是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿所在的直线是它的对称轴。
3．经过一点作已知直线的垂线分为经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线和经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线。21cnjy.com
【量一量】
在前面已画好的角平分线上任取一点，量出这点到角两边的距离；再在角内任取一个不在角平分线上的点，量出这点到角两边的距离。21·cn·jy·com
【思考】
1．角平分线上的点到角两边的距离＿＿＿。
2．角的内部到角两边的距离相等的点在角的＿＿＿＿＿。
二、课内学习、合作探究：
探究1：如图，OP是∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D.你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
( http: / / www.21cnjy.com )
角平分线的性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
角平分线性质定理的逆命题是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
探究2：
求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
题设：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
已知：（如图）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.www.21-cn-jy.com
求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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角平分线的性质定理的逆定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【练一练】
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。判断下列正确的是：21世纪教育网版权所有
⑴ DE＝DF ﹙ ﹚
⑵ BD＝CD ﹙ ﹚
⑶ AD上任一点到AB、AC的距离相等 ﹙ ﹚
⑷ AD上任一点到点B、C的距离相等 ﹙ ﹚
2．如图，△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是＿＿＿＿＿。2·1·c·n·j·y
3．如图，△ABC中，AD平分∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长度是＿＿＿。【来源：21·世纪·教育·网】
【典型例题】
已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P。
求证：AP平分∠BAC。
三角形的三条角平分线的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【练一练】
1．下列各点到三角形各边的距离相等的是【 】
A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条高线的交点
C、三角形三条垂直平分线的交点 D、三角形三条中线的交点
2．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是【 】21教育网
A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、非等腰三角形 D、等边三角形
【达标练习】
1．如图，AD∥BC，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为＿＿＿。21·世纪*教育网
2．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠C＝90 ，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB间的距离为＿＿＿。www-2-1-cnjy-com
3．如图，AB、AC表示两条相交的公路 ( http: / / www.21cnjy.com )，现要在∠BAC的内部建一个物流中心。设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000m。
⑴ 若要以 1:50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
⑵ 在图中画出物流中心的位置P。
【拓展练习】
在学习“角平分线”时，老师画了 ( http: / / www.21cnjy.com )这样一幅图，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，BD是∠ABC的平分线。小明看到这里，忽然想到了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在AB上取点E，使BE＝BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线。有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请说明理由。
【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
第 1 题
第 2 题
第 3 题
第 1 题
第 2 题
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