北京一零一中 2023-2024学年度第一学期高三数学统考一参考答案
1. D 2. D 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 9. B 10. D 11. -1. 12. ( 3 ,+∞).
2
13. 4; π . 14. 2. 15. ①②④.
3
16. (1)设数列 {an}的公差为 d, d > 0.
因为 a2 + a5 = 12,所以 a3 + a4 = 12.
又因为 a3a4 = 35, d > 0,
所以 a3 = 5, a4 = 7. 所以 d = 2, a1 = 1.
所以 an = a1 + (n 1)d = 2n 1 (n ∈ N ).
n(a1 + a )(2)因为 an = 2n 1,所以 S nn = = n2.2
因为 S m, a2, ai 成等比数列,
所以 S a = a2m i 2,即 m
2(2i 1) = 9.
而 m, i ∈ N ,所以 m = 1, 2i 1 = 9;或 m = 3, 2i 1 = 1.
经检验,符合题意.
所以 m = 1, i = 5;或 m = 3, i = 1.
17. 若选择条件①:
(1)在 △AB(C中),因为 cos C
1
= ,
3 √
所以 C ∈ π
√
,π , sin C = 1 cos2 C 2 2= .
2 √ 3
因为 S 1= ab sin C = 4 2, a = 6,所以 b = 2.
2
由余弦定理, c2 = a2 + b2 2ab cos C = 48,
√
所以 c = 4 3. √
(2)由正弦定理 a b c 6 2 4 3= = ,可得 = = .
sin A sin B sin C sin A sin B √2 2
√ √ 3
sin A 6所以 = , sin B 6= .
3 9 √ √
因为 A, B ∈ (0 3 5 3, π ),所以 cos A = , cos B = .
2 3 √ 9 √ √ √ √
6 5 3 3 6 4 2
所以 sin(A B) = sin A cos B cos A sin B = × × = .
3 9 3 9 9
若选择条件②:
(1)在 △ABC中,因为 A = C,所以 a = c.
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√ √
因为 cos B 7= ,所以 B ∈ ( π ,π), sin B 1 cos2 B 4 2= = .
9 2 √ 9√
因为 S 1= ac sin B 1 c2 × 4 2= = 4 2,
2 √ 2 9
所以 a = c = 3 2.
由余弦定理, b2 = a2 + c2 2ac cos B = 64,所以 b = 8. √ √
(2)由正弦定理得 a b ,所以 sin A a= √ = sin B
3 2 × 4 2 1= = .
sin A sin B √b 8 9 3
因为 A ∈ (0 2 2, π ),所以 cos A = 1 sin2 A = .
2 3 √ √
所以 sin(A B) sin A cos B cos A sin B 1 × ( 7 ) 2 2 × 4 2 23= = = .
3 9 3 9 27
18. (1)当 a = 2时, f (x) = x3 4x2 + 4x,
f ′(x) = 3x2 8x + 4 = (3x 2)(x 2).
令 f ′(x) = 0得, x 2= 或 x = 2.
3
当 x在区间 [1, 3]上变化时, f ′(x), f (x)的变化情况如下表:
x (1, 2) 2 (2, 3)
f ′(x) 0 +
f (x) ↘ 0 ↗
因为 f (1) = 1, f (3) = 3,
所以 f (x)在区间 [1, 3]上的最大值为 3,最小值为 0.
(2) f ′(x) = 3x2 4ax + a2 = (3x a)(x a),
令 f ′(x) 0得, x a= = 或 x = a,
3
当 a = 0时, f ′(x) = 3x2 > 0, f (x)的单调递增区间为 ( ∞,+∞),无单调递减区间;
当 a > 0时, a < a,随着 x的变化, f ′(x), f (x)的变化情况如下表:
3
x ( ∞, a ) a ( a , a) a (a,+∞)
3 3 3
f ′(x) + 0 0 +
3
f (x) ↗ 4a ↘ 0 ↗
27
所以 f (x)的单调递增区间为 ( ∞, a ), (a,+∞); f (x)的单调递减区间为 ( a , a).
3 3
当 a < 0时, a > a,随着 x的变化, f ′(x), f (x)的变化情况如下表:
3
x ( ∞, a) a (a, a ) a ( a ,+∞)
3 3 3
f ′(x) + 0 0 +
f (x) ↗ 0 ↘ 4a
3
↗
27
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{#{QQABDBYACAEh4oggAiCo4IAAgBAABRAAAACRBJg4hCqQRUQn3mkwCAC0CkskEQEQkQkJkBKBCDACJCCAgKCGggGGVRBCFEIAuAAIoERAsJAiBANyBQICFNQI AN=BA}A#B}AA=A}#=}#}
所以 f (x)的单调递增区间为 ( ∞, a), ( a ,+∞); f (x)的单调递减区间为 (a, a ).
3 3
19. (1)因为 y π 3π= sin x的单调递减区间为 [2kπ + , 2kπ + ] (k ∈ Z).
2 2
所以 2kπ π+ 6 x π+ 6 2kπ 3π+ , k ∈ Z.
2 6 2
所以 2kπ π+ 6 x 6 2kπ 4π+ , k ∈ Z.
3 3
所以函数 f (x)的单调递减区间为 [2kπ π+ , 2kπ 4π+ ] (k ∈ Z).
3 3
(2)因为 f (x) π= 2 sin(x + ),所以 f (x π ) = 2 sin x.
6 6
因为 g(x) = f (x) f (x π ),
6 √
所以 g(x) = 4 sin(x π+ ) sin x 4( 3= sin x 1+ cos x) sin x
√ 6 √ 2 2 √
= 2 3 sin2 x + 2 cos x sin x = 3(1 cos 2x) + sin 2x = 2 sin(2x π ) + 3.
3
因为 0 6 x 6 m,所以 π 6 2x π 6 2m π .
3 √ 3 3
因为 g(x)的取值范围为 [0, 2 + 3],√
所以 sin(2x π ) 3的取值范围为 [ , 1].
3 2
所以 π 6 2m π 6 4π . 解得 5π 6 m 6 5π .
2 3 3 12 6
所以 m的最大值为 5π .
6
20. (1)由 f (x) = ex + a sin x 1(a ∈ R),得 f ′(x) = ex + a cos x.
又 f (0) = 0, f ′(0) = 1 + a,
所以曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y f (0) = f ′(0)(x 0),
即 y = (1 + a)x.
(2)由题意知 f ′(0) = 0,则 a = 1.
此时 f (x) = ex sin x 1,则 f ′(x) = ex cos x.
当 x > 0时, f ′(x) = ex cos x > 1 cos x > 0,
所以 f (x)在区间 (0,+∞)上单调递增.
设 g(x) = f ′(x),则 g′(x) = ex + sin x.
设 φ(x) = g′(x),则 φ′(x) = ex + cos x.
因为当 x ∈ ( π , 0)时, φ′(x) > 0,
2
所以 g′(x)在区间 ( π , 0)上单调递增.
2
′ π π π又 g ( ) = e 2 + sin( π ) = e 2 1 < 0, g′(0) = 1 > 0,
2 2
所以存在 x0 ∈ ( π , 0),使 g′(x0) = 0.2
所以当 x ∈ (x ′0, 0)时, g (x) > 0.
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所以 g(x)在区间 (x0, 0)上单调递增.
即当 x ∈ (x0, 0)时, g(x) < g(0) = 0,即 f ′(x) < 0,
所以 f (x)在区间 (x0, 0)上单调递减.
所以函数 f (x)在 x = 0处取得极小值.
所以 a = 1.
(3)①若 a > 1,当 x ∈ (0, π )时, sin x > 0,所以 f (x) > ex sin x 1.
2
由 (2)已证, y = ex sin x 1在区间 (0,+∞)上单调递增,
所以 ex sin x 1 > e0 sin 0 1 = 0.
所以 f (x) > 0在区间 (0, π )上恒成立.
2
此时不存在正实数 m,使得对任意的 x ∈ (0,m),都有 f (x) < 0,
所以 a > 1不合题意.
②若 a < 1, f ′(x) = ex + a cos x,设 h(x) = f ′(x),则 h′(x) = ex a sin x.
当 x ∈ (0, π )时, h′(x) = ex a sin x > ex + sin x > 0,
2
所以 f ′(x)在区间 (0, π )上单调递增.
2
而 f ′(0) = 1 + a < 0, f ′( π
π
) = e 2 > 0,所以存在 m ∈ (0, π ),使 f ′(m) = 0.
2 2
所以当 x ∈ (0,m)时, f ′(x) < 0,即 f (x)在区间 (0,m)上单调递减.
所以当 x ∈ (0,m)时, f (x) < f (0) = 0.
所以 a < 1符合题意.
综上, a的取值范围是 ( ∞, 1).
21. (1) a4 的所有可能值为 1, 3, 5.
(2)因为 max{an+1, an+2} > min{an+1, an+2},所以 an > 0 (n = 1, 2, · · ·).
所以 min{an, an+1} > 0 (n = 1, 2, · · ·).
因为无穷数列 {an}中的项存在最大值,所以存在 n0 ∈ N 使得 an 6 an0 (n = 1, 2, · · ·).
因为 an0 = max{an0+1, an0+2} min{an0+1, an0+2} 6 max{an0+1, an0+2} 6 an0 ,
所以 min{an0+1, an0+2} = 0.
故存在 m ∈ {n0 + 1, n0 + 2}使得 am = 0.
所以 0为数列 {an}中的项.
(3)不存在正实数 M,使得对任意的正整数 n,都有 an 6 M. 理由如下.
因为 an > 0 (n ∈ N ),所以 an , an+1 (n = 2, 3, · · ·).
设集合 S = {n | an > an+1, n > 1}.
①若 S = {n | an > an+1, n > 1} = ,则 a1 6 a2, ai < ai+1 (i = 2, 3, · · ·).
对任意 M > 0,取 n1 = [
M ] + 2 (其中 [x]表示不超过 x的最大整数),
a1
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则当 n > n1 时,
an = (an an 1) + (an 1 an 2) + · · · + (a3 a2) + a2
= an 2 + an 3 + · · · + a1 + a2 > (n 1)a1 > M.
②若 S = {n | an > an+1, n > 1} , ,且 S 为有限集,
设 m = max{n | an > an+1, n > 1},则 am+i < am+i+1 (i = 1, 2, · · ·).
对任意 M > 0,取 n2 = [
M ] + m + 1 (其中 [x]表示不超过 x的最大整数),
am+1
则当 n > n2 时,
an = (an an 1) + (an 1 an 2) + · · · + (am+2 am+1) + am+1
= an 2 + an 3 + · · · + am + am+1 > (n m)am+1 > M.
③若 S = {n | an > an+1, n > 1} , ,且 S 为无限集,
设 p1 = min{n | an > an+1, n > 1}, pi+1 = min{n | an > an+1, n > pi} (i = 1, 2, · · ·).
若 pi+1 pi = 1,则 api > api+1 > api+2,又 api < max{api+1, api+2},矛盾.
所以 pi+1 pi > 2 (i = 1, 2, · · ·).
记 mi = api+1 (i = 1, 2, · · ·).
当 pi+1 pi = 2时, api > api+1, api+1 < api+2, api+2 > api+3.
因为 api+1 = api+2 api+3,所以 mi+1 = api = a a = a+1+1 pi+2 pi+1 pi > api+1 = mi.
当 pi+1 pi > 3时, api > api+1, api+1 < api+2 < · · · < api , a+1 pi 1 > a+ pi+1+1.
因为 api+1 1 = api 1 api 1+1,所以 m+ + i+1 = api 1+1 = a+ pi+1 api 1 1 = a+ pi+1 2 > api+1 = mi.
所以 mi 6 mi+1 (i = 1, 2, · · ·).
因为 api 1 = a+ pi+1+2 api+1+1,
所以 api 1+2 = api 1 + api 1+1 = api 1 + mi+1 > api 1 + m1 > api+2 + m1 (i = 1, 2, · · ·).+ + + + +
所以 api+1+2 api+2 > m1 (i = 1, 2, · · ·),且 ap1+2 > ap1+1 = m1.
对任意 M > 0,
取 n [ M3 = ] + 1 (其中 [x]表示不超过 x的最大整数),则当 k > n3 时,m1
apk+2 = (apk+2 apk 1+2) + (apk 1+2 apk 2+2) + · · · + (ap2+2 ap1+2) + ap1+2
> (k 1)m1 + ap1+2 > km1 > M.
综上,不存在正实数 M,使得对任意的正整数 n,都有 an 6 M.
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{#{QQABDBYACAEh4oggAiCo4IAAgBAABRAAAACRBJg4hCqQRUQn3mkwCAC0CkskEQEQkQkJkBKBCDACJCCAgKCGggGGVRBCFEIAuAAIoERAsJAiBANyBQICFNQI AN=BA}A#B}AA=A}#=}#}北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
一、
选择题共10小题，每小题4分，共40.州。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
要求的一项。
1.己知集合A=(x|-1≤x≤1，B=(x|3”<1,则AUB=(
(A)[-1,0)
(B)(-∞，0)
(C)[-1,1]
D)(-∞，1]
2.在复平面内，复数2+31对应的点位下(
·)
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.已知等比数列{an}的肖项和公比相等，那么数列{a}中与a3a,一定相等的项是(
(A)a10
(B)ag
(C)a
(D)as
4.下列函数中，是偶函数且在(0，+∞)上单调递减的是(
(A)f(x)=x2-x
(B)f(x)=elxl
(C)fx)=
2
(D)f(x)=Ilnx刘
5.函数y=2+n因的图象大致为(
业六
6.平面向黛a与b的夹角为60°，ax(2,0),b1=1,则1a+2b1等于(
(A)V3
(B)2V3
(C)4
(D)12
7.已知a,b,ceR,则“a>b"的个充分而不必要条件是(
(A)a2>b2
[B)a>b3
(C)2>2
(D)ac2>bc2
8.在△ABC巾，若sinA
(A)锐角三每形
B)直角二角形
(C)钝角三角形
①〉以上答案均有可能
北京零-中2023-2024学年度第·学期高花敷学统考·第1页（共4真)
9.如图，质点P在以坐标原点0为圆心，半径为1的圆上
逆时针作匀速圆周运动，P的角速度大小为2rads,起点
P。为射线y=-x(x≥0)与⊙0的交点.则当0≤t≤12
时，记动点P的纵坐标关于t(单位：s)的函数为y=g(0,
sn日.
则下列哪个区间为函数y=g(①的一个单调递增区
间(
)
(A)0,]
)受1
g,
①[妥，】
10.若数列(a}满足：存任正整数T,对于任意正整数n,都有a+7=an成立，则称数列{an)为
am-1,am>1,
周期数列，周期为T.已知数列{an}满足a1=m(m>0),a+1=
则
0下列结论中错误的是（)
(A)若ag=4,则m可以取3个不同的值
(B)若m=V2.则数列{anl是周期为3的数列
(C)VT∈N°且T≥2，存在m>1,{an}是周期为T的数列
D)3m∈Q且m≥2，数列{a}是周期数列
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.计算：g6-g号-4=—
12.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-o,0]k是减函数，若a-1)>f(2-a),则实数a的
取值范围是
13.若函数y=sin(wx+p)(ω>0，lml<号)的部分图象如图
所示，则w=
14.若AB.AC=A=4,且前=1，则C户.AB的最大值为
北京零中2023-2024学年度第学期商：数学统唐一第2页（共4页）